From 2cc8f29ebf3f2c5558e612ac283409b5fa66f3c0 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Adrian Kummerlaender
Date: Tue, 1 Jan 2019 15:34:21 +0100
Subject: Fix integral symbol

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index 32d3294..b0f47ac 100644
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@@ -101,7 +101,7 @@ Für D2Q9 ergeben sich nach \cite[Gl.~3.60 bzw. Tab.~3.3]{krueger17} die Gewicht
 Weiter folgt zusammen mit der Bedingung \(\sum_{i=1}^{q-1} w_i (\xi_i)_a (\xi_i)_b = c_s^2 \delta_{a,b}\) aus \cite[Gl.~3.60]{krueger17} die Schallgeschwindigkeit \(c_s = \sqrt{1/3}\) des Lattice. Konditionen zur Bestimmung dieser gitterspezifischen Konstanten sind hierbei die Erhaltung von Impuls und Masse sowie die Forderung von \emph{Rotationsisotropie}.
 
 Zur Entwicklung einer \emph{implementierbaren} expliziten BGK Gleichung können wir nun die Geschwindigkeitsdiskretisierung~\ref{def:disVelBGK} integrieren:
-\[ f_i(x+\xi_i, t+1) - f_i(x,t) = \ipol_0^1 \Omega_i(x+\xi_i s,t+s) ds \]
+\[ f_i(x+\xi_i, t+1) - f_i(x,t) = \int_0^1 \Omega_i(x+\xi_i s,t+s) ds \]
 
 Wobei \(\Omega_i(x,t)\) hier die diskrete Formulierung des BGK Kollisionsoperators darstellt:
 \[\Omega_i(x,t) := -\frac{1}{\tau} ( f_i(x,t) - f_i^\text{eq}(x, t) )\]
@@ -534,7 +534,8 @@ Zu erwähnen bleibt, dass wir aus Konsistenzgründen alle Kopplungsformeln immer
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 Nach Durchführung der drei Vervollständigungsschritte haben wir die Invariante für \(t+\delta t_g\) wieder hergestellt und können von vorne beginnen. Wir haben damit an dieser Stelle das Verfeinerungsverfahren von Lagrava et al. vollständig nachvollzogen und können mit der Implementierung in OpenLB fortfahren.
 
-
+% ToDo: Revisit Multi-Grid: Kopplung über der ganzen Domäne
+	% Sollte so sein - Kopplung nur am Rand macht Inneres irrelevant, d.h. Domain==Grid
 % ToDo: Einschränkungen der Gitterpositionierung (keine hängenden feinen Knoten) ausarbeiten
 % ToDo: Randfälle der Restriktion ausarbeiten, analog zu Interpolation (fehlt im Paper)
 % ToDo: Experimentelle Begründung, warum Kopplungsformel immer auf alle Richtungen angewandt wird
@@ -542,6 +543,8 @@ Nach Durchführung der drei Vervollständigungsschritte haben wir die Invariante
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 \section{Implementierung in OpenLB}
 
+OpenLB~\cite{olb12}
+
 \subsection{Auswahl der Verfeinerungsmethode}\label{sec:olbRefinementChoice}
 
 \subsection{Struktur des Gitterverfeinerungsframework}
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cgit v1.2.3