From 50d349a23e0050379f515477497e0460c4d66a20 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Adrian Kummerlaender
Date: Thu, 24 Jan 2019 21:08:40 +0100
Subject: Expand Poiseuille example section

---
 content.tex | 29 ++++++++++++++++++++++++++++-
 1 file changed, 28 insertions(+), 1 deletion(-)

(limited to 'content.tex')

diff --git a/content.tex b/content.tex
index 81e01fb..bdbf9ec 100644
--- a/content.tex
+++ b/content.tex
@@ -857,8 +857,35 @@ Bei erster Betrachtung lässt sich erkennen, dass die Strömung den Gitterüberg
 
 \bigskip
 
-Zur formalen Qualitätsbewertung ziehen wir im Folgenden die analytische Lösung~\ref{def:analyticPoiseuille} von Geschwindigkeit und Druck des Poiseuille-Flusses heran. Wir können diese in \mbox{OpenLB} einfach mit Hilfe des \class{SuperRelativeErrorL2Norm2D} Funktors auf beiden Gittern mit der simulierten Lösung vergleichen.
+Zur formalen Qualitätsbewertung ziehen wir im Folgenden die analytische Lösung~\ref{def:analyticPoiseuille} von Geschwindigkeit und Druck des Poiseuille-Flusses heran. Wir können diese in \mbox{OpenLB} einfach mit Hilfe des \class{SuperRelativeErrorL2Norm2D} Funktors auf beiden Gittern mit der simulierten Lösung vergleichen:
+
+\begin{center}
+\begin{tabular}{ l l l l }
+Gitterstruktur & Geschwindigkeitsfehler & Druckfehler \\
+\hline
+\(11 \times 41\) & 1.88337e-3 & 3.11534e-3 \\
+\hline
+\(21 \times 81\) & 1.16253e-3 & 2.27404e-3 \\
+\hline
+\(11 \times 21\) & 1.00761e-2 & 2.71447e-2 \\
+\hphantom{\(11 \times 21\)} \(21 \times 43\) & 1.02424e-2 & 2.07924e-2 \\
+\hline
+\(11 \times 41\) & 1.77561e-3 & 3.11244e-3 \\
+\hphantom{\(11 \times 41\)} \(17 \times 41\) & 2.04335e-3 & 3.39432e-3 \\
+\end{tabular}
+\end{center}
 
+\noindent
+Die halbseitig verfeinerte Lösung aus Abbildung~\ref{fig:PoiseuilleGridSetup} ist zunächst also um eine Größenordnung schlechter als eine gleichmäßig mit \(n=20\) aufgelöste Berechnung. Etwas überraschend ist ihr Fehler auch deutlich größer als der Fehler einer uniform mit \(n=10\) aufgelösten Simulation -- zumindest in diesem speziellen Beispiel hat Gitterverfeinerung also einen messbar negativen Einfluss auf die Genauigkeit der Simulation.
+
+Nicht vergessen werden sollte jedoch, dass die untersuchte halbseitig verfeinerte Poiseuille-Strömung als Beispiel sehr konstruiert und nicht realitätsnah ist. Auch die noch folgenden Beobachtungen in Abbildung~\ref{fig:PoiseuilleOutflowProfile}, nach welchen die lineare Interpolation zu kleineren Geschwindigkeitsfehlern führt, deutet auf eine beschränkte Aussagekraft dieses Beispiels hin.
+Eine Besonderheit ist in diesem Kontext auch die Existenz von Randbedingungen im Übergangsbereich. Eine etwaige Behandlung dieser wurde weder von Lagrava et al. angesprochen, noch in der dem Leser vorliegenden Arbeit näher untersucht. Tatsächlich verschwindet der \emph{Verfeinerungsfehler} fast vollständig, wenn die Wände aus dem verfeinerten Bereich ausgespart werden.
+
+\bigskip
+
+Abschließend erscheint es beispielübergreifend intuitiv erwartbar, dass eine nicht aus dem konkreten Strömungsproblem informierte Anwendung von Gitterverfeinerung -- und damit eine unbegründete Erhöhung der Simulationskomplexität gegenüber einem uniformen Gitter -- einer Verbesserung der Präzision nicht zuträglich ist.
+
+\newpage
 \subsubsection{Vergleich der Interpolationsverfahren}
 
 Den Poiseuille Simulationsaufbau können wir an dieser Stelle auch zur Nachvollziehung des, von Lagrava et al. für die Verwendung eines Verfahrens vierter Ordnung in der räumlichen Interpolation feiner Übergangsknoten ohne koinzidierende grobe Stützpunkte hervorgebrachten, Arguments verwenden.
-- 
cgit v1.2.3

