From 9ec43404ebcaf10c196fb5d80a5ce7554da2eacd Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Adrian Kummerlaender
Date: Tue, 20 Feb 2018 23:13:48 +0100
Subject: Add section on stability and stiffness of diff-eqs

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 content/numerik_dgl.tex | 42 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
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index 12c2363..dadb2f0 100644
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@@ -146,7 +146,7 @@ c & A \\
 
 Hierbei ist $A$ strikte untere Dreiecksmatrix.
 
-\subsection*{Konsistentsbedingung mit Ordnung 1}
+\subsection*{Konsistenzbedingung für Ordnung 1}
 
 Konsistent mit Ordnung 1 gdw. $\displaystyle\sum_{i=1}^s b_i = 1$
 
@@ -229,6 +229,46 @@ h_{i+1} &:= \min\{h, b-x_{i+1}\}
 
 Ansonsten verwerfe Schritt mit $h_i := h$.
 
+\section*{Stabilität von DGLs}
+
+Sei $y' = f(x,y), \ x \in [0,\infty), y(x) \in \R^n$ System von $n$ DGLs und habe $\forall (x_0, y_0) \in [0,\infty) \times \R^n$ eindeutige Lösung $\varphi \in \mathcal{C}^1([0,\infty))$.
+
+\spacing
+
+Diese Lösung $\varphi$ ist \emph{stabil}, wenn:
+
+$\forall \epsilon > 0 \ \exists \ \delta > 0 \ \forall y \in \mathcal{C}^1([0,\infty)) : \\ \|\varphi(x_0) - y(x_0)\| < \delta \implies \forall x \geq x_0 : \|\varphi(x)-y(x)\| < \epsilon$.
+
+\spacing
+
+Diese Lösung $\varphi$ ist \emph{asymptotisch stabil}, wenn sie stabil ist und zusätzlich $\exists \ \delta > 0 \ \forall y \in \mathcal{C}^1([0,\infty)) : \|\varphi(x_0)-y(x_0)\| < \delta \implies \displaystyle\lim_{x \to \infty} \|\varphi(x)-y(x)\| = 0$.
+
+\subsection*{Stabilität von linearen DGLs}
+
+Sei $y'=Ay, \ y(x_0) = y_0$ mit $A \in \R^{n \times n}$ eine lineare DGL mit Lösung $y(x) = e^{(x-x_0)A}y_0$.
+
+Hierbei ist $e^{xA} := \sum_{k=0}^\infty \frac{(xA)^k}{k!} \in \R^{n \times n}$ gegeben.
+
+\spacing
+
+$y$ ist \emph{stabil} gdw. $\forall \lambda \in \sigma(A) : \text{Re}(\lambda) \leq 0$ und für $\lambda \in \sigma(A)$ mit $\text{Re}(\lambda) = 0$ gilt $\mu_a(A,\lambda) = \mu_g(A,\lambda)$.
+
+\spacing
+
+$y$ ist \emph{asymptotisch stabil} gdw. $\forall \lambda \in \sigma(A) : \text{Re}(\lambda) < 0$.
+
+\subsection*{Steife Differentialgleichungen}
+
+Eine asymptotisch stabile DGL $y'=Ay+b$ ist \emph{steif}, wenn die negativen Realteile der Eigenwerte von $A$ sich um Größenordnungen unterscheiden:
+
+$$\gamma := \frac{\max_{\lambda \in \sigma(A)}{|\text{Re}(\lambda)|}}{\min_{\lambda \in \sigma(A)}{|\text{Re}(\lambda)|}}$$
+
+Typischerweise bewegt sich das \emph{Steifheitsmaß} $\gamma$ für reale Beispiele zwischen ${10}^3$ und ${10}^6$.
+
+\spacing
+
+Zur numerischen Lösung steifer DGLs sind implizite Verfahren geeignet.
+
 \section*{Mehrschrittverfahren}
 
 \section*{Partielle Differentialgleichungen}
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