From 6dced7e258f9814d43ecc5f138d2da0f83c0faa1 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Adrian Kummerlaender
Date: Tue, 11 Jul 2017 22:03:07 +0200
Subject: Expand EAZ, Markov digests

---
 content/markov.tex | 14 ++++++++++++++
 1 file changed, 14 insertions(+)

(limited to 'content/markov.tex')

diff --git a/content/markov.tex b/content/markov.tex
index 3c53bdf..3ffcf7b 100644
--- a/content/markov.tex
+++ b/content/markov.tex
@@ -137,3 +137,17 @@ Sei $i \in T, k \in T^c$ und $u_{ik} = \P_i(X_\tau = k)$.
 \vspace*{2mm}
 
 Für $i \in T, j \in T^c$ gilt: $u_{ij} = \displaystyle\sum_{k \in T} p_{ik} u_{kj} + p_{ij}$
+
+\section*{Stationäre Verteilungen}
+
+Sei $(X_n)$ MK mit Übergangsmatrix $P$. Ein Maß $\nu : S \to \R_{\geq 0}$ ist \emph{invariant} für $P$, falls $\nu \cdot P = \nu$ d.h:
+
+$\displaystyle\sum_{i \in S} \nu(i) \cdot p_{ij} = \nu(j)$ für $j \in S$
+
+Ist $\nu$ eine Verteilung (d.h. $\sum_{i \in S} \nu(i) = 1$) und invariant für $P$, so ist $\nu$ eine \emph{stationäre Verteilung}.
+
+\vspace*{1mm}
+
+Eine mit stationärer Verteilung $\nu$ gestartete MK hat zu jedem Zeitpunkt Verteilung $\nu$:
+
+$\P_\nu(X_n = j) = \sum_{i \in S} \nu(i) \cdot p_{ij}^{(n)} = \nu(j)$
-- 
cgit v1.2.3

