From c80dd92d2223108ba95250246a8aa61f1902aa23 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Adrian Kummerlaender Date: Sat, 15 Jul 2017 14:24:00 +0200 Subject: Start function theory digest --- README.md | 2 +- content/funktheo.tex | 126 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 2 files changed, 127 insertions(+), 1 deletion(-) create mode 100644 content/funktheo.tex diff --git a/README.md b/README.md index 59b789a..21cc286 100644 --- a/README.md +++ b/README.md @@ -8,7 +8,7 @@ Zum Ende meines nunmehr schon dritten Semesters stehen zusätzlich Zusammenfassu Die resultierenden PDF der in _LaTeX_ gesetzten Quellen der [Analysis](https://static.kummerlaender.eu/media/ana12_zusammenfassung.pdf), [Lineare Algebra](https://static.kummerlaender.eu/media/la12_zusammenfassung.pdf), [Numerik 1](https://static.kummerlaender.eu/media/numa1_zusammenfassung.pdf) sowie [Analysis 3](https://static.kummerlaender.eu/media/ana3_zusammenfassung.pdf) Kurzzusammenfassungen stehen auf meiner Webseite zum Download bereit. -Zusammenfassungen der Vorlesungen _Einführung in die Algebra und Zahlentheorie_ sowie _Markov-Ketten_ sind in Arbeit. +Zusammenfassungen der Vorlesungen _Einführung in die Algebra und Zahlentheorie_, _Markov-Ketten_ sowie _Analysis IV (Funktionentheorie, Gewöhnliche DGL)_ sind in Arbeit. ## Generierung diff --git a/content/funktheo.tex b/content/funktheo.tex new file mode 100644 index 0000000..7147471 --- /dev/null +++ b/content/funktheo.tex @@ -0,0 +1,126 @@ +\newcommand{\C}{\mathbb{C}} + +\section*{Komplexe Zahlen} + +$\C = \{ z = x+iy | x,y \in \R \}$ + +$\C$ wird via $z = x + iy \mapsto (x,y)$ mit $\R^2$ identifiziert. + +\vspace*{-4mm} +$$z \cdot w = \begin{pmatrix} x & -y \\ y & x\end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r & 0 \\ 0 & r\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{x}{r} & -\frac{y}{r} \\ \frac{y}{r} & \frac{x}{r}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v\end{pmatrix}$$ + +wobei $r := \sqrt{x^2 + y^2}$. Es gilt für die orthogonale Matrix $D = \begin{pmatrix} \frac{x}{r} & -\frac{y}{r} \\ \frac{y}{r} & \frac{x}{r}\end{pmatrix}$: $det(D) = 1$ d.h. die komplexe Multiplikation ist eine Drehstreckung. + +Die Normen von $(\C,|\cdot|)$ und $(\R^2,|\cdot|_2)$ stimmen überein, ebenso Konvergenz-, Stetigkeits- und Offenheitseigenschaften: + +$\lim_{n \to \infty} z_n = z$ in $\C \iff \lim_{n \to \infty} Re \ z_n = Re \ z \land \lim_{n \to \infty} Im \ z_n = Im \ z$. + +\subsection*{Polardarstellung} + +Für $z = x +iy \in \C \setminus \{0\}$ gilt $z = re^{i\phi}$ mit $r = |z|$ und: + +\vspace*{-2mm} +$$\phi = \arg z := \begin{cases} + \arccos \frac{x}{r} & y > 0 \\ + 0 & x \in (0,+\infty) \\ + -\arccos \frac{x}{r} & y < 0 \\ + \pi & z \in (-\infty,0) +\end{cases}$$ + +mit $\phi \in (-\pi, \pi]$. Es gilt für $z = re^{i\phi}, w = se^{i\psi}$: + +$z \cdot w = rse^{i(\phi+\psi)} = |z||w|e^{i(\phi+\psi)}$. + +\section*{Holomorphie} + +Eine Funktion $f : D \to \C$ ist \emph{komplex differenzierbar} in $z_0 \in D$, wenn: + +$f'(z_0) := \displaystyle\lim_{z \to z_0, z \in D\setminus\{z_0\}} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \in \C$ existiert. + +Ist $f$ in $\forall z_0 \in D$ komplex differenzierbar, so heißt $f$ \emph{holomorph} auf $D$ mit Ableitung $f' : D \to \C$. + +Geschrieben $f \in H(D)$. + +\subsection*{Komplexe Ableitung} + +$\C \to \C, z \mapsto 1$ und $\C \to \C, z \mapsto z$ sind holomorph. + +Seien $f, g : D \to \C$ komplex differenzierbar in $z_0 \in \C$, $f(z_0) \in D' \subseteq \C$ offen, $h : D' \to \C$ in $f(z_0)$ komplex differenzierbar, $\alpha, \beta \in \C$: + +\vspace*{-4mm} +\begin{align*} + (\alpha f + \beta g)'(z_0) &= \alpha f'(z_0) + \beta g'(z_0) \\ + (fg)'(z_0) &= f'(z_0)g(z_0) + f(z_0)g'(z_0) \\ + \left(\frac{1}{f}\right)'(z_0) &= -\frac{f'(z_0)}{f(z_0)^2} \\ + (h \circ f)'(z_0) &= h'(f(z_0))f'(z_0) +\end{align*} + +Polynome $p$ und nichtsinguläre rationale Funktionen aus Polynomen sind auf $\C$ holomorph. + +\subsubsection*{Konvergenzradius} + +Seien $a_k \in \C, k \in \N_0$: + +\vspace*{-2mm} +$$\rho = \frac{1}{\overline\lim_{k\to\infty} \sqrt[k]{|a_k|}} \in [0,+\infty]$$ + +ist der \emph{Konvergenzradius}. + +Sei $\rho > 0, c \in \C$. Dann ex. die Potenzreihe: + +$f : B(c,\rho) \to \C, z \mapsto \sum_{k=0}^\infty a_k(z-c)^k$. + +Diese ist auf $B(c,\rho)$ beliebig oft komplex differenzierbar. Für $n \in \N_0$ hat $f^{(n)}$ den Konvergenzradius $\rho > 0$ und es gilt für $z \in B(c,\rho)$: + +\vspace*{-4mm} +$$f^{(n)}(z) = \sum_{k=n}^\infty k(k-1)\cdots(k-n+1)a_k(z-c)^{k-n}$$ + +Auf diese Weise ergeben sich für $z \in \C$: + +\vspace*{-4mm} +\begin{align*} + \exp(z) &= e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} \\ + \sin(z) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{2n+1} \\ + \cos(z) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n} +\end{align*} + +Übliche Ableitungs- und Rechenregeln gelten. + +\subsection*{Charakterisierung} + +Sei $f : D \to \C, D \subseteq \R^2, u = Re \ f, v = Im \ f : D \to \R$. + +$f : D \to \R^2, (x,y) \mapsto u(x,y) + iv(x,y) = \begin{pmatrix} u(x,y) \\ v(x,y)\end{pmatrix}$ + +Es sind dann äquivalent: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $f$ ist in $z$ komplex differenzierbar + \item $f$ ist in $z$ reell differenzierbar und es gelten die \emph{Cauchy-Riemannschen DGL}: \\ + $$\frac{\partial u}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial v}{\partial y}(x,y), \frac{\partial u}{\partial y}(x,y) = -\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)$$ +\end{enumerate} + +$f$ hat in $(x,y) \in D \subseteq \R^2$ die \emph{Jacobimatrix}: + +$$f'(z) = \begin{pmatrix} + \frac{\partial u}{\partial x}(x,y) & \frac{\partial u}{\partial y}(x,y) \\ + -\frac{\partial u}{\partial y}(x,y) & \frac{\partial u}{\partial x}(x,y) +\end{pmatrix}$$ + +Entsprechend ist $f(z)=\overline z$ nirgends komplex differenzierbar, $f(z)=|z|^2$ nur in $0$ komplex differenzierbar und $f(z) = \frac{1}{z}$ holomorph in $\C \setminus \{0\}$. + +\subsection*{Biholomorphie} + +Sind $U, V \subseteq \C$ offen und nichtleer, $f : U \to V$ bij., $f$ und $f^{-1}$ holomorph. Dann heißt $f$ \emph{biholomorph}, $U$ und $V$ \emph{konform äquivalent}. + +\vfill\null +\columnbreak + +Sei $f : U \to V$ biholomorph, $z \in U$. + +Dann ist $f'(z) \neq 0$ und für $w = f(z)$ gilt: + +\vspace*{-2mm} +$$(f^{-1})'(w) = \frac{1}{f'(f^{-1}(w))} = \frac{1}{f'(z)}$$ + +Weiterhin existieren offene nichtleere $U \subseteq D$ mit $u_0 \in U, V \subseteq \C$ s.d. $\restrictedto{f}{U}$ biholomorph ist, wenn $f \in H(d) \cap C^1(D,\R^2)$, $z_0 \in D$ mit $f'(z_0) \neq 0$ gilt. -- cgit v1.2.3