From e138c019fa3391b53da74b0e1b7e16285d72d746 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Adrian Kummerlaender
Date: Fri, 1 Mar 2019 10:21:09 +0100
Subject: Update abstract, small changes

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@@ -661,7 +661,7 @@ Bei Variation der Auflösung einzelner Quader im Rahmen der \class{CuboidGeometr
 
 Zur Ermöglichung von Parallelisierung berücksichtigt die, der Gitterverwaltung in \class{SuperLattice2D} zugrundeliegende, Aufteilung der Domäne durch \class{CuboidGeometry2D} bereits Übergangsbereiche, deren Funktion mit zusätzlicher Auflösungskopplung in Einklang zu bringen wäre.
 
-Weiter würde das Problemfeld eben dieser Dekomposition um die Restriktion auf Auflösungsübergänge im Verhältnis \(1:2\) erweitert. So müsste ein guter Algorithmus zur Aufteilung der Simulationsdomäne dann die Anforderungen an Parallelisierung, Rechenauslastung, Geometrie und Verfeinerung sinnvoll auflösen und zugleich manuelle Eingriffe erlauben. Diese zusätzliche starke Einschränkung sowie der dann bei Anpassung der Verfeinerungsstruktur unumgängliche komplette Neuaufbau der Simulation bilden ein schwerwiegendes Gegenargument zu diesem ersten Gedanken.
+Weiter würde das Problemfeld eben dieser Dekomposition um die Restriktion auf Auflösungsübergänge im Verhältnis \(1:2\) erweitert. So müsste ein guter Algorithmus zur Aufteilung der Simulationsdomäne die Anforderungen an Parallelisierung, Verteilung der Rechenressourcen, Geometrie und Verfeinerung sinnvoll auflösen und zugleich manuelle Eingriffe erlauben. Diese zusätzliche starke Einschränkung sowie der dann bei Anpassung der Verfeinerungsstruktur unumgängliche komplette Neuaufbau der Simulation bilden ein starkes Gegenargument zu diesem ersten Gedanken.
 
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 Der tatsächlich umgesetzte Ansatz ergibt sich aus dem Verständnis von Gitterverfeinerung als Kopplung von ansonsten komplett allein stehenden Simulationen. Die Übergangsbereiche wären in diesem Modell mit Randkonditionen vergleichbar, wie sie für Ein- und Ausflüsse verwendet werden. Gitterverfeinerung könnte so weitestgehend von der bestehenden Architektur getrennt ergänzt werden, was insbesondere auch die veränderungsfreie Unterstützung existierender Anwendungen begünstigen würde.
@@ -828,7 +828,7 @@ Das hochwertigste Kriterium ist dabei der Fehlervergleich zur analytischen Lösu
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 \subsection{Rohrströmung}
 
-Als Einstiegspunkt wollen wir zunächst die grundsätzliche Funktion des Verfeinerungsverfahren an einem möglichst einfachen Beispiel gegen möglichst korrekte Vergleichsdaten testen. Ein solches Beispiel ist gegeben durch die laminare Strömung in einem Rohr mit kreisförmigem Querschnitt und ohne Hindernisse abseits der Wände.
+Als Einstiegspunkt wollen wir zunächst die grundsätzliche Funktion des Verfeinerungsverfahrens an einem möglichst einfachen Beispiel gegen möglichst korrekte Vergleichsdaten testen. Ein solches Beispiel ist gegeben durch die laminare Strömung in einem Rohr mit kreisförmigem Querschnitt und ohne Hindernisse abseits der Wände.
 
 \begin{figure}[h]
 \centering
@@ -982,9 +982,9 @@ Noch weiter kann diese Beobachtung hier jedoch nicht bewertet werden, da nicht k
 An dieser Stelle wollen wir die Gelegenheit nutzen, uns näher mit der Wahl der Verfeinerungsbereiche auseinanderzusetzen. So scheint es auf der einen Seite intuitiv sinnvoll, einen Verfeinerungsbereich in besonders komplexen Regionen einer Simulationsdomäne zu platzieren -- in diesem Fall also um den Zylinder, dessen Geometrie dann u.a. feiner aufgelöst würde. Auf der anderen Seite ist eine solch intuitive Entscheidung aber leicht fehlbar und schwer qualitativ zu beurteilen oder zu optimieren. Entsprechende Gedanken bewogen auch die Autoren unseres Verfeinerungsverfahrens, in \citetitle{Lagrava15}~\cite{Lagrava15} ein auf der Knudsen-Zahl basierendes automatisches Kriterium zur Gitterverfeinerung herzuleiten.
 
 \begin{Definition}[Knudsen-Zahl]
-Sei \(\lambda\) die mittlere freie Weglänge und \(L\) die charakteristische Länge des Systems. Die Knudsen-Zahl \(\text{Kn}\) ist definiert als:
-\[ \text{Kn} := \frac{\lambda}{L} \]
-Die Knudsen-Zahl ist eine dimensionlose Kennzahl der Strömungslehre. Ihr Wert beschreibt, ob ein Gas als strömungsmechanisches Kontinuum nach Navier-Stokes oder als Bewegung einzelner Teilchen betrachtet werden kann \cite[S.~14]{Krueger17}:
+Sei \(\lambda\) die mittlere freie Weglänge, \(L\) die charakteristische Länge des Systems. Die Knudsen-Zahl \(\text{Kn}\) ist definiert als:
+\[ \text{Kn} := \frac{\lambda}{L} \quad \left(\overset{\text{\cite[Kap.~1.4.2]{Haenel04}}}{=} \frac{\text{Ma}}{\text{Re}} \frac{\rho^2 c_s \lambda}{\nu} \quad \overset{\text{\cite[Gl.~(7.22)]{Krueger17}}}{\simeq} \frac{\text{Ma}}{\text{Re}}\right) \]
+Diese Knudsen-Zahl ist eine dimensionlose Kennzahl der Strömungslehre. Ihr Wert beschreibt, ob ein Gas als strömungsmechanisches Kontinuum nach Navier-Stokes oder als Bewegung einzelner Teilchen betrachtet werden kann \cite[S.~14]{Krueger17}:
 \begin{description}
 \item[\(\text{Kn} \ll 1\)] Strömungsmechanisches Kontinuum nach Navier-Stokes
 \item[\(\text{Kn} \gtrsim 1\)] Betrachtung einzelner Teilchen
@@ -993,18 +993,18 @@ Die Knudsen-Zahl ist eine dimensionlose Kennzahl der Strömungslehre. Ihr Wert b
 
 \begin{Definition}[Auftreten der Knudsen-Zahl in LBM]
 Die Knudsen-Zahl wird im LBM-Kontext nach \cite[vgl.~(21)]{Lagrava15} durch den Quotienten der Nicht-Equilibriums- und Equilibriumsverteilung in Richtung \(i \in \{0,\dots,q-1\}\) genähert:
-\[\text{Kn} \sim \frac{f_i^\text{neq}}{f_i^\text{eq}}\]
+\[\text{Kn} \sim \frac{f_i^\text{neq}}{f_i^\text{eq}} \overset{!}{\ll} 1 \]
 Die Mittelung über alle Richtungen ergibt so die lokal in einem Knoten des Gitters genäherte Knudsen-Zahl:
 \[C(x) := \frac{1}{q} \sum_{i=0}^{q-1} \left|\frac{f_i^\text{neq}}{f_i^\text{eq}}\right|\]
 \end{Definition}
 
 \begin{Definition}[Lokaler Verfeinerungsfaktor]
 Nach \cite[vgl.~(29)]{Lagrava15} führt die folgende Transformation der lokal genäherten Knudsen-Zahl zur Berechnung eines diskreten Verfeinerungsfaktors:
-\[ R(x) := \text{round}\left( \log_2 \left( \frac{C(x)}{\text{Kn}} \right) \right) \]
+\[ R(x) := \text{round}\left( \log_2 \left( \frac{C(x)}{\text{Kn}} \right) \right) \in \Z \]
 Dieser Faktor beschreibt die Anzahl der empfohlenen Auflösungsverdoppelungen.
 \end{Definition}
 
-Dieses, die theoretische mit der tatsächlich simulierten Knudsen-Kennzahl des Fluids vergleichende, Kriterium liefert bis auf Zellebene auflösbare Informationen zur lokalen Simulationsqualität in Form der direkten Empfehlung eines Verfeinerungsfaktors. Beschränken wir dessen Wertebereich zur besseren Unterscheidung auf eine diskrete Menge, erhalten wir folgende Darstellung der unverfeinerten Simulation:
+Dieses, die theoretische mit der tatsächlich simulierten Knudsen-Kennzahl des Fluids vergleichende, Kriterium liefert auf diese Weise bis auf die Ebene einzelner Zellen auflösbare Informationen zur lokalen Simulationsqualität. Beschränken wir dessen Wertebereich zur besseren Unterscheidung auf eine diskrete Menge, erhalten wir folgende Darstellung der unverfeinerten Simulation:
 
 \begin{figure}[H]
 \begin{adjustbox}{center}
@@ -1087,7 +1087,7 @@ Bis hier haben wir die den Einfluss von Gitterverfeinerung auf die Zylinderumstr
 \citetitle{SchaeferTurek96}~\cite{SchaeferTurek96} liefert eine, dieser formalen Bewertung dienliche, Übersicht der, von 17 verschiedenen Forschungsgruppen beigetragenen und auf unterschiedliche Weisen gewonnenen, Lösungen einer klar definierten Zylinderumströmung. Diese Lösungen sind dabei anhand einer Auswahl von charakteristischen Messwerten wie dem Strömungswiderstands- und Auftriebskoeffizient sowie dem Druckunterschied zwischen Vorder- und Rückseite des Zylinders gegeben.
 
 \begin{Definition}[Strömungswiderstands- und Auftriebskraft]
-Beschreite der Weg \(S\) den Rand des Zylinders und sei \(n \in \R^2\) dessen Normale, \(v_t\) die Geschwindigkeit entlang der Tangente \(t:=(n_1,-n_0)\), \(\rho_c\) die charakteristische Dichte der Flüssigkeit, \(P\) der Druck sowie \(\nu\) die kinematische Viskosität. Dann sind Widerstands- und Auftriebskraft des Zylinders gegeben als:
+	Beschreite der Weg \(S\) den Rand des Zylinders und sei \(n \in \R^2\) dessen Normale, \(v_t\) die Geschwindigkeit entlang der Tangente \(t:=(n_1,-n_0)\), \(\rho_c\) die charakteristische Dichte der Flüssigkeit, \(P\) der Druck sowie \(\nu\) die kinematische Viskosität. Dann sind Widerstands- und Auftriebskraft des Zylinders gegeben als~\cite[Kap.~2.2]{SchaeferTurek96}:
 \begin{align*}
 F_w &= \int_S \left( \rho_c \nu \frac{\partial v_t}{\partial n} n_1 - P n_0 \right) dS && \text{Widerstandskraft}\\
 F_a &= - \int_S \left( \rho_c \nu \frac{\partial v_t}{\partial n} n_0 + P n_1 \right) dS && \text{Auftriebskraft}
@@ -1096,7 +1096,7 @@ F_a &= - \int_S \left( \rho_c \nu \frac{\partial v_t}{\partial n} n_0 + P n_1 \r
 
 \newpage
 \begin{Definition}[Strömungswiderstands- und Auftriebskoeffizient]
-Sei \(D\) der Zylinderdurchmesser, \(\overline{U}\) die durchschnittliche Fluidgeschwindigkeit und \(\rho_c\) die charakteristische Dichte. Dann sind die Widerstands- und Auftriebskoeffizienten gegeben als:
+Sei \(D\) der Zylinderdurchmesser, \(\overline{U}\) die durchschnittliche Fluidgeschwindigkeit und \(\rho_c\) die charakteristische Dichte. Dann sind die Widerstands- und Auftriebskoeffizienten gegeben als~\cite[Kap.~2.2]{SchaeferTurek96}:
 \begin{align*}
 c_w &= \frac{2F_w}{\rho_c \overline{U}^2 D} && \text{Widerstandskoeffizient} \\
 c_a &= \frac{2F_a}{\rho_c \overline{U}^2 D} && \text{Auftriebskoeffizient}
@@ -1206,7 +1206,7 @@ Das geeignet verfeinerte Gitter liefert demnach in zwei von drei Messwerten eine
 Da alle vier getesteten Gitter gute Übereinstimmung zu den Referenzdaten von Schäfer und Turek aufweisen, fällt der Vorteil der Gitterverfeinerung im Allgemeinen jedoch geringer aus, als noch im Vergleich der niedrig aufgelösten Gitter aus Abbildung~\ref{fig:CylinderOptimizedGridComparison} und Tabelle~\ref{tab:cylinder2dComparison}. Darüber hinaus liegt die Knotenanzahl des betrachteten \(N=160\) Gitters weit oberhalb der maximalen referenzstiftenden Knotenzahlen \cite[Tabelle~4]{SchaeferTurek96}, so dass wir hier an die Grenzen der Aussagekraft von Fehlern bezüglich dieser Werte stoßen.
 
 \bigskip
-Rückblickend hat die Evaluation unseres Gitterverfeinerungsverfahrens anhand der Zylinderumströmung ihre Vorteil spendende Verwendbarkeit eindrücklich demonstriert. Während bei der Betrachtung der einfachen Poiseuilleströmung Sorgen bezüglich der Ergebnisgenauigkeit verfeinerter Gitter aufgeworfen wurden, konnten diese in der zurückliegenden Betrachtung einer komplexeren und so einen Verfeinerungsbedarf besser begründenden Strömungssituation weitestgehend beigelegt werden. Während die aufgeworfene Frage nach der korrekten Behandlung von Randbedingungen im Übergangsbereich noch offen ist, konnten wir unter Vermeidung dieser unklaren Situation ein sinnvolles, durch ein formales Kriterium informiertes, lokal verfeinertes Gitter beschreiben.
+Rückblickend hat die Evaluation unseres Gitterverfeinerungsverfahrens anhand der Zylinderumströmung dessen Vorteil spendende Verwendbarkeit eindrücklich demonstriert. Während bei der Betrachtung der einfachen Poiseuilleströmung Sorgen bezüglich der Ergebnisgenauigkeit verfeinerter Gitter geweckt wurden, konnten diese in der Betrachtung einer komplexeren und so einen Verfeinerungsbedarf besser begründenden Strömungssituation weitestgehend beigelegt werden. Während die aufgeworfene Frage nach der korrekten Behandlung von Randbedingungen im Übergangsbereich noch offen ist, konnten wir unter Vermeidung dieser unklaren Situation ein sinnvolles, durch ein formales Kriterium informiertes, lokal verfeinertes Gitter beschreiben.
 
 Verfeinerte Simulationen der Zylinderumströmung konnten auf diese Weise im Vergleich ihrer aerodynamischen Kennzahlen mit belastungsfähigen Referenzwerten \cite{SchaeferTurek96} durchweg gegen ungleich größere Knotengrade aufweisende uniforme Gitter bestehen.
 
@@ -1219,7 +1219,7 @@ Die existierenden Strukturen der LBM-Bibliothek OpenLB ließen sich gut mit eine
 
 Die im Rahmen dieser Beispiele betrachtete Zylinderumströmung bestätigte das Verfahren im Vergleich von verfeinerten und uniformen Simulationen als gewinnbringend einsetzbar -- aerodynamische Kennzahlen mit guter Übereinstimmung zu hochwertigen Vergleichsdaten \cite{SchaeferTurek96} konnten durch gezielte Verfeinerung mit einer deutlich reduzierten Anzahl von Gitterknoten simuliert werden. Dies ist insbesondere auch im Hinblick darauf beachtlich, dass ein mit äquivalenter Anzahl von Gitterknoten uniform aufgelöstes Gitter signifikant schlechtere und zur Divergenz neigende Ergebnisse lieferte. In diesem Kontext offenbarte sich der Einsatz von Gitterverfeinerung zur gezielten Vermeidung von Divergenz im Ausflussbereich als zusätzliches Anwendungsgebiet.
 
-Problematischer erwies sich das Verfahren in der Anwendung auf eine einfache und analytisch lösbare Poiseuilleströmung. Im Verlauf der Untersuchung dieser grundlegenden Strömungssituation kristallisierte sich das in \cite{Lagrava12} unbeachtet gelassene Zusammenspiel von Randkonditionen und Übergangsbereichen durch Verschlechterung des Fehlers um eine Größenordnung als kritischer und weiterer theoretischer Untersuchung bedürfender Aspekt heraus. Auch bei gezielter Vermeidung von Randbedingungen in Auflösungsübergängen konnte ein negativer Einfluss von Gitterverfeinerung auf die Reproduktion der analytischen Lösung festgestellt werden. Es wurde somit klar, dass Gitterverfeinerung in dem hier untersuchten Rahmen keinesfalls unvorsichtig und in der Abwesenheit konkreter Zwänge angewendet werden sollte. Die zusätzliche Komplexität und Fehlerquelle einer lokalen Verfeinerung sollte in sinnvollen Anwendungen eben dieser durch Vorteile wie bessere Geometriediskretisierung oder Zwänge wie beschränkte Rechenressourcen aufgewogen oder geringstenfalls begründet werden.
+Problematischer erwies sich das Verfahren in der Anwendung auf eine einfache und analytisch lösbare Poiseuilleströmung. Im Verlauf der Untersuchung dieser grundlegenden Strömungssituation kristallisierte sich das in \cite{Lagrava12} unbeachtete Zusammenspiel von Randkonditionen und Übergangsbereichen durch Vergrößerung des Fehlers um bis zu eine Größenordnung als kritischer und weiterer theoretischer Untersuchung bedürfender Aspekt heraus. Auch bei Vermeidung von Randbedingungen in Auflösungsübergängen konnte ein negativer Einfluss von Gitterverfeinerung auf die Reproduktion der analytischen Lösung festgestellt werden. Es wurde somit klar, dass Gitterverfeinerung in dem hier untersuchten Rahmen keinesfalls unvorsichtig und in der Abwesenheit konkreter Notwendigkeiten angewendet werden sollte. Die zusätzliche Komplexität und Fehlerquelle einer lokalen Verfeinerung sollte in sinnvollen Anwendungen eben dieser durch Vorteile wie bessere Geometriediskretisierung oder Zwänge wie beschränkte Rechenressourcen aufgewogen oder geringstenfalls begründet werden.
 
 Im Kontext der sinnvollen Anwendung von Gitterverfeinerung sowie der konkreten Strukturierung des heterogenen Gitters erwies sich das in \citetitle{Lagrava15}~\cite{Lagrava15} entwickelte Gitterverfeinerungskriterium als sehr gutes Maß zur Bewertung der lokalen Simulationsqualität. Nicht nur konnten in ihrer Anzahl beschränkte Knotenfreiheitsgrade mittels dieses Kriteriums formal fundiert problembezogen umverteilt werden, sondern auch problematische und zur Divergenz neigende Bereiche der Simulation ließen sich frühzeitig erkennen und vermeiden.
 
@@ -1228,7 +1228,7 @@ Im Kontext der sinnvollen Anwendung von Gitterverfeinerung sowie der konkreten S
 Abschließend ergeben sich somit die folgenden theoretischen Fragestellungen zur weiteren Verfolgung in absteigender Dringlichkeit:
 \begin{enumerate}
 	\item Wie müssen Randkonditionen in Übergangsbereichen behandelt werden?
-	\item Wie lässt sich die Rechenlast zur parallelen Ausführung der verfeinernden Gitter besser verteilen?
+	\item Wie kann die Rechenlast zur parallelen Simulation der verfeinernden Gitter besser verteilt werden?
 	\item Wie verhält sich das betrachtete Verfahren bei Übertragung auf dreidimensionale Lattice Boltzmann Methoden?
 	\item Was gilt es bei Variation der Verfeinerung im Verlauf der Simulation zu beachten?
 \end{enumerate}
@@ -1236,8 +1236,9 @@ Abschließend ergeben sich somit die folgenden theoretischen Fragestellungen zur
 \noindent
 Bezüglich der Weiterentwicklung des nun in OpenLB existierenden Gitterverfeinerungsframework bieten sich darüber hinaus Ansatzpunkte in Form der Fragen:
 \begin{enumerate}
+	\item Wie kann der Kommunikationsaufwand zur Gitterkopplung reduziert werden?
 	\item Welche Möglichkeiten gibt es zur weiteren Abstraktion des Simulationsaufbaus?
 	\item Wie lassen sich die existierenden Konzepte aus der Optimierung und Mehrphasenkopplung sinnvoll mit den neuen Möglichkeiten zur Gitterverfeinerung verbinden?
-	\item Kann die Verfeinerungsschnittstelle unabhängig der konkreten Verfahrens direkt auf drei Dimensionen übertragen werden?
+	\item Kann die Verfeinerungsschnittstelle unabhängig des konkreten Verfahrens direkt auf drei Dimensionen übertragen werden?
 \end{enumerate}
 Diese Auswahl von Möglichkeiten für anknüpfende Arbeiten beschließe an dieser Stelle unsere Betrachtung von gitterverfeinerten Lattice Boltzmann Methoden in OpenLB. Die angestrebten Ziele der theoretischen Ausarbeitung, flexiblen praktischen Umsetzung und experimentellen Evaluation wurden erreicht und Gitterverfeinerung verspricht den Funktionskatalog der freien Lattice-Boltzmann-Bibliothek OpenLB um ein nützliches und ausbaufähiges Werkzeug erweitert zu haben.
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cgit v1.2.3

