From 859ee73bd59fb1e83f0a21cbd6bc30f5edd4a0e5 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Adrian Kummerlaender
Date: Tue, 14 Feb 2017 20:08:11 +0100
Subject: Add section on Spline moments

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 content/numerik_1.tex | 12 ++++++++++++
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index 32a4902..1c9dabb 100644
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@@ -503,3 +503,15 @@ Für $s \in S_{4,\Delta}$, $\Delta = \{t_0,\cdots,t_{l+1}\}$ sind mögliche Rand
 \end{enumerate}
 
 Ist eine dieser Randbedingungen erfüllt, so ist $s$ eindeutig bestimmt. Ferner gilt für alle anderen interpolierenden $y \in \mathcal{C}^2(a,b)$: $\|s''\|_2 < \|y''\|_2$
+
+\subsubsection*{Momente von Splines}
+
+$M_j = s''(t_j)$ für $j = 0, \cdots, l+1$ sind die Momente des Splines $s \in S_{4,\Delta}$. Aus diesen Momenten kann der Spline vollständig rekonstruiert werden.
+
+Da $s_j := s|_{[t_j,t_{j+1}]}$ ein kubisches Polynom ist gilt für $s_j'' = s''|_{[t_j,t_{j+1}]}$:
+
+$$s_j''(t) = M_j \frac{t_{j+1}-t}{h_{j+1}} + M_{j+1} \frac{t-t_j}{h_{j+1}}$$
+
+Hierbei ist $h_{j+1} := t_{j+1} - t_j$ die Länge des Teilintervalls $[t_j,t_{j+1}]$.
+
+Zweimalige Intergration liefert an dieser Stelle $s_j$, die Integrationskonstanten lassen sich aus den Interpolationsbedingungen berechnen.
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cgit v1.2.3