From 72b890c96b9f97f36f504728506626e24c9ced70 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Adrian Kummerlaender
Date: Sun, 30 Oct 2016 20:14:41 +0100
Subject: Add section on properties of generated sigma algebrae
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analysis_3.tex | 11 +++++++++++
1 file changed, 11 insertions(+)
diff --git a/analysis_3.tex b/analysis_3.tex
index ca0be13..ab5a5e8 100644
--- a/analysis_3.tex
+++ b/analysis_3.tex
@@ -28,3 +28,14 @@ Die durch das nichtleere Mengensystem $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(X)$ auf
$$\sigma(\mathcal{E}) := \bigcap\{ \mathcal{A} \subseteq \mathcal{P}(X) | \mathcal{A} \text{ ist } \sigma \text{-Algebra}, \mathcal{E} \subseteq \mathcal{A} \}$$
Der Erzeuger $\mathcal{E}$ ist hierbei allg. nicht eindeutig.
+
+\subsubsection*{Eigenschaften erzeugter $\sigma$-Algebren}
+
+Sei $\emptyset \neq \mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(X)$, dann gilt:
+
+\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
+ \item $\mathcal{A}$ ist $\sigma$-Algebra $\land$ $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{A} \Rightarrow \mathcal{E} \subseteq \sigma(\mathcal{E}) \subseteq \mathcal{A}$
+ \item $\sigma(\mathcal{E})$ ist kleinste $\mathcal{E}$ enthaltende $\sigma$-Algebra.
+ \item $\mathcal{E}$ ist $\sigma$-Algebra $\Rightarrow \mathcal{E} = \sigma(\mathcal{E})$
+ \item $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{E}' \subseteq \mathcal{P}(X) \Rightarrow \sigma(\mathcal{E}) \subseteq \sigma(\mathcal{E}')$
+\end{enumerate}
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cgit v1.2.3