From 51e9d43716398dcf0fd1185e14d02cad4de7be87 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Adrian Kummerlaender Date: Tue, 14 Feb 2017 18:17:23 +0100 Subject: Add Makefile --- numerik_1.tex | 436 ---------------------------------------------------------- 1 file changed, 436 deletions(-) delete mode 100644 numerik_1.tex (limited to 'numerik_1.tex') diff --git a/numerik_1.tex b/numerik_1.tex deleted file mode 100644 index c2ae8a9..0000000 --- a/numerik_1.tex +++ /dev/null @@ -1,436 +0,0 @@ -\section*{Gleitkomma-Arithmetik} - -Für $e_{min}, e_{max} \in \mathbb{Z}$, $e_{min} < e_{max}$ ist ein Gleitkommasystem wie folgt definiert: - -\vspace*{-4mm} -\begin{align*} - \mathcal{F} &= \mathcal{F}(\beta,t,e_{min},e_{max}) \\ - &= \{ \pm m \beta^{e-t} | m \in \N, \beta^{t-1} \leq m \leq \beta^t - 1 \lor m = 0, \\ & \hspace*{16mm}e_{min} \leq e \leq e_{max} \} -\end{align*} - -$x \in \mathcal{F} \setminus \{0\} \Rightarrow \beta^{e_{min}-1} \leq |x| \leq \beta^{e_{max}}(1-\beta^{-1})$. - -\subsection*{Normalisierte Darstellung} - -Für $d_1 \neq 0$, $0 < d_1 \leq \beta - 1$: - -$x=\pm \beta^e ( \frac{d_1}{\beta^1} + \frac{d_2}{\beta^2} + \cdots + \frac{d_t}{\beta^t} ) =: \pm 0.d_1 d_2 \cdots d_t \cdot \beta^e$ - -\subsection*{Relative Maschinengenauigkeit} - -$fl(x) \in \mathcal{F}$ ist die $x \in \R$ am nächsten liegende Gleitkommazahl. - -Für relative Maschinengenauigkeit $\epsilon := \frac{1}{2} \beta^{1-t}$: - -$\frac{|fl(x)-x|}{|x|} < \epsilon$, $\frac{|fl(x)-x|}{|fl(x)|} \leq \epsilon$ - -\subsection*{Arithmetische Grundoperationen} - -Für $x, y \in \mathcal{F}$ sind Operationen $o \in \{x,-,*,\div\}$ bzgl. eines Gleitkommasystems definiert: - -$\tilde o(x,y) := fl(o(x,y))$ - -Zu beachten ist hier die Ungültigkeit der Assoziativ- und Distributivgesetze. - -\subsection*{Kondition mathematischer Probleme} - -Die Konditionszahl eines mathematischen Problems $(f, x)$ ist die kleinste Zahl $\kappa_f(x) \geq 0$ mit: - -\vspace*{-4mm} -$$\frac{\|f(x + \Delta x) - f(x) \|_Y}{\|f(x)\|_Y} \leq \kappa_f(x) \frac{\|\Delta x\|_X}{\|x\|_X} + o(\|\Delta x \|_X)$$ - -Für $\|\Delta x\|_X \rightarrow 0$. Ein Problem $(f, x)$ ist gut konditioniert für \emph{kleine} und schlecht konditioniert für \emph{große} Konditionszahlen $\kappa_f(x)$. - -\subsubsection*{Kondition stetig differenzierbarer Fkt.} - -Für $f \in C^1(E, \R^m)$ in Umgebung $E \subseteq \R^n$ von $x$: - -\vspace*{-2mm} -$$\kappa_f(x) = \frac{\|f'(x)\| \cdot \|x\|_X}{\|f(x)\|_Y}$$ - -\section*{Vektor- und Matrixnormen} - -\subsection*{Induzierte Matrixnorm / Operatornorm} - -Für Normen $\| \cdot \|_\circ$, $\| \cdot \|_\star$ auf $\K^n$ bzw. $\K^m$ ist eine Matrixnorm $\| \cdot \| : \K^{m \times n} \rightarrow [0,\infty)$ auf dem Vektorraum der $m \times n$-Matrizen definiert: - -\vspace*{-4mm} -$$\|A\| := \max_{v \in \K^n \setminus \{0\}} \frac{\|Av\|_\star}{\|v\|_\circ} = \max_{\{v \in \K^n | \|v\|_\circ = 1 \}} \|Av\|_\star$$ - -\subsubsection*{Eigenschaften} - -Für $A \in \K^{m \times n}$ gilt $\forall v \in \K^n : \|Av\|_\star \leq \|A\| \cdot \|v\|_\circ$ - -Submultiplikativität: $\|AB\| \leq \|A\| \cdot \|B\|$ - -\subsubsection*{Matrix-$p$-Normen} - -Induzierte Matrixnorm bei Wahl der $p$-Normen über $\K^n$ bzw. $\K^m$: - -\vspace*{-4mm} -$$\|A\|_p := \max_{\{v \in \K^n | \|v\|_p = 1 \}} \|Av\|_p \text{ für } 1 \leq p \leq \infty$$ - -\subsubsection*{Spaltensummennorm} - -Für $A = (a_1, \cdots, a_n)$ mit $a_j \in \K^m$: - -\vspace*{-4mm} -$$\|A\|_1 = \max_{1 \leq j \leq n} \|a_j\|_1 = \max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^m |a_{i,j}|$$ - -\subsubsection*{Zeilensummennorm} - -\vspace*{-4mm} -$$\|A\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq m} \sum_{j=1}^n |a_{i,j}|$$ - -\subsubsection*{Spektralnorm} - -Die Matrix-$2$-Norm wird so genannt, da $\|A\|_2 = \sqrt{\lambda_{max}(A^H A)}$ für $\lambda_{max}(A^H A)$ als Bezeichner des größten Eigenwerts von $A^H A \in \K^{n \times n}$. - -$\|A\|_2 = \|A^H\|_2$, $\|A^H A\|_2 = \|A\|_2^2$ - -$\|Q A\|_2 = \|A\|_2$ für unitäre $Q$. - -\subsection*{Induzierte Normen} - -Für $A \in \R^{n \times n}$ mit $A > 0$ ist $\skp{z,z}_A := \skp{Az,z}_2$ ein Skalarprodukt auf $\R^n$. Dieses induziert die Energienorm $\|z\|_A = \sqrt{\skp{z,z}_A}$. - -\subsection*{Kondition einer Matrix} - -Für $A \in \K^{n \times n} \in GL_n{\R}$, $\|\cdot\|$ induzierte Matrixnorm: - -\vspace*{-4mm} -\begin{align*} -\kappa(A) &= \|A\| \cdot \|A^{-1}\| \\ -1 = \|Id\| = \|AA^{-1}\| &\leq \|A\| \cdot \|A^{-1}\| = \kappa(A) -\end{align*} - -\section*{Besondere Matrizen} - -\subsection*{Diagonaldominante Matrizen} - -$A \in \R^{n \times n}$ ist diagonaldominant, falls: - -$\forall i \in \{1,\cdots,n\} : |a_{i,i}| > \sum_{j=1,j\neq i}^n |a_{i,j}|$ - -Insbesondere sind solche $A$ regulär. Gilt nur $\geq$ so heißt die Matrix schwach diagonaldominant. - -\subsection*{Positiv definite Matrizen} - -$A \in \R^{n \times n}$ ist positiv definit d.h. $A > 0$ falls $A=A^T$ und $\forall x \in \R^n \setminus \{0\} : x^TAx > 0$. - -\subsection*{Hessenberg-Matrizen} - -Fast obere / untere Dreiecksmatrix wobei 1. untere / obere Nebendiagonale besetzt sein kann. - -\section*{Direkte Verfahren zur LGS Lösung} - -\subsection*{Cramersche Regel} - -Sei $A = (a_{i,j})_{ij} \in GL_n(\R)$, $b \in \R^n$, $A[j] = (a_1, \cdots, a_{j-1}, b, a_{j+1}, \cdots, a_n) \in \R^{n \times n}$, $a_k$ k-ter Spaltenvektor von $A$. Dann bildet $x_j = \frac{det(A[j])}{det(A)}$ für $j = 1, \cdots, n$ die eindeutige Lösung $x \in \R^n$ s.d. $Ax=b$. - -Aufgrund des hohen Aufwands von allg. mehr als $(n+1)!$ arithmetischen Operationen ist die Cramersche Regel nur von theoretischer Bedeutung. - -\subsection*{Lösung gestaffelter Systeme} - -Obere Dreicksmatrizen können mittels Rückwärtssubstitution, untere Dreiecksmatrizen mittels Vorwärtssubstitution in $\mathcal{O}(n^2)$ gelöst werden. - -\subsection*{LR-Zerlegung} - -$A = LR$ wobei $L$ untere Dreiecksmatrix mit $1$-Diagonale und $R$ obere Dreicksmatrix. - -\subsubsection*{Berechnung LR-Zerlegung} - -Die LR-Zerlegung existiert insofern die Diagonaleinträge nicht verschwinden. Insbesondere gilt dies für diagonaldominante Matrizen. - -\begin{enumerate} - \item Spaltenweises nullen der der unteren Einträge mittels \emph{Gauß}, Matrizen $L_1, \cdots, L_{n-1}$ - \item $L = L_1^{-1} \cdots L_{n-1}^{-1}$, $R=L_{n-1} \cdots L_1 A$ -\end{enumerate} - -\subsubsection*{Lösung $Ax=b$ mittels LR-Zerlegung} - -\begin{enumerate} - \item $A=LR$ berechnen - \item $Lz=b$ Vorwärtssubstitution - \item $Rx=z$ Rückwärtssubstitution -\end{enumerate} - -\subsubsection*{Spaltenpivotsuche} - -Die normale LR-Zerlegung ist nur Vorwärts- und nicht Rückwärtsstabil. Dies kann durch Spaltenpivotsuche verbessert werden. Hier wird in jedem Schritt mittels einer Permutationsmatrix immer mit der größten verbleibenden Zeile eliminiert. - -\vspace{1mm} - -Für alle regulären Matrizen existiert eine Spaltenpivotsuchen LR-Zerlegung so, dass $PA=LR$. - -\subsection*{Cholesky-Zerlegung} - -Für $A > 0$ existiert untere Dreiecksmatrix $L$ mit positiver Diagonale, so dass $A = LL^T$ - -\subsection*{QR-Faktorisierung} - -Für alle $A \in \R^{m \times n}$ mit $m \geq n$ und $Rang(A)=n$ existiert $A=QR$ mit unitärem $Q \in \R^{m \times m}$ und injektiver oberer Dreiecksmatrix $R$. - -\subsubsection*{Householder-Reflexionen} - -$$H(v) := Id_m - 2 \frac{vv^T}{v^Tv} = Id_m - 2 \frac{vv^T}{\|v\|_2^2} \text{ für } \forall v \in \R^m \setminus \{0\}$$ - -Solche Householder-Reflexionen $H(v)$ sind orthogonal, d.h. $H(v)^T=H(v)$ und $H(v)^2=Id_m$. - -Wegen $H(v)v=v-2v=-v$ und $\forall w \in spann\{v\}^\perp : H(w)w=w$ ist $H(v)$ Spiegelung an der Hyperebene $spann\{v\}^\perp$. - -Solche Reflexionen können durch wiederholte Anwendung Matrizen in obere Dreiecksgestalt überführen: - -\vspace{1mm} - -Gesucht ist $v \in \R^m$ für $y \in \R^m$ s.d.: - -\vspace{-2mm} -$$H(v)y=y - 2 \frac{\skp{v,y}}{\|v\|_2^2}v \overset{!}{=} \alpha e_1$$ - -Vermeidung von Auslöschung: $\alpha := -sign(y_1)\|y\|_2$ - -Es ergibt sich mit $v:=y-\alpha e_1$: $H(y-\alpha e_1)y=\alpha e_1$. - -\vspace{1mm} - -Seien $Q_k$ die sukzessiven, auf $m \times m$ erweiterten, Householder-Reflexionen. Dann gilt: - -\vspace{1mm} - -$R:=Q_p \cdots Q_1 A$, $Q:=Q_1^T \cdots Q_p^T$ s.d. $A=QR$. - -\subsubsection*{Givens-Rotationen} - -Mit $c^2 + s^2 = 1, c, s \in \R$ und $l < k$: - -$$G(l,k) := \left(\begin{smallmatrix} -1 & & & & & & & & & & \\ - & \diagdown & & & & & & & & & \\ - & & 1 & & & & & & & & \\ - & & & c & & & & s & & & \\ - & & & & 1 & & & & & & \\ - & & & & & \diagdown & & & & & \\ - & & & & & & 1 & & & & \\ - & & & -s & & & & c & & & \\ - & & & & & & & & 1 & & \\ - & & & & & & & & & \diagdown & \\ - & & & & & & & & & & 1 -\end{smallmatrix}\right)$$ - -Wobei $c$ das Diagonalelement der $l$-ten und $k$-ten Zeile, $s$ $k$-tes Element der $l$-ten Zeile, $-s$ $l$-tes Element der $k$-ten Zeile. - -Givens-Rotationen sind orthogonal, $G(l,k)A$ unterscheidet sich von $A$ nur in der $l$-ten und $k$-ten Zeile. - -\vspace{-4mm} -$$(G(l,k)x)_i = \begin{cases} - cx_l + sx_k & i=l \\ - -sx_l + cx_k & i=k \\ - x_i & \text{sonst} -\end{cases}$$ - -$\exists \varphi \in (0,2\pi] : c=\cos{\varphi}, s=\sin{\varphi}$ d.h. $G(l,k)$ ist Rotation um $\varphi$ in Ebene $spann\{e_l,e_k\}$. - -Ziel: $k$-te Komponente von $x$ nullen für $x_l^2+x_k^2 \neq 0$. - -\vspace{-4mm} -\begin{align*} - |x_l| > |x_k| : &\tau := \frac{x_k}{x_l}, c := \frac{1}{\sqrt{1+\tau^2}}, s := c\tau \\ - |x_l| \leq |x_k| : &\tau := \frac{x_l}{x_k}, s := \frac{1}{\sqrt{1+\tau^2}}, c := s\tau -\end{align*} - -Mit einer solchen Givens-Rotation können einzelne Matrixelemente genullt und $A \in \R^{m \times n}$ so sukzessive in eine obere Dreiecksmatrix transformiert werden. - -QR mit Householder ist ungefähr doppelt so schnell wie mit Givens. Diese sind daher nur bei strukturierten Matrizen wie Tridiagonal- oder Hessenberg-Matrizen sinnvoll einzusetzen. - -\section*{Lineare Ausgleichsprobleme} - -Finde $u^* \in \R^n$: $\|Au^*-b\|_2 = \min_{u\in \R^n} \|Au-b\|_2$ - -Es sind äquivalent: - -\begin{enumerate}[label=(\alph*)] - \item $u^*$ löst Ausgleichsproblem - \item $u^*$ löst Normalengleichung $A^TAu^*=A^Tb$ - \item $u^*$ erfüllt $Au^* = P_Ab$ mit Ortogonalprojekt. $P_A : \R^m \rightarrow \R^m$ auf Bild von $A$ -\end{enumerate} - -Das Residuum $Au^*-b$ steht normal zu Bild von $A$. - -Ein Ausgleichsproblem ist eindeutig lösbar gdw. $Kern(A) = \{0\}$. - -Die Lösung mit minimaler euklidischer Norm wird Minimum-Norm-Lösung $u^+$ genannt. - -\subsection*{Singulärwertzerlegung} - -Sei $A \in \R^{m \times n}$ mit $r=Rang(A) \leq \min\{m,n\}$. - -Dann existiert $A=USV^T$ mit orthogonalen $U \in \R^{m \times m}$, $V \in \R^{n \times n}$ sowie Diagonalmatrix $S \in \R^{m \times n}$. - -\section*{Iterative Verfahren zur LGS Lösung} - -Ein iteratives Verfahren zur Lösung von $Au=b$ liefert zu Startvektor $u^0 \in \R^n$ eine Folge $\{u^k\}_{k\in \N_0} \subset \R^n$ mittels $\Psi_k : (\R^n)^{k+1} \rightarrow \R^n$ durch $u^{k+1} = \Psi_k(u^0, \cdots, u^k)$. - -Ein Verfahren konvergiert falls $\forall u^0 \in \R^n$, $b \in \R^n : \lim_{k\to \infty} u^k = A^{-1}b$ - -\subsection*{Abbruchkriterium} - -Direkte Löser liefern bei exakter Arithmetik nach endlich vielen Schritten $A^{-1}b$. Bei iterativen Lösern gilt im allg. $\forall k \in \N : u^k \neq A^{-1}b$. - -Ein Abbruchkriterium mit Toleranz $\tau > 0$ ist z.B. $\|u^m-u^{m-1}\| \leq \tau$ oder das relative Residuum von $u^m$: $\frac{\|Au^m-b\|}{\|b\|} \leq \tau$ - -\subsection*{Lineare Iterationsverfahren} - -$u^{k+1} = u^k + N(b-Au^k) = (Id - NA)u^k + Nb$ zu $u^0 \in \R^n$ wobei $N \in GL_n(\R)$ das jeweilige Verfahren charakterisiert. - -$M := Id - NA$ heißt Iterationsmarix. - -\subsubsection*{Spektralradius} - -$\varrho(M) = \max\{|\lambda| : \lambda \in Spec(M)\}$ - -\subsubsection*{Konvergenz} - -Ein lineares Iterationsverfahren konvergiert gdw. Spektralradius von $M$ $\varrho(M) < 1$. - -Ist $\|M\| < 1$ für induzierte Matrixnorm $\|\cdot\|$ dann konvergiert das entsprechende lineare Iterationsverfahren ebenso. - -Sind $A$ oder $A^T$ diagonaldominant so konvergieren sowohl das Jacobi- als auch das Gauß-Seidel-Verfahren. - -\subsubsection*{Gesamtschritt- / Jacobi-Verfahren} - -$$u_i^{k+1} = u_i^k + \frac{1}{a_{i,i}}\left(b_i - \sum_{j=1}^n a_{i,j} u_j^k \right) \text{ für } i = 1, \cdots, n$$ - -Für $A = D - L - R$: - -\vspace{-4mm} -\begin{align*} - u^{k+1} &= u^k + D^{-1}(b-Au^k) \\ - &= (Id - D^{-1}A)u^k + D^{-1}b -\end{align*} - -Also: $M^{Jac} = Id - D^{-1}A = D^{-1}(L+R)$, $N^{Jac} = D^{-1}$ - -\subsubsection*{Einzelschritt- / Gauß-Seidel-Verfahren} - -$$u_i^{k+1} = u_i^k + \frac{1}{a_{i,i}}\left(b_i - \sum_{j=1}^{i-1} a_{i,j} u_j^{k+1} - \sum_{j=i}^n a_{i,j} u_j^k \right)$$ - -Für $A = D - L - R$: - -$M^{GS} = (D - L)^{-1}R$, $N^{GS} = (D - L)^{-1}$. - -\subsection*{Krylov-Raum-Verfahren} - -Der Krylov-Raum $m$-ter Ordnung bzgl. $B$ und $v$: - -\vspace{-4mm} -$$\mathcal{U}_m(B,v) := spann\{v,Bv,B^2v, \cdots, B^{m-1}v\} \subset \R^n$$ - -Das Residuuum der $k$-ten Iterierten $u^k$: - -\vspace{-2mm} -$$r^k=(I-AN)r^{k-1} = (I-AN)^kr^0$$ - -Es gilt: $u^k \in u^0 + V_k$ mit $V_k = \mathcal{U}_k(NA,Nr^0)$ sowie $r^0 = b - Au^0$. - -Minimaleigenschaft der $k$-ten Iterierten bzgl. Norm $\|\cdot\|_\star$ auf $\R^n$: - -\vspace{-2mm} -$$u^k = argmin\{\|v - A^{-1}b\|_\star : v \in V_k\}$$ - -Ein Krylov-Raum-Verfahren bzgl. einer Norm $\|\cdot\|_\star$ ist nur dann sinnvoll, wenn $u^k$ mit geringem, d.h. im Bereich von zwei Matrix-Vektormultiplikationen liegendem, numerischen Aufwand aus $u^{k-1}$ hervorgeht. - -\subsection*{Vorkonditionierer} - -Anforderungen: $Nv$ sollte schnell zu berechnen sein, weiterhin sollte $N \approx A^{-1}$ möglichst gelten. - -\subsection*{Bezüglich $A > 0$ konjugierte Vektoren} - -Vektoren $p, q \in \R^n$ sind konjugiert bzgl. $A > 0$ d.h. $A$-orthogonal, falls $Ap \perp q$, also $\skp{Ap,q}_2=\skp{p,q}_A=0$. - -\subsection*{CG-Verfahren} - -Das Verfahren der konjugierten Gradienten ist durch die Energienorm charakterisiert und definiert als: - -\vspace{-2mm} -$$u^k = argmin\{\|v-A^{-1}b\|_A : v \in V_k\}$$ - -Für positiv definite $A, N \in \R^{n \times n}$ sowie $b \in \R^n$ liefert das CG-Verfahren nach spätestens $n$ Schritten $A^{-1}b$. Eigentlich ist es bei exakter Arithmetik also ein direkter Verfahren, wird aber durch früheren Abbruch als iteratives Verfahren verwendet. - -\subsection*{GMRES-Verfahren} - -Das Verfahren des verallgemeinerten minimalen Residuum liefert die Lösung $Ax=b$ für $A \in GL_n(\R)$ und ist charakterisiert durch: - -\vspace{-4mm} -\begin{align*} - u^k :&= argmin\{\|N(b-Av)\|_2 : v \in V_k\} \\ - &= argmin\{\|NA(A^{-1}b-v)\|_2 : v \in V_k\} -\end{align*} - -Das GMRES-Verfahren ist also durch die nicht Skalarprodukt-induzierte Norm $\|NA\cdot\|_2$ induziert. - -\section*{Interpolation} - -Interpolation von $f$ mit $\varphi$ s.d. $\varphi(t_i) = f(t_i)$ für $i = 0,\cdots, n$. Approximation von $f$ mit $\varphi$ s.d. $\|\varphi - f\|$ möglichst klein in geeigneter Norm. - -\subsection*{Klassische Polynom-Interpolation} - -Zu gegebenen Knoten $t_0 < \cdots < t_n$ und Stützwerten $f_i = f(t_i)$ für $i = 0,\cdots,n$ wird Polynom $ \in \Pi_n$ gesucht s.d. $P(t_i)=f_i$ für $i = 0,\cdots,n$. - -Zu $n+1$ Stützwerten $f_i$ und paarweise verschiedenen Knoten $t_i$ existiert dabei genau ein solches Interpolationspolynom $P=P(f|t_0,\cdots,t_n) \in \Pi_n$. - -\subsection*{Vandermonde-Matrix} - -$$\begin{pmatrix} -1 & t_0 & t_0^2 & \cdots & t_0^n \\ -1 & t_1 & t_1^2 & \cdots & t_1^n \\ -\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ -1 & t_n & t_n^2 & \cdots & t_n^n -\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}a_0 \\ \vdots \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix} = -\begin{pmatrix}f_0 \\ \vdots \\ \vdots \\ f_n\end{pmatrix}$$ - -Die Lösung der Vandermonde-Matrix beschreibt $P(f|t_0,\cdots,t_n) \in \Pi_n$, was jedoch sehr aufwändig ist. - -\subsection*{Lagrange-Basis} - -Basis $\{L_{n,0},\cdots,L_{n,n}\}$ von $\Pi_n$ abhg. $t_0 < \cdots < t_n$ wg. $L_{n,k}(t_i) = \delta_{k,i} = \begin{cases}1 & k=i \\ 0 & sonst\end{cases}$ - -$$L_{n,k}(t) := \prod_{j=0,j\neq k}^n \frac{t-t_j}{t_k-t_j}$$ - -Es gilt also: $P(f|t_0,\cdots,t_n)=\sum_{k=0}^n f_k \cdot L_{n,k}$ - -\vspace{2mm} - -Ein Lagrange Polynom zu Stützstelle $t_k$ nimmt an dieser $1$, an allen anderen Stützstellen $0$ an. - -\subsubsection*{Lemma von Aitken} - -$P = P(f|t_0,\cdots,t_n)(t) =$ -\vspace{-2mm} -$$\frac{(t_0-t)P(f|t_i,\cdots,t_n)(t)-(t_n-t)P(f|t_0,\cdots,t_{n-1})(t)}{t_0-t_n}$$ - -\subsubsection*{Schema von Neville} - -Sei $t \in \R$ fest, $P_{i,k}(t)=P_{i,k}=P(f|t_{i-k},\cdots,t_i)(t)$ für $i\geq k$. Dann ist insb. $P_{i,0}=f_i$ und $P_{n,n}=P(f|t_0,\cdots,t_n)(t)$ kann rekursiv mit dem \emph{Schema von Neville} berechnet werden: - -\vspace{-4mm} -\begin{align*} -P_{i,k} &= \frac{(t_{i-k}-t)P_{i,k-1} - (t_i-t)P_{i-1,k-1}}{t_{i-k}-t_i} \\ - &= \frac{t-t_{i-k}}{t_i-t_{i-k}} P_{i,k-1} - \frac{t-t_i}{t_i-t_{i-k}} P_{i-1,k-1} -\end{align*} - -\subsection*{Tschebyscheff-Knoten} - -Für $i = 0,\cdots,n$: - -\vspace{-2mm} -$$t_i^{[a,b]} = \frac{b+a}{2} + \frac{b-a}{2} \cos\left(\frac{2i+1}{2n+2} \pi\right)$$ - -Diese Knotenfolge liegt dichter zu den Intervallgrenzen hin und ergibt eine bessere Interpolation als äquidistante Knoten. - -\subsection*{Satz von Faber} - -Zu jeder Folge von Knoten $\{t_0^{(n)},\cdots,t_n^{(n)}\}_{n \in \N}$ in $[a,b]$ gibt es ein $f \in C([a,b])$ so, dass $\{P(f|t_0^{(n)},\cdots,t_n^{(n)})\}_{n \in \N}$ für $n \to \infty$ nicht glm. gegen $f$ konvergiert. - -\section*{Splines} -- cgit v1.2.3