From 6dced7e258f9814d43ecc5f138d2da0f83c0faa1 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Adrian Kummerlaender
Date: Tue, 11 Jul 2017 22:03:07 +0200
Subject: Expand EAZ, Markov digests

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diff --git a/content/eaz.tex b/content/eaz.tex
index 2680644..160aae3 100644
--- a/content/eaz.tex
+++ b/content/eaz.tex
@@ -447,4 +447,61 @@ Ein Ringhomomorphismus $\Phi : A \to B$ ist zugleich Algebrenhomomorphismus, wen
 
 \section*{Quotientenkörper}
 
+Sei $R$ Integritätsbereich. Dann ex. Körper $Q$ mit Teilring $R$ und Eigenschaften:
 
+Ist $K$ bel. Körper und $\phi : R \to K$ injektiver Ringhomomorphismus, dann lässt sich $\phi$ zu einem Ringhomomorphismus $\tilde\phi : Q \to K$ fortsetzen.
+
+Der Körper $Q$ heißt \emph{Quotientenkörper} von $R$.
+
+\vspace*{2mm}
+
+Der Quotientenkörper von $\Z$ ist $\Q$.
+
+Der Quotientenkörper von $K[X]$ ist Körper rationaler Funktionen $K(X) := \{ \frac{f}{g} | f, g \in K[X], g \neq 0 \}$.
+
+\section*{Quadratische Reste}
+
+Sei $F$ endlicher Körper mit $q$ Elementen und Charakteristik $p > 2$. Ein $a \in F^\times$ ist \emph{Quadrat} in $F$, wenn $\exists b \in F : b^2 = a$.
+
+Das Bild von $F^\times \to F^\times, b \mapsto b^2$ ist Quadratmenge.
+
+\subsection*{Legendre-Symbole}
+
+\newcommand{\legendre}[2]{\left(\frac{#1}{#2}\right)}
+
+Sei $p \geq 3$ Primzahl. Für $a \in \Z$ ist def.:
+
+\vspace*{-2mm}
+$$\legendre{a}{p} = \begin{cases}
+	0  & p | a \\
+	1  & \exists x \in \Z \setminus p\Z : a \equiv x^2 \ (mod \ p) \\
+	-1 & \text{sonst}
+\end{cases}$$
+
+$\legendre{a}{p}$ ist das \emph{Legendre-Symbol} von $a$ modulo $p$.
+
+\subsubsection*{Berechnen von Legendre-Symbolen}
+
+Sei $a \in \Z, m, n \in \Z : a=mn, p \in \Primes$:
+
+\vspace*{-4mm}
+\begin{align*}
+	\legendre{a}{p} &= \legendre{a-p}{p} \\
+	\legendre{m \cdot n}{p} &= \legendre{m}{p}\legendre{n}{p}
+\end{align*}
+
+\pagebreak
+
+\vspace*{-8mm}
+\begin{align*}
+	\legendre{2}{p} &= (-1)^{\frac{p^2-1}{8}} \\
+	\legendre{-1}{p} &= (-1)^{\frac{p-1}{2}}
+\end{align*}
+
+Sei $m, n \in \Primes$ mit $l, p \neq 2$:
+
+\vspace*{-4mm}
+\begin{align*}
+	\legendre{p}{l}\legendre{l}{p} &= (-1)^{\frac{l-1}{2}\cdot\frac{p-1}{2}} \\
+	\legendre{p}{l} &= (-1)^{\frac{l-1}{2}\cdot\frac{p-1}{2}} \legendre{l}{p}
+\end{align*}
diff --git a/content/markov.tex b/content/markov.tex
index 3c53bdf..3ffcf7b 100644
--- a/content/markov.tex
+++ b/content/markov.tex
@@ -137,3 +137,17 @@ Sei $i \in T, k \in T^c$ und $u_{ik} = \P_i(X_\tau = k)$.
 \vspace*{2mm}
 
 Für $i \in T, j \in T^c$ gilt: $u_{ij} = \displaystyle\sum_{k \in T} p_{ik} u_{kj} + p_{ij}$
+
+\section*{Stationäre Verteilungen}
+
+Sei $(X_n)$ MK mit Übergangsmatrix $P$. Ein Maß $\nu : S \to \R_{\geq 0}$ ist \emph{invariant} für $P$, falls $\nu \cdot P = \nu$ d.h:
+
+$\displaystyle\sum_{i \in S} \nu(i) \cdot p_{ij} = \nu(j)$ für $j \in S$
+
+Ist $\nu$ eine Verteilung (d.h. $\sum_{i \in S} \nu(i) = 1$) und invariant für $P$, so ist $\nu$ eine \emph{stationäre Verteilung}.
+
+\vspace*{1mm}
+
+Eine mit stationärer Verteilung $\nu$ gestartete MK hat zu jedem Zeitpunkt Verteilung $\nu$:
+
+$\P_\nu(X_n = j) = \sum_{i \in S} \nu(i) \cdot p_{ij}^{(n)} = \nu(j)$
-- 
cgit v1.2.3