From 934ec3f9d7cd8410d9e255f5436dfca33374d65f Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Adrian Kummerlaender
Date: Tue, 14 Feb 2017 13:41:42 +0100
Subject: Start section on interpolation

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 numerik_1.tex | 53 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
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@@ -370,3 +370,56 @@ Das Verfahren des verallgemeinerten minimalen Residuum liefert die Lösung $Ax=b
 Das GMRES-Verfahren ist also durch die nicht Skalarprodukt-induzierte  Norm $\|NA\cdot\|_2$ induziert.
 
 \section*{Interpolation}
+
+Interpolation von $f$ mit $\varphi$ s.d. $\varphi(t_i) = f(t_i)$ für $i = 0,\cdots, n$. Approximation von $f$ mit $\varphi$ s.d. $\|\varphi - f\|$ möglichst klein in geeigneter Norm.
+
+\subsection*{Klassische Polynom-Interpolation}
+
+Zu gegebenen Knoten $t_0 < \cdots < t_n$ und Stützwerten $f_i = f(t_i)$ für $i = 0,\cdots,n$ wird Polynom $ \in \Pi_n$ gesucht s.d. $P(t_i)=f_i$ für $i = 0,\cdots,n$.
+
+Zu $n+1$ Stützwerten $f_i$ und paarweise verschiedenen Knoten $t_i$ existiert dabei genau ein solches Interpolationspolynom $P=P(f|t_0,\cdots,t_n) \in \Pi_n$.
+
+\subsection*{Vandermonde-Matrix}
+
+$$\begin{pmatrix}
+1      & t_0    & t_0^2  & \cdots & t_0^n  \\
+1      & t_1    & t_1^2  & \cdots & t_1^n  \\
+\vdots & \vdots & \vdots &        & \vdots \\
+1      & t_n    & t_n^2  & \cdots & t_n^n
+\end{pmatrix}
+\begin{pmatrix}a_0 \\ \vdots \\ \vdots \\ a_n\end{pmatrix} =
+\begin{pmatrix}f_0 \\ \vdots \\ \vdots \\ f_n\end{pmatrix}$$
+
+Die Lösung der Vandermonde-Matrix beschreibt $P(f|t_0,\cdots,t_n) \in \Pi_n$, was jedoch sehr aufwändig ist.
+
+\subsection*{Lagrange-Basis}
+
+Basis $\{L_{n,0},\cdots,L_{n,n}\}$ von $\Pi_n$ abhg. $t_0 < \cdots < t_n$ wg. $L_{n,k}(t_i) = \delta_{k,i} = \begin{cases}1 & k=i \\ 0 & sonst\end{cases}$
+
+$$L_{n,k}(t) := \prod_{j=0,j\neq k}^n \frac{t-t_j}{t_k-t_j}$$
+
+Es gilt also: $P(f|t_0,\cdots,t_n)=\sum_{k=0}^n f_k \cdot L_{n,k}$
+
+\vspace{2mm}
+
+Ein Lagrange Polynom zu Stützstelle $t_k$ nimmt an dieser $1$, an allen anderen Stützstellen $0$ an.
+
+\subsubsection*{Lemma von Aitken}
+
+$P = P(f|t_0,\cdots,t_n)(t) =$
+\vspace{-2mm}
+$$\frac{(t_0-t)P(f|t_i,\cdots,t_n)(t)-(t_n-t)P(f|t_0,\cdots,t_{n-1})(t)}{t_0-t_n}$$
+
+\subsubsection*{Schema von Neville}
+
+Sei $t \in \R$ fest, $P_{i,k}(t)=P_{i,k}=P(f|t_{i-k},\cdots,t_i)(t)$ für $i\geq k$. Dann ist insb. $P_{i,0}=f_i$ und $P_{n,n}=P(f|t_0,\cdots,t_n)(t)$ kann rekursiv mit dem \emph{Schema von Neville} berechnet werden:
+
+\vspace{-4mm}
+\begin{align*}
+P_{i,k} &= \frac{(t_{i-k}-t)P_{i,k-1} - (t_i-t)P_{i-1,k-1}}{t_{i-k}-t_i} \\
+        &= \frac{t-t_{i-k}}{t_i-t_{i-k}} P_{i,k-1} - \frac{t-t_i}{t_i-t_{i-k}} P_{i-1,k-1}
+\end{align*}
+
+\subsection*{Tschebyscheff-Knoten}
+
+\section*{Splines}
-- 
cgit v1.2.3

