From 40fce941d84373d1812cc0d9e3fd8f44693ed710 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Adrian Kummerlaender
Date: Mon, 13 Feb 2017 19:30:36 +0100
Subject: Add preconditioning, GMRES basics

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 numerik_1.tex | 16 +++++++++++++++-
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index a86cce9..0b6b58b 100644
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+++ b/numerik_1.tex
@@ -331,7 +331,7 @@ Das Residuuum der $k$-ten Iterierten $u^k$:
 \vspace{-2mm}
 $$r^k=(I-AN)r^{k-1} = (I-AN)^kr^0$$
 
-Es gilt: $u^k \in u^0 + V_k$ mit $V_k = \mathcal{U}_k(NA,Nr^0)$
+Es gilt: $u^k \in u^0 + V_k$ mit $V_k = \mathcal{U}_k(NA,Nr^0)$ sowie $r^0 = b - Au^0$.
 
 Minimaleigenschaft der $k$-ten Iterierten bzgl. Norm $\|\cdot\|_\star$ auf $\R^n$:
 
@@ -340,6 +340,10 @@ $$u^k = argmin\{\|v - A^{-1}b\|_\star : v \in V_k\}$$
 
 Ein Krylov-Raum-Verfahren bzgl. einer Norm $\|\cdot\|_\star$ ist nur dann sinnvoll, wenn $u^k$ mit geringem, d.h. im Bereich von zwei Matrix-Vektormultiplikationen liegendem, numerischen Aufwand aus $u^{k-1}$ hervorgeht.
 
+\subsection*{Vorkonditionierer}
+
+Anforderungen: $Nv$ sollte schnell zu berechnen sein, weiterhin sollte $N \approx A^{-1}$ möglichst gelten.
+
 \subsection*{Bezüglich $A > 0$ konjugierte Vektoren}
 
 Vektoren $p, q \in \R^n$ sind konjugiert bzgl. $A > 0$ d.h. $A$-orthogonal, falls $Ap \perp q$, also $\skp{Ap,q}_2=\skp{p,q}_A=0$.
@@ -355,4 +359,14 @@ Für positiv definite $A, N \in \R^{n \times n}$ sowie $b \in \R^n$ liefert das
 
 \subsection*{GMRES-Verfahren}
 
+Das Verfahren des verallgemeinerten minimalen Residuum liefert die Lösung $Ax=b$ für $A \in GL_n(\R)$ und ist charakterisiert durch:
+
+\vspace{-4mm}
+\begin{align*}
+	u^k :&= argmin\{\|N(b-Av)\|_2 : v \in V_k\} \\
+	     &= argmin\{\|NA(A^{-1}b-v)\|_2 : v \in V_k\}
+\end{align*}
+
+Das GMRES-Verfahren ist also durch die nicht Skalarprodukt-induzierte  Norm $\|NA\cdot\|_2$ induziert.
+
 \section*{Interpolation}
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cgit v1.2.3