From 29c2079dec231f55fbc66f6c7a3ce5a3cb5bb32c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Adrian Kummerlaender
Date: Tue, 20 Feb 2018 17:13:04 +0100
Subject: Add basic section on Runge-Kutta-Methods

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 content/numerik_dgl.tex | 70 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
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@@ -33,12 +33,23 @@ $$\eta_k : \{x \in [x_0,b] | x = x_0 + i \cdot h, \ i \in \N_0 \} \to \R^n$$
 
 \subsection*{Explizites Eulerverfahren}
 
-$$\Phi(x,y,h) := f(x,y)$$
+$$\Phi(x,y,h) := f(x,y) \text{ d.h. Butcher-Schema: } \begin{array}{c|c}
+0 & 0 \\
+\hline
+  & 1
+\end{array}$$
 
 \subsection*{Implizites Eulerverfahren}
 
 $$\Phi(x,y,h) := f(x+h, g(x,y,h)), \ g = y + h \cdot f(x+h, g)$$
 
+Mit Butcher-Schema: $\begin{array}{c|c}
+1 & 1 \\
+\hline
+  & 1
+\end{array}$
+
+
 \subsection*{Konsistenz}
 
 Sei $z$ mit $z'(x) = f(x,z(x))$ die exakte AWP Lösung.
@@ -98,8 +109,65 @@ Ein ESV ist \emph{konvergent}, falls:
 \vspace*{-4mm}
 $$\forall x \in [a,b], \text{hinr. glatte } f : \lim_{n \to \infty} e(x,h_n) = 0$$
 
+\section*{Autonomisierung}
+
+$$\eta := \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} \in \R^{n+1}, \ \widehat{f} : \R^{n+1} \to \R^{n+1}, \eta \mapsto \begin{pmatrix}1 \\ f(x,y)\end{pmatrix}$$
+
+AWP $\eta'=\widehat{f}(\eta)$ mit Bedingung: $\eta(0) = \begin{pmatrix}x_0 \\ y_0\end{pmatrix}$
+
+\subsection*{Invarianz gegen Autonomisierung}
+
+ESV $\Phi$ ist \emph{invariant gegen Autonomisierung}, wenn:
+
+$$\widehat{\Phi}_1(\eta,h)=1, \ \Phi(x,y,h) = \widehat{\Phi}_2(\eta,h), \ \eta = \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}$$
+
+Wobei $\widehat{\Phi} = \begin{pmatrix}\widehat{\Phi}_1, \widehat{\Phi}_2\end{pmatrix}$ die Anwendung von $\Phi$ auf das autonomisierte System ist.
+
 \section*{Explizite Runge-Kutta-Verfahren}
 
+Verfahrensfunktion $\Phi$ eines $s$-stufigen RKV:
+
+\vspace*{-4mm}
+\begin{align*}
+\Phi(x,y,h) &:= b_1 k_1 + b_2 k_2 + \cdots + b_s k_s \\
+k_i &:= f(x+c_i h, y + h \sum_{j=1}^{i-1} a_{i,j} k_j)
+\end{align*}
+\vspace*{-8mm}
+
+\subsection*{Butcher-Schema}
+
+Darstellung der Koeffizienten $b_i, c_i$ und $a_{i,j}$:
+
+$$\begin{array}{c|c}
+c & A \\
+\hline
+  & b^\intercal
+\end{array}$$
+
+Hierbei ist $A$ strikte untere Dreiecksmatrix.
+
+\subsection*{Konsistentsbedingung mit Ordnung 1}
+
+Konsistent mit Ordnung 1 gdw. $\displaystyle\sum_{i=1}^s b_i = 1$
+
+Für die Ordnung $p$ eines $s$-stufigen RKV: $p \leq s$
+
+\subsection*{Invarianzbedingung}
+
+RKV ist invariant gegen Autonomisierung gdw. es konsistent und $c_i$ die $i$-te Zeilensumme von $A$ ist:
+
+$$\sum_{i=1}^s b_i = 1 \text{ und } \sum_{j=1}^{i-1} a_{i,j} = c_i \text{ für } i=1,\dots,s$$
+
+Somit genügt $(b, A)$ zur Definition von gegenüber Autonomisierung invarianter RKV.
+
+\subsection*{Konsistenzbedingung für Ordnung $2$}
+
+$$\sum_{i=1}^s b_i = 1 , \sum_{i=1}^s b_i c_i = \frac{1}{2}$$
+
+\subsection*{Konsistenzbedingung für Ordnung $3$}
+
+$$\sum_{i=1}^s b_i = 1 , \sum_{i=1}^s b_i c_i = \frac{1}{2} , \sum_{i=1}^s b_i c_i^2 = \frac{1}{3} , \sum_{i,j=1}^s b_i a_{i,j} c_j = \frac{1}{6}$$
+
 \section*{Explizite Extrapolationsverfahren}
 
 \section*{Mehrschrittverfahren}
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