\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

\section*{Komplexe Zahlen}

$\C = \{ z = x+iy | x,y \in \R \}$

$\C$ wird via $z = x + iy \mapsto (x,y)$ mit $\R^2$ identifiziert.

\vspace*{-4mm}
$$z \cdot w = \begin{pmatrix} x & -y \\ y & x\end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r & 0 \\ 0 & r\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{x}{r} & -\frac{y}{r} \\ \frac{y}{r} & \frac{x}{r}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v\end{pmatrix}$$

wobei $r := \sqrt{x^2 + y^2}$. Es gilt für die orthogonale Matrix $D = \begin{pmatrix} \frac{x}{r} & -\frac{y}{r} \\ \frac{y}{r} & \frac{x}{r}\end{pmatrix}$: $\det D = 1$ d.h. die komplexe Multiplikation ist eine Drehstreckung.

Die Normen von $(\C,|\cdot|)$ und $(\R^2,|\cdot|_2)$ stimmen überein, ebenso Konvergenz-, Stetigkeits- und Offenheitseigenschaften:

$\lim_{n \to \infty} z_n = z$ in $\C \iff \lim_{n \to \infty} Re \ z_n = Re \ z \land \lim_{n \to \infty} Im \ z_n = Im \ z$.

\subsection*{Polardarstellung}

Für $z = x +iy \in \C \setminus \{0\}$ gilt $z = re^{i\phi}$ mit $r = |z|$ und:

\vspace*{-2mm}
$$\phi = \arg z := \begin{cases}
	\arccos \frac{x}{r} & y > 0 \\
	0 & x \in (0,+\infty) \\
	-\arccos \frac{x}{r} & y < 0 \\
	\pi & z \in (-\infty,0)
\end{cases}$$

mit $\phi \in (-\pi, \pi]$. Es gilt für $z = re^{i\phi}, w = se^{i\psi}$:

$z \cdot w = rse^{i(\phi+\psi)} = |z||w|e^{i(\phi+\psi)}$.

\section*{Holomorphie}

Eine Funktion $f : D \to \C$ ist \emph{komplex differenzierbar} in $z_0 \in D$, wenn:

$f'(z_0) := \displaystyle\lim_{z \to z_0, z \in D\setminus\{z_0\}} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \in \C$ existiert.

Ist $f$ in $\forall z_0 \in D$ komplex differenzierbar, so heißt $f$ \emph{holomorph} auf $D$ mit Ableitung $f' : D \to \C$.

Geschrieben $f \in H(D)$.

\subsection*{Komplexe Ableitung}

$\C \to \C, z \mapsto 1$ und $\C \to \C, z \mapsto z$ sind holomorph.

Seien $f, g : D \to \C$ komplex differenzierbar in $z_0 \in \C$, $f(z_0) \in D' \subseteq \C$ offen, $h : D' \to \C$ in $f(z_0)$ komplex differenzierbar, $\alpha, \beta \in \C$:

\vspace*{-4mm}
\begin{align*}
	(\alpha f + \beta g)'(z_0) &= \alpha f'(z_0) + \beta g'(z_0) \\
	(fg)'(z_0) &= f'(z_0)g(z_0) + f(z_0)g'(z_0) \\
	\left(\frac{1}{f}\right)'(z_0) &= -\frac{f'(z_0)}{f(z_0)^2} \\
	(h \circ f)'(z_0) &= h'(f(z_0))f'(z_0)
\end{align*}

Polynome $p$ und nichtsinguläre rationale Funktionen aus Polynomen sind auf $\C$ holomorph.

\subsubsection*{Konvergenzradius}

Seien $a_k \in \C, k \in \N_0$:

\vspace*{-2mm}
$$\rho = \frac{1}{\overline\lim_{k\to\infty} \sqrt[k]{|a_k|}} \in [0,+\infty]$$

ist der \emph{Konvergenzradius}.

Sei $\rho > 0, c \in \C$. Dann ex. die Potenzreihe:

$f : B(c,\rho) \to \C, z \mapsto \sum_{k=0}^\infty a_k(z-c)^k$.

Diese ist auf $B(c,\rho)$ beliebig oft komplex differenzierbar. Für $n \in \N_0$ hat $f^{(n)}$ den Konvergenzradius $\rho > 0$ und es gilt für $z \in B(c,\rho)$:

\vspace*{-4mm}
$$f^{(n)}(z) = \sum_{k=n}^\infty k(k-1)\cdots(k-n+1)a_k(z-c)^{k-n}$$

Auf diese Weise ergeben sich für $z \in \C$:

\vspace*{-4mm}
\begin{align*}
	\exp(z) &= e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} \\
	\sin(z) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{2n+1} \\
	\cos(z) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n}
\end{align*}

Übliche Ableitungs- und Rechenregeln gelten.

\subsection*{Charakterisierung}

Sei $f : D \to \C, D \subseteq \R^2, u = Re \ f, v = Im \ f : D \to \R$.

$f : D \to \R^2, (x,y) \mapsto u(x,y) + iv(x,y) = \begin{pmatrix} u(x,y) \\ v(x,y)\end{pmatrix}$

Es sind dann äquivalent:

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item $f$ ist in $z$ komplex differenzierbar
	\item $f$ ist in $z$ reell differenzierbar und es gelten die \emph{Cauchy-Riemannschen DGL}: \\
		$$\frac{\partial u}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial v}{\partial y}(x,y), \frac{\partial u}{\partial y}(x,y) = -\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)$$
\end{enumerate}

$f$ hat in $(x,y) \in D \subseteq \R^2$ die \emph{Jacobimatrix}:

$$f'(z) = \begin{pmatrix}
	\frac{\partial u}{\partial x}(x,y) & \frac{\partial u}{\partial y}(x,y) \\
	-\frac{\partial u}{\partial y}(x,y) & \frac{\partial u}{\partial x}(x,y)
\end{pmatrix}$$

Entsprechend ist $f(z)=\overline z$ nirgends komplex differenzierbar, $f(z)=|z|^2$ nur in $0$ komplex differenzierbar und $f(z) = \frac{1}{z}$ holomorph in $\C \setminus \{0\}$.

\subsection*{Biholomorphie}

Sind $U, V \subseteq \C$ offen und nichtleer, $f : U \to V$ bij., $f$ und $f^{-1}$ holomorph. Dann heißt $f$ \emph{biholomorph}, $U$ und $V$ \emph{konform äquivalent}.

\vfill\null
\columnbreak

Sei $f : U \to V$ biholomorph, $z \in U$.

Dann ist $f'(z) \neq 0$ und für $w = f(z)$ gilt:

\vspace*{-2mm}
$$(f^{-1})'(w) = \frac{1}{f'(f^{-1}(w))} = \frac{1}{f'(z)}$$

Weiterhin existieren offene nichtleere $U \subseteq D$ mit $u_0 \in U, V \subseteq \C$ s.d. $\restrictedto{f}{U}$ biholomorph ist, wenn $f \in H(d) \cap C^1(D,\R^2)$, $z_0 \in D$ mit $f'(z_0) \neq 0$ gilt.

\section*{Möbiustransformationen}

Sei $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix} \in \C^{2 \times 2}$ mit $\det A = ad - bc \neq 0$.

Setze $m_A : D_A \to \C, z \mapsto \frac{az+b}{cz+d}$

Mit $D_A = \begin{cases} \C \setminus \{-\frac{d}{c}\} & c \neq 0 \\ \C & c = 0\end{cases}$

\subsection*{Eigenschaften}

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item $m_A$ ist holomorph
	\item $\forall \alpha \in \C \setminus \{0\} : m_{\alpha A} = m_A$
	\item $B \in \C^{2 \times 2}$ mit $\det B \neq 0 \implies m_A \circ m_{B} = m_{AB}$
	\item $m_A(D_A) = D_{A^{-1}}, m_A^{-1} = m_{A^{-1}}$
	\item $m_A : D_A \to D_{A^{-1}}$ ist biholomorph
\end{enumerate}

Alle Möbiustransformationen sind Produkt $m_A = S_1 J S_2$ von affinen Abbildungen $S_j$ und der Inversion $Jz = \frac{1}{z}$. Affine Abbildungen sind Komposition von Translation $Tz=z+\frac{b}{d}$ und Drehstreckung $Dz = \frac{a}{c} z$. $S_j, J, T$ und $D$ sind selbst Möbiustransformationen.

\section*{Potenzen und Wurzeln}

Für $\theta \in (0, \pi]$ ist $\Sigma_\theta := \{ z \in \C \setminus \{0\} | |\arg z| < \theta \}$ der \emph{offene Sektor}.

d.h. $\Sigma_{\pi / 2} = \C_+$ ist die offene rechte Halbebene und $\Sigma_\pi = \C \setminus (-\infty,0]$ die geschlitzte Ebene.

\vspace*{2mm}

$g_a = \{ a + iy | y \in \R \}$ für $a \in \R$ ist \emph{horizontale Gerade}.

$h_b = \{ x + ib | x \in \R \}$ für $b \in \R$ ist \emph{vertikale Gerade}.

\vspace*{2mm}

Die Potenz ist def.: $P_n : \C \to \C, z \mapsto z^n = |z|^n e^{in\phi}$

Sie bildet den Halbstrahl $s_\theta := \{ re^{i\theta} | r > 0 \}$ bijektiv auf den Halbstrahl $s_{n\theta}$ ab.

\subsection*{Hauptzweig der $n$-ten Wurzel}

Sei $n \in \N$ mit $n \geq 2$. Der \emph{Hauptzweig der $n$-ten Wurzel} ist $r_n = p_n^{-1} : \Sigma_\pi \to \Sigma_{\pi/n}$.

Somit ist $\forall w \in \Sigma_\pi$ die $n$-te Wurzel $r_n(w) = z$ das einzige $z \in \Sigma_{\pi/n}$ mit $z^n = w$. Es gelten $r_n(z^n) = z$ und $r_n(w)^n = w$.

\section*{Exponentiale und Logarithmen}

Sei $z = x + iy, x, y \in \R, k \in \Z$. Dann:

\vspace*{-4mm}
\begin{align*}
	\exp(z) &= e^x e^{iy} = e^x(\cos y + i \sin y) \\
	\exp(z) &= \exp(z+2\pi ik) \\
	\exp(z) &= 1 \iff z=2\pi i k
\end{align*}

Für $a, b \in \R$ gilt: $\exp : h_b \to s_b$ ist bijektiv und $\exp : g_a \to \partial B(0,e^a)$ ist surjektiv, nicht injektiv.

\subsection*{Hauptzweig des Logarithmus}

\vspace*{-4mm}
\begin{align*}
	S_r(a_1,a_2) &:= \{ z \in \C | \text{Re } z \in (a_1,a_2) \} \\
	S_i(b_1,b_2) &:= \{ z \in \C | \text{Im } z \in (b_1,b_2) \}
\end{align*}
\vspace*{-6mm}

Sind die \emph{vertikalen und horizontalen Streifen} in $\C$.

\spacing

Der \emph{Hauptzweig des Logarithmus} ist die Abbildung $\log = (\restrictedto{\exp}{s_i})^{-1} : \Sigma_\pi \to S_i$.

$\forall w \in \Sigma_\pi : z = \log(w)$ ist eind. $z \in S_i$ mit $\exp(z) = w$.

Weiter gilt: $\exp : S_i \to \Sigma_\pi$ und $\log : \Sigma_\pi \to S_i$ sind biholomorph mit $\log\exp(z) = z$ für $z \in S_i$ und $\exp\log(w) = w$, $\log'(w) = \frac{1}{w}$ für $w \in \Sigma_\pi$.

\subsection*{Allgemeine Potenz}

Sei $z = re^{i\phi} \in \Sigma_\pi$ mit $r > 0$ und $\phi \in (-\pi,\pi), w = x + iy \in \C$ für $x, y \in \R$. \emph{Allgemeine Potenz} ist def.:

$z^w = \exp(w \log z) = r^x e^{-y\phi} e^{i(x\phi + y \ln r)}$

z.B. $e^w = \exp(w)$ und $i^i = e^{-\pi/2}$.

\spacing

Es gilt $z^{v+w} = z^v z^w$. Ableitungen $\frac{\partial}{\partial z} z^w = wz^{w-1}$ und $\frac{\partial}{\partial w} z^w = \log(w)z^w$ existieren.

\section*{Komplexe Kurvenintegrale}

Fkt $f : [a,b] \to \C$ ist \emph{stückweise stetig}, wenn $\forall t \in [a,b]$ beideitige Grenzwerte in $\C$ ex. und max. endlich viele Unstetigkeitspunkte $t_k \in [a,b]$ ex.

Geschrieben $f \in PC([a,b],\C)$.

Solche Funktionen sind integrierbar:

\vspace*{-4mm}
$$\int_a^b f(t) dt := \int_a^b \text{Re } f(t) dt + i \int_a^b \text{Im } f(t) dt \in \C$$

\subsection*{Hauptsatz}

$f \in PC([a,b],\C)$ ist in $t_0 \in [a,b]$ differenzierbar, wenn $f'(t_0) := \lim_{t \to t_0} \frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0} \in \C$ existiert.

$\iff \text{Re } f, \text{Im } f$ besitzen Ableitungen in $\R$.

Ist $f$ auf $[a,b]$ diffbar und $g, f' \in C([a,b],\C)$. Dann gilt der Hauptsatz:

\vspace*{-3mm}
$$\int_a^b f'(t) dt = f(b) - f(a)$$

$$\exists \frac{d}{dt} \int_a^t g(s) ds = g(t) \text{ für } t \in [a,b]$$

\subsection*{Kurven und Parametrisierungen}

$\gamma \in C([a,b],\C)$ ist \emph{Kurve} oder \emph{Weg} von $\gamma(a)$ nach $\gamma(b)$. $\gamma$ ist \emph{geschlossen}, wenn $\gamma(a)=\gamma(b)$ gilt und einfach, wenn $\gamma$ auf $[a,b)$ injektiv ist.

$\Gamma = \gamma([a,b])$ ist \emph{Bild} oder \emph{Spur} von $\gamma$.

Gilt $\Gamma \subseteq M \subseteq \C$, so ist $\gamma$ Weg in $M$.

$\gamma$ ist auch \emph{Parametrisierung} ihres Bildes $\Gamma$.

\subsection*{Kurvenintegral}

Sei $\gamma \in PC^1([a,b],\C)$ mit Bild $\Gamma = \gamma([a,b])$ und $f \in C(\Gamma,\C)$. Dann ist das \emph{komplexe Kurvenintegral}:

\vspace*{-2mm}
$$\int_\gamma f dz = \int_\gamma f(z) dz := \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t) dt$$

Die Länge von $\gamma$ ist $l(\gamma) = \int_a^b |\gamma'(t)| dt$.

\subsubsection*{Eigenschaften}

Seien $\gamma, \gamma_1, \gamma_2 \in PC^1([a,b],\C)$ mit Bildern $\Gamma, \Gamma_1, \Gamma_2$ und $f, g \in C(\Gamma,\C), h \in C(\Gamma_1 \cup \Gamma_2, \C), \alpha, \beta \in \C$:

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item $\int_\gamma (\alpha f + \beta g) dz = \alpha \int_\gamma f dz + \beta \int_\gamma g dz$
	\item $|\int_\gamma f dz| \leq \|f\|_\infty l(\gamma)$
	\item $\int_{\gamma_1 \cup \gamma_2} h dz = \int_{\gamma_1} h dz + \int_{\gamma_2} h dz$
	\item $\int_{\gamma^-} f dz = - \int_{\gamma} f dz$
\end{enumerate}

Sei $\gamma \in PC^1([a,b],\C)$ mit Bild $\Gamma$, $f_n, f \in C(\Gamma,\C)$ für $n \in \N$ und $h \in C(D\times\Gamma,\C)$. Dann gelten:

\spacing

$(f_n)$ konv. glm. auf $\Gamma$ gegen $f$

\vspace*{-2mm}
$$\implies \displaystyle\lim_{n\to\infty} \int_\gamma f_n dz = \int_\gamma f dz$$

$\sum_{n=1}^\infty f_n$ konv. glm. auf $\Gamma$

\vspace*{-2mm}
$$\implies \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \int_\gamma f_n dz = \int_\gamma \displaystyle\sum_{n=1}^\infty f_n dz$$

Abbildung $H : z \mapsto \int_\Gamma h(z,w) dw \in C(D,\C)$

\spacing

$z \mapsto h(z,w) \in H(D)$ mit $\frac{\partial}{\partial z} h \in C(D \times \Gamma, \C)$

\vspace*{-2mm}
$$\implies \frac{d}{dz} \int_\gamma h(z,w) dw = \int_\gamma \frac{\partial}{\partial z} h(z,w) dw$$

d.h. $H$ ist holomorph mit dieser Ableitung.

\subsection*{Konstant auf Gebieten}

Sei $D \subset \C$ ein Gebiet, $f \in H(D)$ und $f'=0$ auf $D$. Dann ist $f$ konstant.

\subsection*{Stammfunktionen}

Sei $f \in C(D,\C)$. Stammfunktion von $f$ auf $D$ ist $F \in H(D)$ mit $F'=f$.

$\exp, \sin, \cos$ und Polynome besitzen Stammftk. auf $\C$. $\log$ ist Stammfkt. von $z \mapsto \frac{1}{z}$ auf $\Sigma_\pi$.

\section*{Der Cauchysche Integralsatz}

Sei $D$ Gebiet, $f \in C(D,\C)$. Dann sind äquivalent:

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item $f$ hat Stammfunktion $F$ auf $D$
	\item $\forall \gamma_1, \gamma_2 \in PC^1([a,b],D)$ mit $\gamma_1(a)=\gamma_2(a)$ und $\gamma_1(b)=\gamma_2(b)$ gilt: $\int_{\gamma_1} f dz = \int_{\gamma_2} f dz$.
	\item $\forall \gamma \in C^1([a,b],D)$ mit $\gamma(a)=\gamma(b)$: $\int_\gamma f dz = 0$
\end{enumerate}

Es ergibt sich für jeden stückweisen $C^1$-Weg in $D$: $\int_\gamma f dz = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a))$.

\subsection*{Satz von Goursat}

Seien $w_0 \in D, f \in C(D,\C) \cap H(D \setminus \{w_0\})$ und $\Delta \subseteq D$ ein abgeschlossenes Dreieck. Dann:

\vspace*{-2mm}
$$\int_{\partial\Delta} f dz = 0$$

\subsection*{Cauchys Integralsatz}

Seien $D$ sternförmiges Gebiet, $f \in H(D)$ und $\gamma \in PC^1([a,b],D)$ geschlossen, dann gilt:

\vspace*{-2mm}
$$\int_\gamma f dz = 0$$

\subsubsection*{Cauchys Integralformeln}

Seien $f \in H(D), \overline B(z_0,r) \subseteq D, n \in \N_0, z \in B(z_0,r)$ und $s := |z-z_0| < r$. Sei $\partial B(z_0,r)$ durch $\gamma(t) = z_0 + re^{it}$ mit $t \in [0,2\pi]$ parametrisiert.

Dann ist $f$ bel. oft auf $D$ diffbar und es gelten:

\vspace*{-4mm}
\begin{align*}
	f^{(n)}(z) &= \frac{n!}{2\pi i} \int_{\partial B(z_0,r)} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} dw \\
	|f^{(n)}(z)| &\leq \frac{n!r}{(r-s)^{n+1}} \max_{|w-z_0|=r} |f(w)|
\end{align*}

\subsection*{Analytische Funktionen}

Eine Funktion $f : D \to \C$ heißt \emph{analytisch}, wenn $\forall z \in D \exists r(z) > 0$ mit $B(z,r(z)) \subseteq D$ s.d. $f$ auf $B(z,r(z))$ gleich einer Potenzreihe um $z$ ist.

\vspace*{1mm}

Eine Funktion $f \in H(\C)$ heißt \emph{ganz}.

\vspace*{1mm}

Analytische Funktionen sind insb. holomorph.

\subsubsection*{Entwicklungssatz}

Sei $f \in H(D)$. Dann ist $f$ analytisch.

\spacing

Für $\forall z_0 \in D$ sei $R(z_0) := \sup\{r > 0 | B(z_0,r) \subseteq D \}$ der maximale Redius. Zusätzlich sei $\overline r, r \in (0,R(z_0))$. Für $z \in B(z_0, R(z_0)$ ist die Taylorreihe von $f$:

\vspace*{-4mm}
\begin{align*}
f(z) &= \sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n \\
a_n &= \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial B(z_0,r)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}} dw
\end{align*}

Diese konvergiert gleichmäßig auf $\overline B(z_0,\overline r)$.

Für ganze $f$ gilt $R(z_0)=\infty$.

\subsection*{Laplacetransformationen}

Sei $f : [0,\infty) \to \C$ messbar und $\exists M, \omega \geq 0 \forall t \geq 0 : |f(t)| \leq Me^{\omega t}$. Dann ex. die \emph{Laplacetransformation}:

\vspace*{-2mm}
$$\hat f(\lambda) = \int_0^\infty e^{-\lambda t} f(t) dt \text{ für Re } \lambda > \omega$$

Diese ist auf $\{\lambda \in \C | \text{Re } \lambda > \omega\}$ holomorph mit:

\vspace*{-4mm}
$$\hat f^{(n)}(\lambda) = (-1)^n \int_0^\infty e^{-\lambda t} t^n f(t) dt, \text{ Re } \lambda > \omega, n \in \N$$

\subsection*{Satz von Morera}

Funktion $f \in C(D,\C)$ erfülle $\int_{\partial\Delta} f dz = 0$ für alle abg. $\Delta \subseteq D$. Dann ist $f$ holomorph.

\subsection*{Satz von Liouville}

Eine beschränkte ganze Funktion ist konstant.

\subsection*{Fundamentalsatz der Algebra}

Ein komplexes Polynom $n$-ten Grades hat $n$ Nullstellen in $\C$. (eventuell wiederholt)

\subsection*{Weierstraßscher Konvergenzsatz}

Seien $f, f_n : D \to \C$ für $n \in \N$. Konvergiert die \emph{Supremumsnorm} $\sup_{z \in K} |f_n(z)-f(z)|$ auf bel. komp. $K \subseteq D$ gegen $0$ für $n \to \infty$, so konvergiert $(f_n)$ kompakt auf $D$ gegen $f$. Weiterhin:

\spacing

$f_n \in C(D,\C) \xrightarrow[n \to \infty]{\text{kompakt}} f \implies f \in C(D,\C)$.

\spacing

Eine Folge $(f_n) \in H(D)$ konvergiere kompakt gegen $f$. Dann ist $f$ holomorph und alle $f_n^{(j)}$ konvergieren kompakt auf $D$ gegen $f^{(j)}$ für $n \to \infty$.

\subsection*{Identitätssatz}

Sei $D \subseteq \C$ Gebiet und $f \in H(D)$. Dann sind äquiv.:

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item $f = 0$ auf $D$
	\item $\exists z_0 \in D \forall n \in \N_0 : f^{(n)}(z_0) = 0$
\end{enumerate}

\columnbreak

\begin{enumerate}[label=(\alph*),resume]
	\item $\exists z_n, z_0 \in D \forall n \in N : f(z_n) = 0 \land z_n \neq z_0$ \\ Weiterhin gilt $z_n \to z_0 \ (n \to \infty)$
\end{enumerate}

Somit sind $g, h \in H(D)$ schon auf $D$ gleich, wenn $g, h$ auf Menge $M \subseteq D$ mit Häufungspunkt $z_0 \in D$ übereinstimmen.

\subsection*{Nullstellensatz}

Sei $f \in H(D) \neq$ Nullfkt. und $\exists z_0 \in D : f(z_0) = 0$. Dann $\exists m \in \N, r > 0$ mit $B(z_0, r) \subseteq D$ und $g \in H(B(z_0,r))$ mit $g(z_0) \neq 0$ s.d. für $z \in B(z_0,r)$ gilt:

\vspace{-4mm}
\begin{align*}
0 &= f(z_0) = f'(z_0) = \cdots = f^{(m-1)}(z_0), f^{(m)}(z_0) \neq 0 \\
f(z) &= (z-z_0)^m g(z)
\end{align*}

Dabei ist $m$ die Ordnung der Nullstelle $z_0$.

\subsection*{Holomorphe Fortsetzung}

Sei $f \in H(D), U \subseteq \C$ Gebiet mit $D \subseteq U$.

Dann $\exists! g \in H(U) : \restrictedto{g}{D} = f$.

\subsection*{Nullstelle in $B(z_0,r)$}

Sei $f \in H(D), B := B(z_0,r), r > 0, \overline B \subseteq D$. Weiter:

\vspace*{-3mm}
$$0 \leq |f(z_0)| < \min_{x \in \partial B} |f(x)|$$

Dann hat $f$ Nullstelle in $B$.

\subsection*{Offenheitssatz}

$f \in H(D)$ ist auf kleiner Kugel in $D$ konstant

$\implies \forall \text{offene } U \subseteq D : f(U) \subseteq \C$ ist offen.

\subsection*{Gebietstreue}

$D \subseteq \C$ ist Gebiet und $f \in H(D)$ ist nicht konstant

$\implies f(D)$ ist ein Gebiet.

\subsection*{Maximumsprinzip}

Sei $D$ Gebiet, $f \in H(D)$ nicht konstant. Dann:

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item Die Abbildung $D \to \R, z \mapsto |f(z)|$ hat kein lokales Maximum
	\item $D$ beschränkt, $f \in C(\overline D,\C)$. Dann: \\ $\max_{z \in \overline D} |f(z)| = \max_{z \in \partial D} |f(z)|$
\end{enumerate}

\section*{Homotopie}

Sei $N \subseteq M$ und $M$ ein metrischer Raum,

$\gamma_0, \gamma_1 \in C([a,b],M)$ geschlossene Wege in $N$.

\vspace*{1mm}

Die Wege $\gamma_0, \gamma_1$ heißen \emph{homotop} über $N$, wenn $\exists h \in C([0,1] \times [a,b],M) \forall (s,t) \in [0,1] \times [a,b] : h(s,t) \in N \land h(0,t)=\gamma_0(t) \land h(1,t) = \gamma_1(t) \land h(s,a) = h(s,b)$.

\vspace*{1mm}

Ist $\gamma_1$ konstant, so heißt $\gamma_0$ \emph{nullhomotop} über $N$. Man schreibt $\gamma_0 \sim_N \gamma_1$ bzw. $\gamma_0 \sim_N 0$.

\vspace*{1mm}

Sind alle geschlossenen stückweisen $C^1$-Wege in $N$ nullhomotop, so heißt $N$ \emph{einfach zusammenhängend}.

\subsection*{Homotope Variante der Cauchyschen Sätze}

Sei $D$ Gebiet, $f \in H(D), \gamma_0, \gamma_1$ auf $D$ homotope stückweise $C^1$-Wege. Dann:

$$\int_{\gamma_0} f dz = \int_{\gamma_1} f dz$$

Insb. gilt $\int_{\gamma_0} f dz = 0$, wenn $\gamma_0 \sim_D 0$.

Cauchys Integralsatz gilt auf einfach zusammenhängenden Gebieten in $D$.

\spacing

Sei $\overline B(z_0,r) \subseteq D, r > 0, z \in B(z_0,r), k(t) = z_0 + re^{it}$ für $t \in [0, 2\pi], n \in \N_0$ und $\gamma$ zu $k$ auf $D \setminus \{z\}$ homotoper stückweiser $C^1$-Weg. Dann:

$$f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} dw$$

\section*{Isolierte Singularitäten}

Sei $z_0 \in \C, f \in H(D \setminus \{z_0\}), D_0 := B(z_0,r) \setminus \{z_0\} \subseteq D$. Dann ist $z_0$ \emph{isolierte Singularität} von $f$. $f$ ist:

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item \emph{hebbar}, wenn $\exists \tilde f \in H(B(z_0,r)) : \restrictedto{f}{D_0} = \restrictedto{\tilde f}{D_0}$
	\item \emph{Pol}, wenn $f(z) \to \infty \ (z \to z_0)$
	\item \emph{wesentlich}, wenn $z_0$ nicht hebbar / Pol ist
\end{enumerate}

\subsection*{Charakterisierung}

Sei $z_0 \in \C$ isolierte Singularität von $f \in H(D)$. Dann sind äquivalent:

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item $z_0$ ist Pol von $f$
	\item $\exists r, c_1, c_2 > 0, m \in \N : \tilde D := B(z_0,r) \setminus \{z_0\} \subseteq D \land \forall z \in \tilde D : c_1|z-z_0|^{-m} \leq |f(z)| \leq c_2|z-z_0|^{-m}$
	\item $\exists r > 0, m \in \N, g \in H(B(z_0,r)) :$ \\ $\tilde D := B(z_0,r) \setminus \{z_0\} \subseteq D \land g(z_0) \neq 0 \land \forall z \in \tilde D : f(z) = (z-z_0)^{-m}g(z)$
	\item $\exists r > 0 : \tilde D := B(z_0,r) \setminus \{z_0\} \subseteq D \land \forall z \in \tilde D : f(z) \neq 0 \land h_0 := \frac{1}{f} : \tilde D \to \C$ besitzt Fortsetzung $h \in H(B(z_0,r))$ wobei $h$ in $z_0$ Nullstelle $m$-ter Ordnung hat
\end{enumerate}

\subsubsection*{Riemannscher Hebbarkeitssatz}

Die isolierte Singularität $z_0 \in \C$ von $f \in H(D)$ ist hebbar $\iff \exists r_1 > 0 : B(z_0,r_1) \setminus \{z_0\} \subseteq D$ und $f$ auf $B(z_0,r_1) \setminus \{z_0\}$ beschränkt ist.

\subsubsection*{Satz von Casorati-Weierstraß}

$z_0$ ist wesentlich $\iff \forall r > 0 :$

Bild $f(B(z_0,r) \setminus \{z_0\})$ liegt dicht in $\C$

\subsection*{Biholomorphie aus Injektivität}

Sei $f \in H(D)$ injektiv.

Dann ist $f(D) \subseteq \C$ offen und $f$ ist biholomorph.

\columnbreak

\subsection*{Laurentreihe}

Sei $a_n \in \C$ für $n \in \Z$ und $c \in \C$.

$\sum_{n \in \Z} a_n (z-c)^n$ mit $z \in \C$ ist die \emph{Laurentreihe}.

Diese konvergiert, falls Grenzwerte in $\C$ ex.:

\vspace*{-4mm}
\begin{align*}
&\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-c)^n & \text{(regulärer Anteil)} \\
&\sum_{n=1}^{+\infty} a_{-n}(z-c)^{-n} & \text{(singulärer Anteil)}
\end{align*}

Ist dies der Fall, wird definiert:

\vspace*{-4mm}
$$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-c)^n := \sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-c)^n + \sum_{n=1}^{+\infty} a_{-n}(z-c)^{-n}$$

\subsubsection*{Satz von Laurent}

Seien $f \in H(D), n \in \Z, z_0 \in \C$ und $R > 0$ s.d. $D_0 := B(z_0,R) \setminus \{z_0\} \subseteq D$.

Für $r \in (0,R)$ sei $\gamma_r : [0,2\pi] \to \C, t \mapsto z_0 + re^{it}$ und:

$$a_n := \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}} dw$$

Diese Koeff. sind eindeutig und unabhg. $r \in (0,R)$.

\spacing

$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n$ konvergiert dann absolut und gleichmäßig auf Kompakta in $D_0$ gegen $f$.

\subsubsection*{Singularitäten der Laurentreihe}

Für Laurentreihen nach der obigen Def. gelten:

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item $z_0$ ist hebbar $\iff \forall n < 0 : a_n = 0$
	\item $z_0$ ist Pol $m$-ter Ordnung \\ $\iff a_{-m} \neq 0 \land \forall n < -m : a_n = 0$
	\item $z_0$ ist wesentlich $\iff \exists n_j \to -\infty : a_{n_j} \neq 0$
\end{enumerate}

\subsection*{Residuen}

Sei $z_0 \in \C$ isolierte Singularität von $f \in H(D)$ und $a_n$ Koeffizienten der Laurentreihe von $f$ um $z_0$.

Das \emph{Residuum} von $f$ bei $z_0$ ist definiert als:

$$\text{Res}(f,z_0) := a_{-1} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial B(z_0,r)} f(w) dw$$

Hierbei gelte $\overline B(z_0,r) \setminus \{z_0\} \subseteq D$.

\subsubsection*{Residuensatz}

Seien $f \in H(D)$ und $z_1, \dots, z_n \in \C$ alle isolierten Singularitäten von $f$. Sei $p$ ein geschlossener, einfacher, positiv orientierter Polygonzug in $D$ mit Bild $P$ s.d. alle $z_j$ im von $P$ umschlossenen Gebiet $G$ liegen und $\overline G \setminus \{z_1,\dots,z_n\} \subseteq D$ ist. Weiterhin sei $\gamma \in PC^1([a,b],D)$ zu $p$ auf $D$ homotop. Dann:

\columnbreak

\vspace*{-4mm}
$$\int_\gamma f dz = 2\pi i \sum_{j=1}^n \text{Res}(f,z_j)$$

\subsubsection*{Residuen von Polen $m$-ter Ordnung}

Sei $z_0$ Pol $m$-ter Ordnung von $f \in H(D)$ und $g$ die holomorphe Fortsetzung von $(z-z_0)^m f(z)$ auf $B(z_0,r) \subseteq D$. Dann gelte:

\vspace*{-4mm}
\begin{align*}
\text{Res}(f,z_0) &= \frac{1}{(m-1)!} g^{(m-1)}(z_0) \\
&= \lim_{z \to z_0} \frac{1}{(m-1)!}\left(\frac{d}{dz}\right)^{m-1} ((z-z_0)^m f(z))
\end{align*}

Insb. gilt also für $m=1$:

\vspace*{-2mm}
$$\text{Res}(f,z_0) = \lim_{z \to z_0}(z-z_0)f(z)$$

\subsection*{Argumentprinzip}

Seien $f \in H(D), z_1, \dots, z_n \in D$ die Nullstellen von $f$ mit Ordnungen $m_1, \dots, m_n \in \N$ und $p$ geschlossener, einfacher, positiv orientierter Polygonzug in $\hat D := D \setminus \{z_1,\dots,z_n\}$ mit Bild $P$ s.d. die Nullstellen im von $P$ umschlossenen Gebiet $G$ liegen mit $\overline G \subseteq D$. Sei $\gamma$ in $\hat D$ zu $p$ homotope, geschlossene stückweise $C^1$-Kurve. Dann:

$$\frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f'(z)}{f(z)} dz = \sum_{j=1}^n m_j$$

\subsubsection*{Satz von Rouché}

Sei $f \in H(D), z_j \in \C, m_j \in \N$ und Weg $\gamma$ mit Bild $\Gamma$ entsprechend dem Argumentprinzip. $g \in H(D)$ erfülle: $\forall z \in \Gamma : |f(z)-g(z)| < |f(z)| + |g(z)|$

Seien $\omega_1, \dots, \omega_\nu$ Nullstellen von $g$ im von $\gamma$ umschlossenen Gebiet mit Vielfachheiten $\mu_k \in \N$:

\vspace*{-2mm}
$$\sum_{j=1}^n m_j = \sum_{k=1}^\nu \mu_k$$

d.h. die Summe der Nullstellenordnungen von $f$ ist gleich der Summe der Vielfachheiten von $g$.
