\newcommand{\C}{\mathbb{C}} \section*{Komplexe Zahlen} $\C = \{ z = x+iy | x,y \in \R \}$ $\C$ wird via $z = x + iy \mapsto (x,y)$ mit $\R^2$ identifiziert. \vspace*{-4mm} $$z \cdot w = \begin{pmatrix} x & -y \\ y & x\end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r & 0 \\ 0 & r\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{x}{r} & -\frac{y}{r} \\ \frac{y}{r} & \frac{x}{r}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v\end{pmatrix}$$ wobei $r := \sqrt{x^2 + y^2}$. Es gilt für die orthogonale Matrix $D = \begin{pmatrix} \frac{x}{r} & -\frac{y}{r} \\ \frac{y}{r} & \frac{x}{r}\end{pmatrix}$: $\det D = 1$ d.h. die komplexe Multiplikation ist eine Drehstreckung. Die Normen von $(\C,|\cdot|)$ und $(\R^2,|\cdot|_2)$ stimmen überein, ebenso Konvergenz-, Stetigkeits- und Offenheitseigenschaften: $\lim_{n \to \infty} z_n = z$ in $\C \iff \lim_{n \to \infty} Re \ z_n = Re \ z \land \lim_{n \to \infty} Im \ z_n = Im \ z$. \subsection*{Polardarstellung} Für $z = x +iy \in \C \setminus \{0\}$ gilt $z = re^{i\phi}$ mit $r = |z|$ und: \vspace*{-2mm} $$\phi = \arg z := \begin{cases} \arccos \frac{x}{r} & y > 0 \\ 0 & x \in (0,+\infty) \\ -\arccos \frac{x}{r} & y < 0 \\ \pi & z \in (-\infty,0) \end{cases}$$ mit $\phi \in (-\pi, \pi]$. Es gilt für $z = re^{i\phi}, w = se^{i\psi}$: $z \cdot w = rse^{i(\phi+\psi)} = |z||w|e^{i(\phi+\psi)}$. \section*{Holomorphie} Eine Funktion $f : D \to \C$ ist \emph{komplex differenzierbar} in $z_0 \in D$, wenn: $f'(z_0) := \displaystyle\lim_{z \to z_0, z \in D\setminus\{z_0\}} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \in \C$ existiert. Ist $f$ in $\forall z_0 \in D$ komplex differenzierbar, so heißt $f$ \emph{holomorph} auf $D$ mit Ableitung $f' : D \to \C$. Geschrieben $f \in H(D)$. \subsection*{Komplexe Ableitung} $\C \to \C, z \mapsto 1$ und $\C \to \C, z \mapsto z$ sind holomorph. Seien $f, g : D \to \C$ komplex differenzierbar in $z_0 \in \C$, $f(z_0) \in D' \subseteq \C$ offen, $h : D' \to \C$ in $f(z_0)$ komplex differenzierbar, $\alpha, \beta \in \C$: \vspace*{-4mm} \begin{align*} (\alpha f + \beta g)'(z_0) &= \alpha f'(z_0) + \beta g'(z_0) \\ (fg)'(z_0) &= f'(z_0)g(z_0) + f(z_0)g'(z_0) \\ \left(\frac{1}{f}\right)'(z_0) &= -\frac{f'(z_0)}{f(z_0)^2} \\ (h \circ f)'(z_0) &= h'(f(z_0))f'(z_0) \end{align*} Polynome $p$ und nichtsinguläre rationale Funktionen aus Polynomen sind auf $\C$ holomorph. \subsubsection*{Konvergenzradius} Seien $a_k \in \C, k \in \N_0$: \vspace*{-2mm} $$\rho = \frac{1}{\overline\lim_{k\to\infty} \sqrt[k]{|a_k|}} \in [0,+\infty]$$ ist der \emph{Konvergenzradius}. Sei $\rho > 0, c \in \C$. Dann ex. die Potenzreihe: $f : B(c,\rho) \to \C, z \mapsto \sum_{k=0}^\infty a_k(z-c)^k$. Diese ist auf $B(c,\rho)$ beliebig oft komplex differenzierbar. Für $n \in \N_0$ hat $f^{(n)}$ den Konvergenzradius $\rho > 0$ und es gilt für $z \in B(c,\rho)$: \vspace*{-4mm} $$f^{(n)}(z) = \sum_{k=n}^\infty k(k-1)\cdots(k-n+1)a_k(z-c)^{k-n}$$ Auf diese Weise ergeben sich für $z \in \C$: \vspace*{-4mm} \begin{align*} \exp(z) &= e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} \\ \sin(z) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{2n+1} \\ \cos(z) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n} \end{align*} Übliche Ableitungs- und Rechenregeln gelten. \subsection*{Charakterisierung} Sei $f : D \to \C, D \subseteq \R^2, u = Re \ f, v = Im \ f : D \to \R$. $f : D \to \R^2, (x,y) \mapsto u(x,y) + iv(x,y) = \begin{pmatrix} u(x,y) \\ v(x,y)\end{pmatrix}$ Es sind dann äquivalent: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item $f$ ist in $z$ komplex differenzierbar \item $f$ ist in $z$ reell differenzierbar und es gelten die \emph{Cauchy-Riemannschen DGL}: \\ $$\frac{\partial u}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial v}{\partial y}(x,y), \frac{\partial u}{\partial y}(x,y) = -\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)$$ \end{enumerate} $f$ hat in $(x,y) \in D \subseteq \R^2$ die \emph{Jacobimatrix}: $$f'(z) = \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x}(x,y) & \frac{\partial u}{\partial y}(x,y) \\ -\frac{\partial u}{\partial y}(x,y) & \frac{\partial u}{\partial x}(x,y) \end{pmatrix}$$ Entsprechend ist $f(z)=\overline z$ nirgends komplex differenzierbar, $f(z)=|z|^2$ nur in $0$ komplex differenzierbar und $f(z) = \frac{1}{z}$ holomorph in $\C \setminus \{0\}$. \subsection*{Biholomorphie} Sind $U, V \subseteq \C$ offen und nichtleer, $f : U \to V$ bij., $f$ und $f^{-1}$ holomorph. Dann heißt $f$ \emph{biholomorph}, $U$ und $V$ \emph{konform äquivalent}. \vfill\null \columnbreak Sei $f : U \to V$ biholomorph, $z \in U$. Dann ist $f'(z) \neq 0$ und für $w = f(z)$ gilt: \vspace*{-2mm} $$(f^{-1})'(w) = \frac{1}{f'(f^{-1}(w))} = \frac{1}{f'(z)}$$ Weiterhin existieren offene nichtleere $U \subseteq D$ mit $u_0 \in U, V \subseteq \C$ s.d. $\restrictedto{f}{U}$ biholomorph ist, wenn $f \in H(d) \cap C^1(D,\R^2)$, $z_0 \in D$ mit $f'(z_0) \neq 0$ gilt. \section*{Möbiustransformationen} Sei $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix} \in \C^{2 \times 2}$ mit $\det A = ad - bc \neq 0$. Setze $m_A : D_A \to \C, z \mapsto \frac{az+b}{cz+d}$ Mit $D_A = \begin{cases} \C \setminus \{-\frac{d}{c}\} & c \neq 0 \\ \C & c = 0\end{cases}$ \subsection*{Eigenschaften} \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item $m_A$ ist holomorph \item $\forall \alpha \in \C \setminus \{0\} : m_{\alpha A} = m_A$ \item $B \in \C^{2 \times 2}$ mit $\det B \neq 0 \implies m_A \circ m_{B} = m_{AB}$ \item $m_A(D_A) = D_{A^{-1}}, m_A^{-1} = m_{A^{-1}}$ \item $m_A : D_A \to D_{A^{-1}}$ ist biholomorph \end{enumerate} Alle Möbiustransformationen sind Produkt $m_A = S_1 J S_2$ von affinen Abbildungen $S_j$ und der Inversion $Jz = \frac{1}{z}$. Affine Abbildungen sind Komposition von Translation $Tz=z+\frac{b}{d}$ und Drehstreckung $Dz = \frac{a}{c} z$. $S_j, J, T$ und $D$ sind selbst Möbiustransformationen. \section*{Potenzen und Wurzeln} Für $\theta \in (0, \pi]$ ist $\Sigma_\theta := \{ z \in \C \setminus \{0\} | |\arg z| < \theta \}$ der \emph{offene Sektor}. d.h. $\Sigma_{\pi / 2} = \C_+$ ist die offene rechte Halbebene und $\Sigma_\pi = \C \setminus (-\infty,0]$ die geschlitzte Ebene. \vspace*{2mm} $g_a = \{ a + iy | y \in \R \}$ für $a \in \R$ ist \emph{horizontale Gerade}. $h_b = \{ x + ib | x \in \R \}$ für $b \in \R$ ist \emph{vertikale Gerade}. \vspace*{2mm} Die Potenz ist def.: $P_n : \C \to \C, z \mapsto z^n = |z|^n e^{in\phi}$ Sie bildet den Halbstrahl $s_\theta := \{ re^{i\theta} | r > 0 \}$ bijektiv auf den Halbstrahl $s_{n\theta}$ ab. \subsection*{Hauptzweig der $n$-ten Wurzel} Sei $n \in \N$ mit $n \geq 2$. Der \emph{Hauptzweig der $n$-ten Wurzel} ist $r_n = p_n^{-1} : \Sigma_\pi \to \Sigma_{\pi/n}$. Somit ist $\forall w \in \Sigma_\pi$ die $n$-te Wurzel $r_n(w) = z$ das einzige $z \in \Sigma_{\pi/n}$ mit $z^n = w$. Es gelten $r_n(z^n) = z$ und $r_n(w)^n = w$. \section*{Exponentiale und Logarithmen} Sei $z = x + iy, x, y \in \R, k \in \Z$. Dann: \vspace*{-4mm} \begin{align*} \exp(z) &= e^x e^{iy} = e^x(\cos y + i \sin y) \\ \exp(z) &= \exp(z+2\pi ik) \\ \exp(z) &= 1 \iff z=2\pi i k \end{align*} Für $a, b \in \R$ gilt: $\exp : h_b \to s_b$ ist bijektiv und $\exp : g_a \to \partial B(0,e^a)$ ist surjektiv, nicht injektiv. \subsection*{Hauptzweig des Logarithmus} \vspace*{-4mm} \begin{align*} S_r(a_1,a_2) &:= \{ z \in \C | \text{Re } z \in (a_1,a_2) \} \\ S_i(b_1,b_2) &:= \{ z \in \C | \text{Im } z \in (b_1,b_2) \} \end{align*} \vspace*{-6mm} Sind die \emph{vertikalen und horizontalen Streifen} in $\C$. \spacing Der \emph{Hauptzweig des Logarithmus} ist die Abbildung $\log = (\restrictedto{\exp}{s_i})^{-1} : \Sigma_\pi \to S_i$. $\forall w \in \Sigma_\pi : z = \log(w)$ ist eind. $z \in S_i$ mit $\exp(z) = w$. Weiter gilt: $\exp : S_i \to \Sigma_\pi$ und $\log : \Sigma_\pi \to S_i$ sind biholomorph mit $\log\exp(z) = z$ für $z \in S_i$ und $\exp\log(w) = w$, $\log'(w) = \frac{1}{w}$ für $w \in \Sigma_\pi$. \subsection*{Allgemeine Potenz} Sei $z = re^{i\phi} \in \Sigma_\pi$ mit $r > 0$ und $\phi \in (-\pi,\pi), w = x + iy \in \C$ für $x, y \in \R$. \emph{Allgemeine Potenz} ist def.: $z^w = \exp(w \log z) = r^x e^{-y\phi} e^{i(x\phi + y \ln r)}$ z.B. $e^w = \exp(w)$ und $i^i = e^{-\pi/2}$. \spacing Es gilt $z^{v+w} = z^v z^w$. Ableitungen $\frac{\partial}{\partial z} z^w = wz^{w-1}$ und $\frac{\partial}{\partial w} z^w = \log(w)z^w$ existieren.