\section*{Anfangswertprobleme}

Seien \(\J \subseteq \R\) ein Intervall, \(t_0 \in \J\) mit \(t_0 < \sup \J\), \(D \subseteq \R^m\) offen, \(f \in C(\J \times D, \R^m)\) und \(u_0 \in D\).

\vspace*{-4mm}
\begin{align*}
	u'(t)  &= f(t, u(t)), \ t \geq t_0, \ t\in \J \\
	u(t_0) &= u_0
\end{align*}

Für das AWP wird ein \(t_1 \in \J\) mit \(t_1 > t_0\) und eine Lösung \(u \in C^1([t_0, t_1], \R^m)\) auf \([t_0, t_1]\) gesucht.

\subsection*{Lipschitz-Stetigkeit}

\[\exists L > 0 \forall x_1, x_2 \in \R^m : \|f(x_1)-f(x_2)\| \leq L \|x_1-x_2\|\]

\subsection*{Lokale Lipschitz-Stetigkeit}

\[\exists \delta > 0 \exists L > 0 \forall \overline{x} \in U_\delta(x) : \|f(x)-f(\overline{x})\| \leq L \|x-\overline{x}\|\]

\subsection*{Kriterium für lokale Lipschitz-Stetigkeit}

Sei \(f \in C(\J \times D, \R^k)\), \(D \subseteq \R^m\) offen und:

\(\forall j \in \{1,\dots,m\} \exists \partial_{x_j} f \in C(\J \times D, \R^k)\)

Dann ist \(f\) lokal Lipschitz in \(x\).

\subsection*{Picard-Lindelöf (lokal)}

Seien \(\J\) Intervall, \(D \subseteq \R^m\) offen, \(f \in C(\J \times D, \R^m)\) lokal Lipschitz in \(x\), \(u_0 \in D\), \(t_0 \in \J\) mit \(t_0 < \sup \J\). Dann gelten:

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item \(\exists t_1 > t_0 \) mit \(t_1 \in \J\) und eind. Lsg. \(u\)  auf \([t_0, t_1]\) von \(u'(t) = f(t, u(t))\) mit \(u(t_0) = u_0\)
	\item \(u'(t) = f(t, u(t))\) mit \(u(t_0) = u_0\) besitze zwei Lsg. \(v_1\) und \(v_2\) auf \([t_0, T_1] \subseteq \J\) bzw. \([t_0, T_2] \subseteq \J\). Dann stimmen \(v_1\) und \(v_2\) auf \([t_0, T_3]\) mit \(T_3 = \min\{T_1, T_2\}\) überein.
\end{enumerate}

\subsection*{Picard-Lindelöf (maximal)}

Unter den Voraussetzungen von Picard-Lindelöf (lokal) sei \(u_0 \in D\), dann gilt:

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item \(\exists\) max. Existenzzeit \(\overline t(u_0) \in (t_0, \sup \J]\) und eine eindeutige maximale Lösung \(u\) von \(u'(t) = f(t, u(t))\) mit \(u(t_0) = u_0\) auf \([t_0, \overline t(u_0))\)
	\item Wenn \(\overline t(u_0) < \sup \J\), dann \(\exists t_n \in (t_0, \overline t(u_0))\) mit \(\lim_{n \to \infty} t_n = \overline t(u_0)\) so, dass die Blow-Up Bedingung erfüllt ist: \(\lim_{n \to \infty} |u(t_n)|_n = \infty\) oder \(\lim_{n \to \infty} \inf_{x \in \partial D} |u(t_n) - x|_2 = 0\)
\end{enumerate}

\subsection*{Trennung der Variablen}

Sei \(u'(t)=g(t)h(u(t))\) mit \(u(t_0)=u_0\) ein AWP mit \(g \in C(\R)\), \(h \in C((a, b), \R)\), \(u_0 \in (a, b)\) und \(h(u_0) \neq 0\). \(u\) ist Lösung, wenn:

\(\forall t \in \J : u(t) \in (a, b)\), \(u \in C^1(\J, \R)\) und \(t_0 \in \J\).
\[ u \text{ ist Lösung } \Rightarrow \int_{t_0}^t g(s) ds = \int_{u_0}^{u(t)} \frac{1}{h(x)} dx \]

\subsection*{Lemma von Grönwall}

Seien \(b \in [0,\infty], \ \phi \in C([0,b),\R)\) und \(\alpha, \beta \geq 0\).
\[\psi(t) := \alpha + \beta \int_0^t \phi(s) ds \text{ für } t \in [0,b)\]
Weiter gelte \(\phi \leq \psi\) auf \([0,b)\). Dann gilt:
\[\forall t \in [0,b) : \phi(t) \leq \alpha \exp(\beta t)\]

\subsection*{Eindeutige Lösbarkeit}

Sei \(D = (a,b) \times \R^m\) mit \(-\infty \leq a < b \leq \infty\) und \(f : D \to \R^k\) erfülle die Vor. von Picard-Lindelöf. Gilt weiter \(\|f(t,x)\| \leq \alpha + \beta \|x\|\) für \(\alpha, \beta \geq 0\), dann ist das AWP auf \((a,b)\) eindeutig lösbar.

\section*{Autonome DGL}

Sei \(\emptyset \neq D \subseteq \R^p\) und \(g : D \to \R^p\).

Die DGL \(x'(t)=g(x(t))\) heißt \emph{autonom}.

\subsection*{Stationäre Stelle}

Sei \(x_0 \in D\) mit \(g(x_0)=0\) von \(x'(t)=g(x(t))\) für \(g : D \to \R^p\). Dann ist \(x_0\) eine stationäre Stelle.

\spacing

Sei \(g \in C(D,\R^p)\), ex. Lsg. \(x: [t_0,\infty) \to \R^p\) und \(x_0 := \lim_{t \to \infty} x(t)\). Dann ist \(x_0\) stationäre Stelle und es gilt \(x'(t) \to 0 \ (t \to \infty)\)

\subsection*{Monotone Lösung für \(p=1\)}

Sei \(D \subseteq \R\) Intervall, \(g \in C(D,\R)\) und \(x : \J \to \R\) eine Lsg. von \(x'(t)=g(x(t))\). Dann ist \(x\) monoton.

\subsection*{Fundamentalsystem}

Sei \(x'=Ax\) eine homogene lineare DGL. Ein \emph{Fundamentalsystem} ist eine Basis \(\{x_1,\dots,x_n\}\) des Lösungsraums: \[\mathcal{L} := \left\{ x \in C^1([a,b],\R^p) \middle| x=\sum_{k=1}^n a_k x_k, \ a_1,\dots,a_n \in \R \right\}\]

\subsection*{Bahn, Orbit, Trajektorie}

Seien \(\emptyset \neq D \subseteq \R^p\) offen, \(\J \subseteq \R\) und \(f : D \to \R^p\) lokal Lipschitz.

Ist \(x : \J \to \R^p\) Lsg. von \(x'(t)=f(x(t))\) so heißt \(x(\J)\) \emph{Bahn}, \emph{Orbit}, \emph{Trajektorie} von \(x'(t)=f(x(t))\).

\subsection*{Erstes Integral}

Sei \(H \in C^1(D,\R)\).

\(H\) heißt \emph{erstes Integral} von \(x'(t)=f(x(t))\) gdw.: \[\forall x \in D : H'(x) \cdot f(x) = 0\]

Sei weiter \(x : \J \to \R^p\) Lsg. von \(x'(t)=f(x(t))\). Dann ex. \(c \in \R\) s.d.: \(\forall t \in \J : H(x(t))=c\)

\subsection*{Stabilität}

Sei \(x_0 \in D\) mit \(f(x_0)=0\) stat. Stelle von \(x'=f(x)\).

\spacing

\(x_0\) heißt \emph{stabil} gdw. \(\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 : \|x_1-x_0\| < \delta\) und ist \(x : [t_0,\omega_+) \to \R^p\) die nach rechts nicht fort. Lsg. des AWP \(x'(t)=f(x(t)), x(t_0)=x_1\) so ist \(\omega_+ = \infty\) und \(\forall t \geq t_0 : \|x(t)-x_0\| < \epsilon\).

\spacing

Gilt \(x(t) \to x_0 \ (t \to \infty)\) so ist \(x_0\) asymp. stabil.

\subsubsection*{Stabilitätssatz}

Sei \(f(x_0)=0\) und \(f\) in \(x_0\) diffbar. Gilt für EW \(\forall \lambda \in \sigma(f'(x_0)) : \text{Re} \lambda < 0\) so ist \(x_0\) asymptotisch stabil.

\spacing

Gilt \(\exists \lambda \in \sigma(f'(x_0)) : \text{Re} \lambda > 0\) so ist \(x_0\) instabil.

\subsubsection*{Lyapunov-Funktion}

Sei \(\emptyset \neq D \subseteq \R^p\) offen und \(f : D \to \R^p\) lokal Lipschitz sowie \(x_0 = 0 \in D\) und \(f(x_0)=0\).

Für das AWP \(x'(t)=f(x(t)), \ x(t_0)=0\) ist def.:

\spacing

Sei \(r > 0, U_r(0) \subseteq D\) und \(V \in C^1(U_r(0),\R)\). \(V\) heißt \emph{Lyapunov-Funktion} zu \(x'=f(x)\) in Punkt \(x_0=0\) gdw.: \(V(0)=0, \forall x \in U_r(0) \setminus \{0\} : V(x) > 0\) und \(\forall x \in U_r(0) : V'(x) \cdot f(x) \leq 0\).

\spacing

Besitzt \(x'=f(x)\) eine LF so ist \(x_0=0\) stabil.

\spacing

Gilt weiter \(\forall x \in U_r(0) \setminus \{0\} : V'(x) \cdot f(x) < 0\) so ist \(x_0\) asymptotisch stabil.

\section*{Randwertprobleme}

\(a,b \in \R, a < b, \J := [a,b], q \in C(\J), p \in C^1(\J), p > 0\)

\(L : C^2(\J) \to C(\J), \ Lu := (pu')'+qu\) ist \emph{selbstadj. Differentialoperator 2. Ordnung}.

\spacing

\(r \in C(\J), \ \alpha_i,\beta_i \in \R, \ (\alpha_0,\alpha_1) \neq (0,0) \neq (\beta_0,\beta_1)\)

\(R_a,R_b : C^2(\J) \to \R\) sind \emph{Randoperatoren}:
\begin{align*}
	R_a u :&= \alpha_0 u(a) + \alpha_1 p(a)u'(a) \\
	R_b u :&= \beta_0 u(b) + \beta_1 p(b)u'(b)
\end{align*}

\subsection*{Sturmsches Randwertproblem}

Sei \(\gamma_a, \gamma_b \in \R\). \[(Lu)(t)=r(t) \text{ mit } R_a u = \gamma_a, \ R_b u = \gamma_b\]

Gilt \(R_a u = u(a), \ R_b u = u(b)\) so handelt es sich um Randoperatoren 1. Art in einem Dirichlet RWP.

\spacing

Gilt \(R_a u = u'(a), \ R_b u = u'(b)\) so handelt es sich um Randoperatoren 2. Art in einem Neumann RWP.

\spacing

Für \(t_0 \in \J, \ \alpha,\beta \in \R\) hat AWP \((Lu)(t)=r(t)\) mit \(u(t_0)=\alpha\) und \(u'(t_0)=\beta\) genau eine Lsg. auf \(\J\).

\spacing

Lösen lin. unabhg. \(u_1,u_2 : \J \to \R\) die homogene Gl. \((Lu)(t)=0\), so bilden \(u_1,u_2\) ein FS von \(Lu=0\).

Ist zusätzlich \(u_s : \J \to \R\) spezielle Lsg. von \(Lu=r\) so ist die die allg. Lsg. von \(Lu=r\) geg. durch: \[u_s+c_1 u_1+c_2 u_2 \text{ mit } c_1, c_2 \in \R\]

\subsubsection*{Charakterisierung des FS von \(Lu=0\)}

Seien \(u,v : \J \to \R\) Lsg. von \(Lu=0\). Dann: \[\exists c \in \R \forall t \in \J : p(t)(u(t)v'(t)-v(t)u'(t)) = c\]

\(\{u,v\}\) ist ein FS von \(Lu=0\) gdw. Konstante \(c \neq 0\).

\subsubsection*{Spezielle Lösung von \(Lu=r\)}

Sei \(u,v : \J \to \R\) FS von \(Lu=0\), \(c = c(u,v) \in \R\) die Konstante aus Char. und für \(\tau \in \J\): \[u_\tau(t) := \frac{1}{c} (u(\tau)v(t)-u(t)v(\tau))\]

Für \(t \in \J)\): \(u_s(t) := \displaystyle\int_a^t u_\tau(t) r(\tau) d\tau\)

Dann gilt \(u_s(a) = u_s'(a) = 0\) also \(R_a u_s = 0\) und \(u_s\) ist spezielle Lösung von \(Lu=r\).

\subsubsection*{Allgemeine Lösung von \(Lu=r\)}

\vspace*{-4mm}
\begin{align*}
u_s(t)+c_1 u(t) + c_2 v(t) &= u(t)\left(c_1-\frac{1}{c}\int_a^t v(\tau) r(\tau) d\tau \right) \\
&+ v(t)\left(c_2+\frac{1}{c}\int_a^t u(\tau)r(\tau) d\tau \right)
\end{align*}

\subsection*{Zulässige Fundamentalsysteme}

Ein FS \(\{u,v\}\) von \(Lu=0\) heißt \emph{zulässig} gdw.: \[R_a u = 0, \ R_b u \neq 0, \ R_a v \neq 0, \ R_b v = 0\]

\subsection*{Greensche Funktion}

Sei \((Lu)(t)=r(t)\) mit \(R_a u = R_b u = 0\) trivial lösbares \emph{halbhomogenes RWP} und \(u, v : \J \to \R\) zulässiges Fundamentalsystem von \(Lu=0\).

Dann ist \(w : \J \to \R\) DIE Lsg. des RWP: \[w(t)=\int_a^b G(t,\tau)r(\tau) d\tau\]

Hierbei ist \(G(t,\tau)\) die \emph{Greensche Funktion}:
\[G(t,\tau) := \begin{cases}
	\frac{1}{c}(v(t)u(\tau)) & a \leq \tau \leq t \leq b \\
	\frac{1}{c}(v(\tau)u(t)) & a \leq t < \tau \leq b
\end{cases}\]

Die Greensche Funktion \(G(t,\tau)\) ist stg. auf \(\J \times \J\), es gilt \(\forall t, \tau \in \J : G(t,\tau)=G(\tau,t)\) und sie ist unabhängig der Wahl des zulässigen FS.

Die Lösung des Sturmschen RWP ergibt sich als: \[\overline w(t) = w(t) + \frac{\gamma_b}{R_b u} u(t) + \frac{\gamma_a}{R_a b} v(t)\]
