From 4af027168e31796b6d7a3550e63925feccca88fa Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Adrian Kummerlaender
Date: Tue, 24 Jul 2018 19:19:27 +0200
Subject: Expand DGL digest

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index 804af08..030cc39 100644
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@@ -51,3 +51,39 @@ Weiter gelte \(\phi \leq \psi\) auf \([0,b)\). Dann gilt:
 \subsection*{Eindeutige Lösbarkeit}
 
 Sei \(D = (a,b) \times \R^m\) mit \(-\infty \leq a < b \leq \infty\) und \(f : D \to \R^k\) erfülle die Vor. von Picard-Lindelöf. Gilt weiter \(\|f(t,x)\| \leq \alpha + \beta \|x\|\) für \(\alpha, \beta \geq 0\), dann ist das AWP auf \((a,b)\) eindeutig lösbar.
+
+\section*{Autonome DGL}
+
+Sei \(\emptyset \neq D \subseteq \R^p\) und \(g : D \to \R^p\).
+
+Die DGL \(x'(t)=g(x(t))\) heißt \emph{autonom}.
+
+\subsection*{Stationäre Stelle}
+
+Sei \(x_0 \in D\) mit \(g(x_0)=0\) von \(x'(t)=g(x(t))\) für \(g : D \to \R^p\). Dann ist \(x_0\) eine stationäre Stelle.
+
+\spacing
+
+Sei \(g \in C(D,\R^p)\), ex. Lsg. \(x: [t_0,\infty) \to \R^p\) und \(x_0 := \lim_{t \to \infty} x(t)\). Dann ist \(x_0\) stationäre Stelle und es gilt \(x'(t) \to 0 \ (t \to \infty)\)
+
+\subsection*{Monotone Lösung für \(p=1\)}
+
+Sei \(D \subseteq \R\) Intervall, \(g \in C(D,\R)\) und \(x : \J \to \R\) eine Lsg. von \(x'(t)=g(x(t))\). Dann ist \(x\) monoton.
+
+\subsection*{Fundamentalsystem}
+
+Sei \(x'=Ax\) eine homogene lineare DGL. Ein \emph{Fundamentalsystem} ist eine Basis \(\{x_1,\dots,x_n\}\) des Lösungsraums: \[\mathcal{L} := \left\{ x \in C^1([a,b],\R^p) \middle| x=\sum_{k=1}^n a_k x_k, \ a_1,\dots,a_n \in \R \right\}\]
+
+\subsection*{Bahn, Orbit, Trajektorie}
+
+Seien \(\emptyset \neq D \subseteq \R^p\) offen, \(\J \subseteq \R\) und \(f : D \to \R^p\) lokal Lipschitz.
+
+Ist \(x : \J \to \R^p\) Lsg. von \(x'(t)=f(x(t))\) so heißt \(x(\J)\) \emph{Bahn}, \emph{Orbit}, \emph{Trajektorie} von \(x'(t)=f(x(t))\).
+
+\subsection*{Erstes Integral}
+
+Sei \(H \in C^1(D,\R)\).
+
+\(H\) heißt \emph{erstes Integral} von \(x'(t)=f(x(t))\) gdw.: \[\forall x \in D : H'(x) \cdot f(x) = 0\]
+
+Sei weiter \(x : \J \to \R^p\) Lsg. von \(x'(t)=f(x(t))\). Dann ex. \(c \in \R\) s.d.: \(\forall t \in \J : H(x(t))=c\)
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