From 3e7a2bfbfb6eb93321f34394e82b57e535883c17 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Adrian Kummerlaender
Date: Mon, 20 Feb 2017 16:26:09 +0100
Subject: Improve visual alignment of Givens section

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 content/numerik_1.tex | 7 ++++---
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index 53aab00..5e4f9ad 100644
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@@ -282,9 +282,8 @@ $\exists \varphi \in (0,2\pi] : c=\cos{\varphi}, s=\sin{\varphi}$ d.h. $G(l,k)$
 
 Ziel: $k$-te Komponente von $x$ nullen für $x_l^2+x_k^2 \neq 0$.
 
-\vspace{-4mm}
 \begin{align*}
-	|x_l| > |x_k| : &\tau := \frac{x_k}{x_l}, c := \frac{1}{\sqrt{1+\tau^2}}, s := c\tau \\
+	|x_l| > |x_k| :    &\tau := \frac{x_k}{x_l}, c := \frac{1}{\sqrt{1+\tau^2}}, s := c\tau \\
 	|x_l| \leq |x_k| : &\tau := \frac{x_l}{x_k}, s := \frac{1}{\sqrt{1+\tau^2}}, c := s\tau
 \end{align*}
 
@@ -294,6 +293,8 @@ Für Hessenberg-Matrix $A$ ergibt sich $A=QR$ mit:
 
 $Q^T := G(n-1,n) \cdots G(1,2)$ und $R:=Q^T A$.
 
+\vspace{2mm}
+
 QR mit Householder ist ungefähr doppelt so schnell wie mit Givens. Diese sind daher nur bei strukturierten Matrizen wie Tridiagonal- oder Hessenberg-Matrizen sinnvoll einzusetzen.
 
 \section*{Lineare Ausgleichsprobleme}
@@ -330,7 +331,7 @@ Ein Verfahren konvergiert falls $\forall u^0 \in \R^n$, $b \in \R^n : \lim_{k\to
 
 Direkte Löser liefern bei exakter Arithmetik nach endlich vielen Schritten $A^{-1}b$. Bei iterativen Lösern gilt im allg. $\forall k \in \N : u^k \neq A^{-1}b$.
 
-Ein Abbruchkriterium mit Toleranz $\tau > 0$ ist z.B. $\|u^m-u^{m-1}\| \leq \tau$ oder das relative Residuum von $u^m$: $\frac{\|Au^m-b\|}{\|b\|} \leq \tau$
+Ein Abbruchkriterium mit Toleranz $\tau > 0$ ist z.B. $\|u^m-u^{m-1}\| \leq \tau$ oder $\frac{\|Au^m-b\|}{\|b\|} \leq \tau$ (rel. Residuum)
 
 \subsection*{Lineare Iterationsverfahren}
 
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cgit v1.2.3