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From: Adrian Kummerlaender
Date: Sun, 30 Dec 2018 20:02:46 +0100
Subject: Put algorithm figure into words

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index 867fd8c..25cfa29 100644
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@@ -135,6 +135,7 @@ Bemerkenswert ist an dieser Stelle, dass die Momente der Verteilungen mit \(\ove
 
 \newpage
 \subsubsection{Implementierung}
+\label{kap:LBMimpl}
 
 Bei der Implementierung der {diskreten LBM BGK Gleichung}~\ref{def:LBGKeq} auf einem Computer ist die Aufteilung in Kollisions- und Strömungsschritt üblich.
 
@@ -495,6 +496,16 @@ Entsprechend (\ref{eq:gridTime}) müssen für jeden groben Zeitschritt \(\delta
 \caption{Verfeinerungsalgorithmus mit Invariante aus der Vogelperspektive}
 \label{fig:AlgorithmBirdsEye}
 \end{figure}
+\noindent
+Aufbauend auf dieser Invariante ergibt sich die, in Abbildung~\ref{fig:AlgorithmBirdsEye} dargelegte, Reihenfolge der erforderlichen Schritte direkt aus den, für die einzelnen Komponenten der Gitterkopplung benötigen, Informationen. So sind zu Beginn alle Verteilungsfunktionen vollständig bekannt, was die Ausführung eines üblichen Kollisions- und Strömungsschritts (vgl. Kapitel~\ref{kap:LBMimpl}) in beiden Gittern ohne weitere Zuarbeit erlaubt. Nach diesen beiden Schritten fehlen Verteilungsfunktionen \(f_{g,i}(x_{f \to g})\) zur Wiederherstellung der Invariante des groben Gitters. Auch der benötigte zweite Simulationsschritt, um \(\F\) auf Zeitpunkt \(t+\delta t_g=t+2\delta t_f\) zu bringen, scheitert zunächst an der Unbestimmtheit von Verteilungsfunktionen \(f_{f,i}(x_{g \to f})\).
+
+\begin{description}[style=unboxed,leftmargin=0cm]
+\item[Vervollständigung von \(\F\) zu Zeitpunkt \(t+\delta t_f\):] Zur Vervollständigung des feinen Gitters nach dem ersten Zeitschritt müssen die fehlenden Verteilungen aus dem groben Gitter rekonstruiert werden. Um die dazu erarbeiteten Näherungen (\ref{eq:expandedDirectG2F}) und (\ref{eq:expandedInterpolG2F}) mit der Interpolationsformel vierter Ordnung (\ref{eq:ipol4ord}) anzuwenden, fehlen jedoch Werte der groben Stützstellen \(f_{g,i}(x_{g \to f}^g)\) zu Zeitpunkt \(t+\delta t_f\). Diese sind zwar in den gesuchten Punkten, dank Trennung der Kopplungsrichtungen durch den Übergangsbereich, nach jedem Simulationsschritt direkt vollständig vorhanden -- jedoch nur zu Zeit \(t\) und \(t+\delta t_g\). Hier findet sich eine Anwendung des Interpolationsverfahrens zweiter Ordnung (\ref{eq:ipol2ord}), d.h. des arithmetischen Mittels zweier Stützpunkte, zur linearen Zeitinterpolation der benötigten Werte von \(\rho_g, u_g\) und \(f_{g,i}^\text{neq}\). Aufbauend darauf steht der Anwendung der Kopplungsformeln (\ref{eq:expandedDirectG2F}) und (\ref{eq:expandedInterpolG2F}) zur Vervollständigung von \(\F\) nichts mehr im Wege.
+
+\item[Vervollständigung von \(\F\) zu Zeitpunkt \(t+2\delta t_f\):] Dieser zweite Rekonstruktionsschritt auf dem feinen Gitter gestaltet sich einfacher, da die benötigten groben Verteilungen in \(\U_{g \to f}\) zur Zeitpunkt \(t+\delta t_g\) bereits durch den initialen Simulationschritt auf dem groben Gitter bekannt sind. Entsprechend können die Kopplungsformeln (\ref{eq:expandedDirectG2F}) und (\ref{eq:expandedInterpolG2F}) direkt zur Vervollständigung von \(\F\) angewandt werden.
+
+\item[Vervollständigung von \(\G\) zu Zeitpunkt \(t+\delta t_g\):] Nach zweimaliger Vervollständigung des feinen Gitters verbleibt, zur Wiederherstellung der Schleifeninvariante, der Abschluss des eingehenden Kollisions- und Strömungsschritts auf dem groben Gitter durch Restriktion der aus Richtung des feinen Gitters eingehenden Verteilungsfunktionen. Die Vollständigkeit des feinen Gitters zu Zeitpunkt \(t+\delta t_g\) erlaubt hier die direkte Anwendung von Kopplungsformel (\ref{eq:restrictedF2G}) mit Restriktionsoperator (\ref{eq:neqAvgRestrictionF2G}).
+\end{description}
 
 % ToDo: Einschränkungen der Gitterpositionierung (keine hängenden feinen Knoten) ausarbeiten
 % ToDo: Randfälle der Restriktion ausarbeiten, analog zu Interpolation (fehlt im Paper)
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cgit v1.2.3

