From d9297dd6e6137d2d96ba407d8c16e972904ee750 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Adrian Kummerlaender
Date: Mon, 20 Mar 2017 15:32:23 +0100
Subject: Add alias for common visual spacing

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diff --git a/content/analysis_3.tex b/content/analysis_3.tex
index 6a236e2..f38f4f0 100644
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+++ b/content/analysis_3.tex
@@ -234,7 +234,7 @@ $$\forall x \in X : \lim_{n \to \infty} f_n(x) \in \overline \R \Rightarrow \lim
 
 $f : [a,b] \to \R$ diffbar. $\Rightarrow f'$ ist $\B([a,b])$-$\B_1$-mb.
 
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+\spacing
 
 Sei $f : X \to \overline \R$, $X_j \in \A$ mit $X_j \uparrow$, $\cup_{j \in \N} X_j = X$ s.d. $\forall j \in \N : \restrictedto{f}{X_j} : X_j \to \overline \R$ ist $\A_{X_j}$-$\overline\B_1$-mb.
 
@@ -341,7 +341,7 @@ Für $\A-\overline\B_1$-mb. Fkt. $f : X \to \overline\R$ sind äquivalent:
 
 $\L^1(\mu)$ ist Vektorraum und das Integral ist eine lineare Abbildung von $\L^1(\mu)$ nach $\R$.
 
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+\spacing
 
 Sei $f$ einfach mit $f := \sum_{j=1}^n y_j \mathbbm{1}_{B_j}$ mit $y_j \in \R$, $B_j \in \A$ und $\mu(B_j) < \infty$. Dann: $\int_X f d\mu = \sum_{j=1}^n y_j \mu(B_j)$
 
@@ -369,7 +369,7 @@ Die rationalen Zahlen $\Q$ sind eine $\lambda_1$-Nullmenge, Hyperebenen in $\R^m
 
 Ein Maßraum $(X,\A,\mu)$ heißt vollständig, wenn $\forall M \subseteq$ Nullmenge $N : M \in \A$.
 
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+\spacing
 
 $\tilde \A := \{ \tilde A = A \cup M | A \in \A, M \subseteq N$ für eine $\mu$-Nullmenge $N\}$ ergibt Vervollständigung $(X,\tilde\A,\tilde\mu)$ eines beliebigen Maßraum $(X,\A,\mu)$.
 
@@ -377,7 +377,7 @@ $\tilde \A := \{ \tilde A = A \cup M | A \in \A, M \subseteq N$ für eine $\mu$-
 
 Eine Eigenschaft $E$ besteht für fast alle $x \in X$ oder fast überall. wenn es Nullmengen $N$ gibt s.d. $E$ für alle $x \in X \setminus N$ gilt.
 
-\vspace{2mm}
+\spacing
 
 Sei $f : X \to \overline\R$ ib. Dann ist $\{|f|=\infty\}$ eine Nullmenge, $f$ ist also fast überall endlich.
 
@@ -514,7 +514,7 @@ $$g_F(t) = \det(F'(t)^TF'(t))$$
 
 die \emph{Gramsche Determinante} von $F$.
 
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+\spacing
 
 Für $m = 3$ gilt insbesondere:
 
diff --git a/content/numerik_1.tex b/content/numerik_1.tex
index 660b5a8..008d315 100644
--- a/content/numerik_1.tex
+++ b/content/numerik_1.tex
@@ -293,7 +293,7 @@ Für Hessenberg-Matrix $A$ ergibt sich $A=QR$ mit:
 
 $Q^T := G(n-1,n) \cdots G(1,2)$ und $R:=Q^T A$.
 
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+\spacing
 
 QR mit Householder ist ungefähr doppelt so schnell wie mit Givens. Diese sind daher nur bei strukturierten Matrizen wie Tridiagonal- oder Hessenberg-Matrizen sinnvoll einzusetzen.
 
@@ -480,7 +480,7 @@ $$L_{n,k}(t) := \prod_{j=0,j\neq k}^n \frac{t-t_j}{t_k-t_j}$$
 
 Es gilt also: $P(f|t_0,\cdots,t_n)=\sum_{k=0}^n f_k \cdot L_{n,k}$
 
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+\spacing
 
 Ein Lagrange Polynom zu Stützstelle $t_k$ nimmt an dieser $1$, an allen anderen Stützstellen $0$ an.
 
@@ -553,7 +553,7 @@ ist eine Basis von $S_{k,\Delta}$ mit $\dim(S_{k,\Delta}) = k + l$.
 
 Interpolation einer Funktion $f$ bzgl. eines Gitters $\Delta = \{t_0,\cdots,t_{l+1}$ durch Spline der Ordnung $k$.
 
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+\spacing
 
 Im linearen Fall mit $k=2$ stimmt die Anzahl der Knoten $l+2$ mit $\dim(S_{2,\Delta})=l+2$ überein. Es gibt also genau einen Spline der $(t_i,f(t_i))$ interpoliert.
 
@@ -565,7 +565,7 @@ Für $B_i \in S_{2,\Delta}$ mit $B_i(t_k) = \delta_{i,k}$
 
 Kubische Splines der Ordnung 4 eigenen sich für die Darstellung von Kurven, da das menschliche Auge diese als glatt empfindet.
 
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+\spacing
 
 Die Interpolationsbedingungen reichen zur eindeutigen Bestimmung eines interpolierenden Spline aus $S_{4,\Delta}$ nicht aus.
 
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cgit v1.2.3