From d9ca730a23d404d40e806baae7822e9da0f7e6db Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Adrian Kummerlaender Date: Sun, 12 Feb 2017 20:03:44 +0100 Subject: Introduce field aliases --- lineare_algebra.tex | 44 ++++++++++++++++++++++---------------------- 1 file changed, 22 insertions(+), 22 deletions(-) (limited to 'lineare_algebra.tex') diff --git a/lineare_algebra.tex b/lineare_algebra.tex index e503058..a92a3a8 100644 --- a/lineare_algebra.tex +++ b/lineare_algebra.tex @@ -249,7 +249,7 @@ $f \in V^*$ werden als Linearformen bezeichnet. Sei $B = \{b_1, \cdots, b_n\}$ Basis von $V$, dann ist $B^* = \{b_1^*, \cdots, b_n^*\}$ Basis des Dualraums $V^*$, also die zu $B$ von $V$ duale Basis. -Die für $b_i$ eindeutige Abb. $b_i^* : V \rightarrow \mathbb{K}$ erfüllt $b_i^*(b_i) = 1$ und $b_i^*(b_j) = 0$ für $j\neq i$. +Die für $b_i$ eindeutige Abb. $b_i^* : V \rightarrow \K$ erfüllt $b_i^*(b_i) = 1$ und $b_i^*(b_j) = 0$ für $j\neq i$. \subsection*{Faktor- / Quotientenräume} @@ -356,13 +356,13 @@ Reichen die Eigenvektoren nicht aus, können Hauptvektoren hinzugezogen werden. \section*{Skalarprodukte} -\subsection*{Standardskalarprodukt auf $\mathbb{R}^n$} +\subsection*{Standardskalarprodukt auf $\R^n$} -$\langle \cdot, \cdot \rangle : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}, \langle v, w \rangle := v^T * w$ +$\langle \cdot, \cdot \rangle : \R^n \times \R^n \rightarrow \R, \langle v, w \rangle := v^T * w$ \subsection*{Positive Definitheit} -Eine symmetrische Bilinearform $\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ ist positiv definit, wenn: +Eine symmetrische Bilinearform $\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \R$ ist positiv definit, wenn: $\forall v \in V: v \neq 0 \Rightarrow \langle v, v \rangle > 0$ @@ -409,7 +409,7 @@ Eine symmetrische bzw. hermitesche Matrix $A$ ist positiv definit gdw. die Deter \subsection*{Ungleichung von Cauchy-Schwarz} -$\langle v, w \rangle ^2 \leq \langle v, v \rangle * \langle w, w \rangle$ (in $\mathbb{R}$) +$\langle v, w \rangle ^2 \leq \langle v, v \rangle * \langle w, w \rangle$ (in $\R$) $|\langle v, w \rangle |^2 \leq \langle v, v \rangle * \langle w, w \rangle$ (in $\mathbb{C}$) @@ -499,7 +499,7 @@ Unitäre Matrizen sind normal. \subsection*{Iwasawa- / QR-Zerlegung} -Zerlegung von $A \in GL_n(\mathbb{K})$ in das Produkt aus einer orthogonalen bzw. unitären Matrix und einer oberen Dreiecksmatrix. $A = Q \cdot R$. +Zerlegung von $A \in GL_n(\K)$ in das Produkt aus einer orthogonalen bzw. unitären Matrix und einer oberen Dreiecksmatrix. $A = Q \cdot R$. \vspace*{-5mm} $$A = \begin{pmatrix} @@ -536,11 +536,11 @@ Es seien $V, W$ euklidische oder unitäre Vektorräume. Dann ist Isometrie $\phi \subsection*{Eigenwerte von Isometrien} -Seien $\mathbb{K} \in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}$ und $V$ ein $K$-Vektorraum mit Skalarprodukt, dann: +Seien $\K \in \{\R, \mathbb{C}\}$ und $V$ ein $K$-Vektorraum mit Skalarprodukt, dann: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item $\phi$ ist lineare Isometrie von $V$, dann $\forall \lambda \in Spec(\phi): |\lambda|=1$ - \item $\alpha \in \mathbb{K}$ mit $|\alpha|=1 \land V \neq \{0\}$, dann gibt es Isometrie von $V$ mit Eigenwert $\alpha$ + \item $\alpha \in \K$ mit $|\alpha|=1 \land V \neq \{0\}$, dann gibt es Isometrie von $V$ mit Eigenwert $\alpha$ \end{enumerate} \subsection*{Isometrien und Orthonormalbasen} @@ -580,7 +580,7 @@ Wobei $D_{\psi_i} = \begin{pmatrix} cos(\psi_i) & -sin(\psi_i) \\ sin(\psi_i) & \section*{Selbstadjungierte Abbildungen} -Sei $V$ Vektorraum mit SKP über $\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$ und $\phi \in End(V)$. Dann ist $\phi$ selbstadjungiert, wenn für $\forall v, w \in V$ gilt: $\langle \phi(v), w \rangle = \langle v, \phi(w) \rangle$. +Sei $V$ Vektorraum mit SKP über $\R$ oder $\mathbb{C}$ und $\phi \in End(V)$. Dann ist $\phi$ selbstadjungiert, wenn für $\forall v, w \in V$ gilt: $\langle \phi(v), w \rangle = \langle v, \phi(w) \rangle$. $\phi \text{ ist selbstadjungiert} \Leftrightarrow D_{BB}(\phi)=\overline{D_{BB}(\phi)^T}$ @@ -594,28 +594,28 @@ $A^* := \overline{A^T}$, $A = A^* \Leftrightarrow A \text{ ist hermitesch}$ Sei $A \in \mathbb{C}^{n\times n}$, dann: $A^* \cdot A = A \cdot A^*$ -Sei $B \in \mathbb{R}^{n\times n}$, dann: $B^T \cdot B = B \cdot B^T$ +Sei $B \in \R^{n\times n}$, dann: $B^T \cdot B = B \cdot B^T$ Normale Matrizen sind unitär diagonalisierbar. \subsection*{Symmetrische reelle Matrizen} -Eine symmetrische Matrix $A \in \mathbb{R}^{n\times n}$ besitzt ausschließlich reelle Eigenwerte. +Eine symmetrische Matrix $A \in \R^{n\times n}$ besitzt ausschließlich reelle Eigenwerte. Es existiert eine orthogonale Matrix $S \in O(n)$ so, dass $D_A = S^TAS$ eine Diagonalmatrix ist. \subsection*{Spektralsatz} -Sei $V$ Vektorraum über $\mathbb{R}$ oder $\mathbb{C}$ mit SKP und $\phi \in End(V)$. Dann ist äquivalent: +Sei $V$ Vektorraum über $\R$ oder $\mathbb{C}$ mit SKP und $\phi \in End(V)$. Dann ist äquivalent: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item $\phi$ ist selbstadjungiert - \item Es gibt eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $\phi$ und $Spec(\phi) \subset \mathbb{R}$ + \item Es gibt eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $\phi$ und $Spec(\phi) \subset \R$ \end{enumerate} \subsubsection*{Positivität} -Eine symmetrische Matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ist positiv definit gdw. $\forall \lambda \in Spec(A) : \lambda \geq 0$ +Eine symmetrische Matrix $A \in \R^{n \times n}$ ist positiv definit gdw. $\forall \lambda \in Spec(A) : \lambda \geq 0$ \section*{Affine Räume} @@ -643,35 +643,35 @@ Sei $C=(x_1,...x_r,y_1,...y_r)$, dann ergibt die Lösung $z=(-\lambda_1,...,-\la Seien $a, b \in V$, dann ist die affine Gerade durch $a$ und $b$: $\overline{a, b} := \{\lambda a + (1 - \lambda)b | \lambda \in K\} = a + K*(b-a)$ -Für $K = \mathbb{R}$ und $a, b \in V$ wobei $V$ $\mathbb{R}$-Vektorraum: +Für $K = \R$ und $a, b \in V$ wobei $V$ $\R$-Vektorraum: $[a, b] := \{\lambda a + (1 - \lambda)b|0 \leq \lambda \leq 1\}$ (Strecke $\overrightarrow{ab}$) \subsection*{Affine Abbildungen, Affinitäten} -Seien $A$, $B$ affine Räume mit Translationsvektorräumen $V$ und $W$ über $\mathbb{K}$. Abbildung $\phi : A \rightarrow B$ induziert für gewähltes $a \in A$ eine Abbildung $\varphi : V \rightarrow W$ mit $\phi(v+a) = \varphi(v) + \phi(a)$. +Seien $A$, $B$ affine Räume mit Translationsvektorräumen $V$ und $W$ über $\K$. Abbildung $\phi : A \rightarrow B$ induziert für gewähltes $a \in A$ eine Abbildung $\varphi : V \rightarrow W$ mit $\phi(v+a) = \varphi(v) + \phi(a)$. $\phi$ heißt affiner Homomorphismus falls $\varphi$ ein Vektorraumhomomorphismus ist. Invertierbares $\phi$ heißt Affinität. -\subsubsection*{Affiner Standardraum $\mathbb{A}^n(\mathbb{K})$} +\subsubsection*{Affiner Standardraum $\mathbb{A}^n(\K)$} -Alle affinen Selbstabbildungen des affinen Standardraums haben die Gestalt $\phi : A \rightarrow A$ mit $\phi(a) := M \cdot a + t$ für bel. $M \in \mathbb{K}^{n\times n}$ und $t \in \mathbb{K}^n$. +Alle affinen Selbstabbildungen des affinen Standardraums haben die Gestalt $\phi : A \rightarrow A$ mit $\phi(a) := M \cdot a + t$ für bel. $M \in \K^{n\times n}$ und $t \in \K^n$. \subsubsection*{Euklidischer Raum} -Ist $A$ affiner Raum mit $\mathbb{R}$-Vektorraum $V$ als euklidischen Translationsvektorraum, dann ist $A$ ein euklidischer Raum. +Ist $A$ affiner Raum mit $\R$-Vektorraum $V$ als euklidischen Translationsvektorraum, dann ist $A$ ein euklidischer Raum. \subsection*{Quadriken} -Eine Quadrik $Q \subseteq \mathbb{K}^n$ ist $Q := \{ v \in \mathbb{K}^n | F(v) = 0 \}$ wobei $F \in \mathbb{K}[X_1, \cdots, X_n]$ quadratisches Polynom. +Eine Quadrik $Q \subseteq \K^n$ ist $Q := \{ v \in \K^n | F(v) = 0 \}$ wobei $F \in \K[X_1, \cdots, X_n]$ quadratisches Polynom. \subsubsection*{Matrizenform} Das eine Quadrik $Q$ definierende quadratische Polynom lässt sich wie folgt darstellen: -$F(x) = x^TAx + b^Tx + c$ mit $A \in \mathbb{K}^{n\times n}$, $b \in \mathbb{K}^n$ +$F(x) = x^TAx + b^Tx + c$ mit $A \in \K^{n\times n}$, $b \in \K^n$ -Für $char(\mathbb{K})\neq 2$ ist $A$ symmetrisch. +Für $char(\K)\neq 2$ ist $A$ symmetrisch. \subsubsection*{Affine Normalform} -- cgit v1.2.3