From 59d6b10ce7dc1c974bda0840681a7e05c2bd8b20 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Adrian Kummerlaender Date: Thu, 17 Jan 2019 13:43:52 +0100 Subject: Fix scaling factor The factor itself should now be correct. Remaining issues: * I don't fully trust that the derivation of the factor is correct * Refinement finally works at small relaxation times but I still can not reproduce the pressure error caused by the simple restriction of fNeq in F2C --- content.tex | 22 +++++++++++----------- 1 file changed, 11 insertions(+), 11 deletions(-) (limited to 'content.tex') diff --git a/content.tex b/content.tex index ea863f1..190cc9e 100644 --- a/content.tex +++ b/content.tex @@ -418,21 +418,21 @@ Für die zur expliziten Lösung der diskreten LBM BGK Gleichung in Definition~\r Die Equilibriumsverteilung \(f_i^\text{eq}\) ergibt sich nach Definition~\ref{def:fieq} aus Geschwindigkeit \(u\) und Dichte \(\rho\). Sie sind also explizit unabhängig der Gitterauflösung und, wie erwähnt, stetig im Gitterübergang. Diese Aussage gilt nicht für die Nicht-Equilibriumsverteilung \(f_i^\text{neq}\), da diese nach (\ref{eq:approxFneq}) von dem Geschwindigkeitsgradienten \(\nabla u\) abhängt. Bezeichnen nun \(f_{f,i}^\text{neq}\) und \(f_{g,i}^\text{neq}\) die gitterspezifischen Nicht-Equilibriumanteile und \(\mathrm{S}_f\) sowie \(\mathrm{S}_g\) die entsprechenden Verzerrungstensoren. Zur Skalierung von \(f_{f,i}^\text{neq}\) suchen wir ein \(\alpha \in \R\) s.d. gilt: \[f_{f,i}^\text{neq} = \alpha f_{g,i}^\text{neq} \numberthis\label{eq:scaleFneqReq}\] - -Mit Hilfe von \ref{eq:approxFneq} lässt sich diese Relation nun nach \(\alpha\) auflösen: +Mit Hilfe von (\ref{eq:approxFneq}) lässt sich diese Relation nach \(\alpha\) auflösen: \begin{align*} f_{f,i}^\text{neq} = \alpha f_{g,i}^\text{neq} &\iff -\frac{w_i \rho \overline{\tau_f}}{c_s^2} \mathrm{Q}_i : \mathrm{S}_f = -\alpha \left( \frac{w_i \rho \overline{\tau_g}}{c_s^2} \mathrm{Q}_i : \mathrm{S}_g \right) \\ &\iff \overline{\tau_f} \mathrm{Q}_i : \mathrm{S}_f = \alpha \overline{\tau_g} \mathrm{Q}_i : \mathrm{S}_g \\ -&\iff \frac{\overline{\tau_f}}{\delta t_f} \mathrm{Q}_i : \mathrm{S} = \alpha \frac{\overline{\tau_g}}{\delta t_g} \mathrm{Q}_i : \mathrm{S} \\ -&\iff \alpha = \frac{\delta t_g}{\delta t_f} \frac{\overline{\tau_f}}{\overline{\tau_g}}\\ +&\iff \overline{\tau_f} \delta t_f \mathrm{Q}_i : \mathrm{S} = \alpha \overline{\tau_g} \delta t_g \mathrm{Q}_i : \mathrm{S} \\ +&\iff \alpha = \frac{\delta t_f}{\delta t_g} \frac{\overline{\tau_f}}{\overline{\tau_g}}\\ \end{align*} - -Auflösen dieses \(\alpha\) in (\ref{eq:scaleFneqReq}) und Einsetzen der Relationen (\ref{eq:gridTime}) sowie (\ref{eq:gridTauShift}) ergibt dann: +Einsetzen der Relationen (\ref{eq:gridTime}) und (\ref{eq:gridTauShift}) reduziert den Skalierungsfaktor auf einen nur von der groben Relaxionszeit abhängigen Ausdruck: \begin{align*} -f_{f,i}^\text{neq} &= \frac{\delta t_g}{\delta t_f} \frac{\overline{\tau_f}}{\overline{\tau_g}} f_{g,i}^\text{neq} \\ -&= 2 \frac{2\overline{\tau_g} - \frac{1}{2}}{\overline{\tau_g}} f_{g,i}^\text{neq} \\ -&= \left( 4 - \frac{1}{\overline{\tau_g}} \right) f_{g,i}^\text{neq} \numberthis\label{eq:scaleFneq} +\alpha &= \frac{\delta t_f}{\delta t_g} \frac{\overline{\tau_f}}{\overline{\tau_g}} \\ +&= \frac{1}{2} \frac{2\overline{\tau_g} - \frac{1}{2}}{\overline{\tau_g}} \\ +&= 1 - \frac{1}{4\overline{\tau_g}} \numberthis\label{eq:scaleFactor} \end{align*} +Schließlich erhalten wir so die folgende Relation der Nicht-Equilibriumsverteilungen: +\[f_{f,i}^\text{neq} = \left( 1-\frac{1}{4\overline{\tau_g}} \right) f_{g,i}^\text{neq} \numberthis\label{eq:scaleFneq}\] Insgesamt haben wir hiermit die Skalierung der Diskretisierungen in Raum und Zeit, der Relaxionszeit sowie der Nicht-Equilibriumsverteilung zwischen den Gittern \(\F\) und \(\G\) hergeleitet. @@ -440,8 +440,8 @@ Insgesamt haben wir hiermit die Skalierung der Diskretisierungen in Raum und Zei Seien \(x_{f \to g} \in \U_{f \to g}\) und \(x_{g \to f} \in \U_{g \to f}\) die Knoten aus dem Übergangsbereich mit Übertragung von fein nach grob bzw. von grob nach fein. Dann gelten bei Erinnerung an die implizite Knotenabbildung~\ref{def:BijImplGitter}: \begin{align} -f_{g,i}(x_{f \to g}) &= f_i^\text{eq}(\rho(x_{f \to g}), u(x_{f \to g})) + \left(4-\frac{1}{\overline{\tau_g}}\right)^{-1} f_{f,i}^\text{neq}(x_{f \to g}) \label{eq:basicF2G} \\ -f_{f,i}(x_{g \to f}) &= f_i^\text{eq}(\rho(x_{g \to f}), u(x_{g \to f})) + \left(4-\frac{1}{\overline{\tau_g}}\right) f_{g,i}^\text{neq}(x_{g \to f}) \label{eq:basicG2F} +f_{g,i}(x_{f \to g}) &= f_i^\text{eq}(\rho(x_{f \to g}), u(x_{f \to g})) + \left(1-\frac{1}{4\overline{\tau_g}}\right)^{-1} f_{f,i}^\text{neq}(x_{f \to g}) \label{eq:basicF2G} \\ +f_{f,i}(x_{g \to f}) &= f_i^\text{eq}(\rho(x_{g \to f}), u(x_{g \to f})) + \left(1-\frac{1}{4\overline{\tau_g}}\right) f_{g,i}^\text{neq}(x_{g \to f}) \label{eq:basicG2F} \end{align} Die zusammengesetzten Verteilungsfunktionen von Übergangsknoten des einen Gitters lassen sich also durch Skalierung des Nicht-Equilibriumanteils der Verteilungsfunktionen des jeweils anderen Gitters rekonstruieren. Leider reicht dies noch nicht zur vollständigen Beschreibung eines Gitterverfeinerungsverfahrens, da nicht für alle feinen Gitterknoten im Übergangsbereich passende grobe Gitterknoten existieren -- vgl. dazu Abbildung~\ref{fig:OverlapZone}. Auch der Übergang von fein nach grob gestaltet sich trotz passenden feinen Knoten potenziell komplizierter, als eine bloße Skalierung, wie wir im nächsten Kapitel zeigen werden. -- cgit v1.2.3