\newcommand{\Primes}{\mathbb{P}} \section*{Teilbarkeit} Sei $n \in \N$. $d \in \N$ ist Teiler von $n$, falls $\exists t \in \N : d \cdot t = n$. Man schreibt $d \mid n$. $n$ ist Vielfaches von $d$. \vspace*{1mm} Die Menge aller Teiler ist endlich da $\forall d \mid n : d \leq n$. \vspace*{1mm} Der \emph{größte gemeinsame Teiler} von $m$ und $n$ wird notiert als $ggT(m,n)$ oder $(m,n)$. \vspace*{1mm} Das \emph{kleinste gemeinsame Vielfache} ist $kgV(m,n)$. \vspace*{1mm} Zahlen $m, n \in \N$ heißen \emph{teilerfremd}, wenn $1 \in \N$ der einzige gemeinsame Teiler ist. \subsection*{$ggT$ als Linearkombination} Für $m, n \in \Z$ ex. $c, d \in \Z$ s.d. $mc + nd = ggT(m,n)$ \subsection*{Division mit Rest} $\forall k \in \Z, n \in \N \exists! d \in \Z, r \in \{0,\cdots,n-1\}: k = dn+r$. $r$ ist Rest der Division von $k$ durch $n$. \section*{Primzahlen} Eine \emph{Primzahl} ist ein $1 < n \in \N$ welches keinen natürlichen Teiler außer $1$ und $p$ hat. $\Primes = \{ n \in \N | n > 1, \forall d,t < n : d \cdot t \neq n \}$ \subsection*{Fundamentalsatz der Arithmetik} Jedes $n \in \N$ lässt sich eindeutig als sortiertes Produkt von Primzahlen schreiben. \subsection*{$p$-adische Bewertung} Sei $p \in \Primes$. Dann: $\forall 0 \neq k \in \Z \exists! v_p(k) \in \N_0 : p^{v_p(k)} \mid k \land p^{v_p(k)+1} \nmid k$ Insb.: $k = \pm \displaystyle\prod_{p \in \Primes} p^{v_p(k)}$ \vspace*{-4mm} \begin{align*} \forall k, l \in \Z: v_p(k+l) &\geq \min\{v_p(k),v_p(l)\} \\ v_p(k \cdot l) &= v_p(k) + v_p(l) \end{align*} Weiterhin gilt für $a, b \in \N$: $b \mid a \iff \forall p \in \Primes : v_p(b) \leq v_p(a)$ $ggT(a,b) = \displaystyle\prod_{p \in \Primes} p^{e_p}$ mit $e_p = \min\{v_p(a),v_p(b)\}$ $kgV(a,b) = \displaystyle\prod_{p \in \Primes} p^{f_p}$ mit $f_p = \max\{v_p(a),v_p(b)\}$ \subsection*{Kleiner Satz von Fermat} Sei $p \in \Primes, c \in \Z$. Dann gilt $p \mid c^p - c$. \subsection*{Primzahlverteilung} Sei $k \in \N$. Dann ex. $M \in \N$ s.d. zwischen $M$ und $M+k$ keine Primzahl liegt. $\forall \epsilon > 0 \exists x_0 \in \R \forall x \geq x_0 \exists p \in \Primes : p \in [x,(1+\epsilon)x]$ \vspace*{2mm} Die Funktion $\pi(x) := \#\{ p \in \Primes | p \leq x \}$ zählt die Anzahl der Primzahlen unterhalb $x \in \R$. Der \emph{Primzahlsatz} besagt: $\lim_{x \to \infty} \pi(x) \cdot \frac{\log{x}}{x} = 1$. Der \emph{Dichtheitssatz} besagt: Die Menge aller Brüche $p/l$ mit $p, l \in \Primes$ liegt dicht in $\R_{\geq 0}$. \section*{Magmen} Ein Magma ist Menge mit Verknüpfung $(M, \star)$ wobei $\star : M \times M \to M$ eine Abbildung ist. \vspace*{2mm} Ein Magma ist \emph{assoziativ} gdw.: $\forall l, m, n \in M : ( l \star m ) \star n = l \star ( m \star n )$ Ein Magma ist \emph{kommutativ} gdw.: $\forall m, n \in M : m \star n = n \star m$ Ein assoziatives Magma heißt \emph{Halbgruppe}. Ein assoziatives Magma mit beiseitigem Neutralelement heißt \emph{Monoid}. \subsection*{Magmenhomomorphismen} Seien $(M,\star)$, $(N,\circ)$ Magmen. $\Phi : M \rightarrow N$ ist Magmenhomomorphismus, wenn: $\forall m_1, m_2 \in M : \Phi(m_1 \star m_2) = f(m_1) \circ f(m_2)$ \subsection*{Untermagmen} $U \subseteq M$ ist Untermagma gdw.: $U \star U \subseteq U$. \vspace*{2mm} $\cap_{i \in I} U_i$ ist Untermagma von $M$. Für $X \subseteq M$ ist $\langle X \rangle_{\text{Magma}}$ Schnitt aller Untermagmen $U$ von $M$ mit $X \subseteq U$. $\langle X \rangle_{\text{Magma}}$ heißt Magmenerzeugnis von $X$ in $M$. \subsection*{Untermonoide} Ein Untermonoid eines Monoids $M$, d.h. eines assoziativen Magmas mit Neutralelement, ist ein Untermagma mit beidseitigem Neutralelement. \subsection*{Symmetrische Gruppen} $\text{Sym}(D) := \{ \sigma \in \text{Abb}(D,D) | \sigma \text{ ist bijektiv}\}$ $\text{Sym}(D)$ ist Untermagma von $\text{Abb}(D,D)$. $S_d$ für $d \in \N$ ist die aus genau $d$ Elementen bestehende symmetrische Gruppe. \section*{Gruppen} Eine Gruppe ist ein assoziatives Magma $(M, \star)$ mit beidseitig neutralem Element $e$ und mindestens einer Inversen bzgl. $\star$ für $\forall m \in M$. Eine Gruppe heißt \emph{kommutativ} bzw. \emph{abelsch} wenn sie als Magma kommutativ ist. \subsection*{Untergruppen} Eine Untergruppe ist ein Untermagma $\emptyset \neq U \leq G$ welches unter Inversenbildung abgeschlossen ist. $U \neq \emptyset \implies x \in U \implies x^{-1} \in U \implies e_G \in U$ $U \leq G \iff \emptyset \neq U \subseteq G \land \forall x, y \in U : xy^{-1} \in U$ Schnitt von Untergruppen ist selbst Untergruppe. \subsection*{Gruppenerzeugnis} Der Schnitt aller ein $M \subset G$ beinhalten Untergruppen wird geschrieben als $\langle M \rangle$ und bezeichnet als (Gruppen-)Erzeugnis von $M$. $\langle M \rangle = \{ x_1 \cdots x_k | k \in \N_0, \forall i \leq k : x_i \in M \lor x_i^{-1} \in M \}$ \subsection*{Zyklische Gruppen} Gruppe $G$ ist \emph{zyklisch}, wenn $\exists a \in G : G = \langle a \rangle$. $\forall n \in \N : [1]$ erzeugt $\Z / n\Z$. $\langle g \rangle = \{ g^k | k \in \Z \}$ ist von $g$ erzeugte zyklische Grp. \subsubsection*{Ordnung} Die Ordnung einer Gruppe ist ihre Kardinalität. Die Ordnung eines $g \in G$ ist die Ordnung der von $g$ erzeugten Untergruppe. Hat $\langle g \rangle$ endliche Ordnung so $\exists k \in \N : g^k = e_G$. \subsubsection*{Satz von Lagrange} Sei $G$ endliche Gruppe und $H \leq G$. Dann ist die Ordnung von $H$ ein Teiler der Ordnung von $G$. \subsubsection*{Index} Sei $g_1 \sim g_2 := g_1 g_2^{-1} \in H$ Äquivalenzrel. auf $G$. Die Äquivalenzklasse von $g \in G$ ist definiert als: $[g] = Hg := \{ hg | h \in H\}$. Für Gruppen $H \leq G$ heißt die Anzahl der Äquivalenzklassen bzgl. $\sim$ Index von $H$ in $G$, geschrieben als $(G : H)$. Entsprechend gilt für endl. Grp.: $\#G = \#H \cdot (G : H)$. \subsubsection*{Primzahlordnung einer Gruppe} In jeder endlichen Gruppe ist Ordnung jedes Elements ein Teiler der Gruppenordnung. Daraus folgt, dass jede Gruppe mit Primzahlordnung eine zyklische Gruppe ist. $G = \langle g \rangle \iff g \neq e_G$ \subsection*{Normalteiler} Eine $N \leq G$ ist Normalteiler, falls $\forall n \in N, g \in G : gng^{-1} \in N$ gilt. d.h. $N$ ist invariant unter allen inneren Automorphismen. Es gilt für Normalteiler $N$: $\forall g \in G : gN = Ng$ Ist $U \leq G$ ein Normalteiler, so schreibt man $U \triangleleft G$. Untergruppen abelscher Gruppen sind normal. \subsection*{Einfachheit} Die nichttriviale Gruppe $G$ heißt \emph{einfach}, wenn sie keine Normalteiler außer $G$ und $\{e_G\}$ besitzt. \subsection*{Übersicht Gruppeneigenschaften} Primzahlordnung $\implies$ zyklisch und einfach zyklisch $\implies$ abelsch einfach und abelsch $\implies$ Primzahlordnung \subsection*{Nebenklassen} Seien $U \leq G$ Gruppen. Dann sind $g, h \in G$ \emph{kongruent modulo $U$}, wenn $g^{-1}h \in U$. Diese Relation bildet Äquivalenzklassen $gU = \{gu | u \in U\}$. Diese Äquivalenzklassen heißen \emph{Linksnebenklassen} nach $U$, die Menge aller Nebenklassen heißt \emph{Faktorraum} $G/U$. $\pi_U : G \rightarrow G/U, g \mapsto gU$ ist kanonische Projektion. \subsection*{Faktorgruppen} Sei $N \triangleleft G$. $(gN) \cdot (hN) := ghN$ definiert auf $G/N$ eine wohldefinierte Verknüpfung. $G/N$ ist mit dieser Verknüpfung die \emph{Faktorgruppe von $G$ modulo $N$}. Die kanonische Projektion $\pi_N$ ist Gruppenhomomorphismus mit Kern $N$. Jeder Normalteiler kann also als Kern eines Gruppenhomomorphismus realisiert werden. \section*{Gruppenhomomorphismen} Seien $(G,\star)$, $(H,\circ)$ Gruppen. $f : G \rightarrow H$ ist Gruppenhomomorphismus, wenn: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item $\forall x, y \in G : f(x \star y) = f(x) \circ f(y)$ \item $f(e_G) = e_H$ \item $\forall x \in G : f(x^{-1}) = f(x)^{-1}$ \end{enumerate} Ist $f : G \rightarrow H$ ein Magmenhomomorphismus gilt: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item $f$ ist Gruppenhomomorphismus \item $f^{-1}(\{e_H\}) \leq G$ \item $f(G) \leq H$ \item $f$ ist injektiv $\iff f^{-1}(\{e_H\}) = \{e_G\}$ \end{enumerate} \subsection*{Kern} Sei $f : G \rightarrow H$ Gruppenhomomorphismus. Dann heißt $f^{-1}(\{e_H\}) \leq G$ Kern von $f$. \subsection*{Konjugation} Sei $G$ Gruppe, $g \in G$ fest gewählt. $\kappa_g : G \rightarrow G, x \mapsto gxg^{-1}$ heißt \emph{Konjugation} und ist Gruppenautomorphismus. $x, y \in G$ heißen \emph{zueinander konjugiert}, wenn $\exists g \in G : y = gxg^{-1}$. \subsection*{Freie Gruppe} Sei $S$ eine Menge. $F$ ist eine \emph{freie Gruppe über $S$} mit Abbildung $f : S \rightarrow F$ wenn für beliebige Gruppen $G$, Abbildungen $\varphi : S \rightarrow G$ genau ein Gruppenhomomorphismus $\Phi : F \rightarrow G$ existiert, für den $\forall s \in S : \varphi(s) = \Phi(f(s))$ gilt. \section*{Gruppenoperationen} Sei $(G,*)$ Gruppe, $M$ Menge. $\circ : G \times M \rightarrow M$ ist Gruppenoperation, wenn: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item $\forall m \in M : e_G \circ m = m$ \item $\forall m \in M, g_1, g_2 \in G : g_1 \circ ( g_2 \circ m ) = ( g_1 * g_2 ) \circ m$ \end{enumerate} Es gilt: $\forall \Phi \in Hom(G,Sym(M)) : g \circ m := \Phi(g)(m)$ ist Operation von $G$ auf $M$. Für jede Operation $\circ$ von $G$ auf $M$ ex. ein $\Phi \in Hom(G,M)$ s.d. $\circ$ so konstruiert werden kann. \subsection*{Bahnen} Auf $M$ definiert $m_1 \sim m_2 := \exists g \in G : m_1 = g \circ m_2$ eine Äquivalenzrelation. Ihre Äquivalenzklassen werden \emph{Bahnen} oder \emph{Orbiten} genannt. d.h. $G \circ m = \{ g \circ m | g \in G \}$ ist Bahn. \subsubsection*{Transitivität} Operation mit genau einer Bahn heißt \emph{transitiv}. d.h. $\exists m_0 \in M \forall m \in M \exists g \in G : m = g \circ m_0$. \subsubsection*{Stabilisator} $Stab_G(m) := \{ g \in G | g \circ m = m \}$ ist Stab. von $m$ in $G$. \emph{Fixpunkt} von $G$ auf $M$ ist $m \in M$: $Stab_G(m) = G$. \subsubsection*{Bahnbilanzformel} Sei $G$ auf endlichem $M$ operierende Gruppe und $R \subseteq M$ ein Vertretersystem der Bahnen. Dann: $\#M = \sum_{r \in R} (G : Stab_G(r))$ \section*{Sylowsätze} Eine endliche Gruppe $G$ heißt \emph{$p$-Gruppe} wenn ihre Kardinalität eine Potenz von $p \in \Primes$ ist. Eine $U \leq G$ heißt \emph{$p$-Sylowgruppe} wenn ihre Kardinalität gleich der maximalen, die Ordnung von $G$ teilenden, $p$-Potenz ist. Der Satz von Lagrange liefert so die Maximalität einer $p$-Sylowgruppe unter den $p$-Untergruppen. \subsection*{Erster Sylowsatz} Sei $G$ endliche Gruppe, $p \in \Primes$. Dann $\exists U \leq G : U$ ist $p$-Sylowgruppe. \subsection*{Zweiter Sylowsatz} Sei $G$ endliche Gruppe, $p \in Primes$, $\#G = p^e \cdot f$: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item Jede $p$-Untergruppe von $G$ ist in einer $p$-Sylowgruppe von $G$ enthalten. \item Je zwei $p$-Sylowgruppen sind konjugiert. \item Die Anzahl der $p$-Sylowgruppen teilt $f$. \item Die Anzahl der $p$-Sylowgruppen lässt bei Division durch $p$ Rest $1$. \end{enumerate} \section*{Ringe} Ein \emph{Ring} ist Menge $R$ mit Verknüpfungen $+$ und $*$ s.d. $(R,+)$ abelsche Gruppe mit Neutralelement $0$ ist, $*$ assoziativ ist, neutrales Element $1$ besitzt und die Distributivgesetze gelten: $\forall a, b, c, d \in R : (a+b)*c = ac+bc \land a*(c+d) = ac + ad$ Ist $*$ kommutativ, heißt $R$ kommutativer Ring. \subsection*{Ringhomomorphismen} $\Phi : R \to S$ ist \emph{Ringhomomorphismus} zwischen Ringen $R$ und $S$, wenn es bzgl. $+$ und $*$ ein Magmenhomomorphismus ist und $\Phi(1_R) = 1_S$ gilt. \subsection*{Einheitengruppe} $R^\times := \{ r \in R : \exists r^{-1} \in R : r r^{-1} = r^{-1} r = 1_R \}$ $(R^\times, *)$ ist Einheitengruppe. \subsection*{Teilringe} Ein \emph{Teilring} von Ring $R$ ist $T \subseteq R$ s.d. $T$ bzgl. $+$ Untergruppe und bzgl. $*$ Untermonoid von $R$ ist. \subsection*{Nullteiler} $a \in R$ ist \emph{Nullteiler} in Ring $R$, wenn: $\exists b \in R, b \neq 0 : ab = 0 \lor ba = 0$ Ist $0$ einziger Nullteiler in $R$, so ist $R$ \emph{nullteilerfrei}. $R$ heißt \emph{Integritätsbereich}, wenn $R$ kommutativ und nullteilerfrei ist. Teilringe von Integritätsbereichen sind integer. \subsection*{Charakteristik} Sei $R$ Ring. Dann $\exists! \Phi \in Hom_{Ring}(\Z,R)$. Sei $n \in \N_0$ nichtnegativer Erzeuger des Kerns von $\Phi$. Dann heißt $n$ die Charakteristik $char(R)$ von $R$. Die Charakteristik eines nullteilerfreien Rings $R$ ist entweder $0$ oder Primzahl $p \in \Primes$. \subsection*{Ideale} Ein \emph{Ideal} in Ring $R$ ist $I \subseteq R$ s.d. $(I,+) \leq R$ und $\forall x \in I, r \in R : xr \in I \land rx \in I$. Kerne von Ringhomomorphismen sind ideal und Ideale sind Kerne von Ringhomomorphismen. \subsection*{Körper} Ring $R$ heißt Körper, wenn $R$ kommutativ ist und $0 \neq 1$ sowie $R^\times = R \setminus \{0\}$ gelten. Ein Körper ist insb. ein Integritätsbereich. \subsection*{Chinesischer Restsatz} Seien $M, N \in \N$ teilerfremd, dann gibt es einen Isomorphismus von Ringen: $\Z/(MN\Z) \to \Z/M\Z \times \Z/N\Z$ \subsubsection*{Algebraischer Chinesischer Restsatz} Seien $R$ kommutativer Ring, $I, J$ Ideale in $R$ s.d. $I + J = R$. Dann existiert ein Isomorphismus: $\Phi : R/(I \cap J) \to R/I \times R/J$ \section*{Moduln} Sei $R$ Ring. Ein $R$-Modul ist eine abelsche Gruppe $M$ mit Abbildung $\cdot : R \times M \to M$ s.d.: \vspace*{-4mm} \begin{alignat*}{3} &\forall r, s \in R, m \in M &&: (r+s)\cdot m &&= r\cdot m + s\cdot m \\ &\forall r \in R, m, n \in M &&: r \cdot (m+n) &&= r\cdot m + r\cdot n \\ &\forall r, s \in R, m \in M &&: (rs)\cdot m &&= r\cdot(s\cdot m) \\ &\forall m \in M &&: 1\cdot m &&= m \end{alignat*} Diese Bedingungen sind von VRäumen bekannt. \subsection*{Untermoduln} Sei $M$ ein $R$-Modul und $U \subseteq M$. Dann ist $U$ \emph{Untermodul} von $M$, wenn $U$ additive Untergruppe ist und unter der skalaren Multiplikation $\cdot$ mit Elementen aus $R$ invariant ist: $U \leq M \land \forall r \in R, u \in U : r \cdot u \in U$ \section*{Polynomringe} Für kommutativen Ring $R$ ist definiert: $R[X] := \left\{ \displaystyle\sum_{i=0}^d r_i X^i \middle| d \in \N_0, r_i \in R \right\}$ $(R[X], +, *)$ ist kommutativer Ring. Für $f, g \in R[X]$ gilt: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item $deg(f+g) \leq \max(deg(f),deg(g))$ \item $deg(f*g) \leq deg(f) + deg(g)$ \item Für nullteilerfreie $R$ gilt in (b) Gleichheit \end{enumerate} Ist $R$ nullteilerfrei so ist auch $R[X]$ nullteilerfrei und es gilt $(R[X])^\times = R^\times$. \subsection*{Polynomdivison} Sei $R$ kommutativer Ring, $f, g \in R[X]$ und $g \neq 0$ mit Einheit als Leitkoeffizient. Dann $\exists h, r \in R[X] : f = gh+r$ mit $deg(r) < deg(g)$. \section*{Algebren} \newcommand{\A}{\mathcal{A}} Eine $R$-Algebra über Ring $R$ ist Ring $\A$ mit Ringhomomorphismus $\sigma : R \to \A$ s.d. $\forall r \in R, a \in \A : \sigma(r) \cdot a = a \cdot \sigma(r)$ gilt. d.h. $\sigma(r)$ kommutiert mit $a$. $\sigma$ ist \emph{Strukturhomomorphismus} von $\A$. $\A$ ist ein $R$-Modul mit Vorschrift $(r,a) \mapsto \sigma(r) \cdot a$. Die Multiplikation in $\A$ ist bilinear. Insb. gilt $\forall r, s \in R : \sigma(r)\sigma(s) = \sigma(s)\sigma(r)$ \subsection*{Zentrum} Für Ring $A$ ist das \emph{Zentrum} definiert als: $Z(A) := \{ r \in A | \forall a \in A : ra=ar \}$ $Z(A)$ ist Teilring von $A$ und zugleich größter Teilring $R$ s.d. $A$ durch die Inklusion von $R$ nach $A$ zu einer $R$-Algebra wird. \vspace*{2mm} Für bel. kommutative Ringe $R$ ist $R[X]$ eine $R$-Algebra vermöge $\sigma : R \to R[X], r \mapsto r = rX^0$. \subsection*{Algebrenhomomorphismen} Seien $(A, \sigma), (B, \tau)$ $R$-Algebren. Ein Ringhomomorphismus $\Phi : A \to B$ ist zugleich Algebrenhomomorphismus, wenn $\Phi \circ \sigma = \tau$ gilt. \section*{Quotientenkörper} Sei $R$ Integritätsbereich. Dann ex. Körper $Q$ mit Teilring $R$ und Eigenschaften: Ist $K$ bel. Körper und $\phi : R \to K$ injektiver Ringhomomorphismus, dann lässt sich $\phi$ zu einem Ringhomomorphismus $\tilde\phi : Q \to K$ fortsetzen. Der Körper $Q$ heißt \emph{Quotientenkörper} von $R$. \vspace*{2mm} Der Quotientenkörper von $\Z$ ist $\Q$. Der Quotientenkörper von $K[X]$ ist Körper rationaler Funktionen $K(X) := \{ \frac{f}{g} | f, g \in K[X], g \neq 0 \}$. \section*{Quadratische Reste} Sei $F$ endlicher Körper mit $q$ Elementen und Charakteristik $p > 2$. Ein $a \in F^\times$ ist \emph{Quadrat} in $F$, wenn $\exists b \in F : b^2 = a$. Das Bild von $F^\times \to F^\times, b \mapsto b^2$ ist Quadratmenge. \subsection*{Legendre-Symbole} \newcommand{\legendre}[2]{\left(\frac{#1}{#2}\right)} Sei $p \geq 3$ Primzahl. Für $a \in \Z$ ist def.: \vspace*{-2mm} \[ \legendre{a}{p} = \begin{cases} 0 & p | a \\ 1 & \exists x \in \Z \setminus p\Z : a \equiv x^2 \ (mod \ p) \\ -1 & \text{sonst} \end{cases} \] $\legendre{a}{p}$ ist das \emph{Legendre-Symbol} von $a$ modulo $p$. \pagebreak \subsubsection*{Berechnen von Legendre-Symbolen} Sei $a \in \Z, m, n \in \Z : a=mn, p \in \Primes$: \vspace*{-2mm} \[ \begin{array}{ll} \legendre{a}{p} = \legendre{a-p}{p} & \legendre{m \cdot n}{p} = \legendre{m}{p}\legendre{n}{p} \\ \legendre{2}{p} = (-1)^{\frac{p^2-1}{8}} & \legendre{-1}{p} = (-1)^{\frac{p-1}{2}} \end{array} \] Sei $l, p \in \Primes$ mit $l, p \neq 2$: \vspace*{-4mm} \begin{align*} \legendre{p}{l}\legendre{l}{p} &= (-1)^{\frac{l-1}{2}\cdot\frac{p-1}{2}} \\ \legendre{p}{l} &= (-1)^{\frac{l-1}{2}\cdot\frac{p-1}{2}} \legendre{l}{p} \end{align*} \section*{Teilbarkeit in Ringen} Sei $R$ kommutativer Ring. $a \in R$ ist Teiler von $b \in R$, falls $\exists c \in R : b = c \cdot a$. Kurz $a | b$ bzw. $a |_R b$. In $R$ ist Faktor $c$ i.A. nicht eindeutig. Ist $R$ nullteilerfrei und $a \neq 0$, so ist $c$ eindeutig. \subsection*{Assoziiertheit} $a, b \in R$ sind \emph{assoziiert}, wenn $\exists e \in R^\times : b = a\cdot e$. $a, b \in \Z$ sind also assoziiert, wenn sie bis auf ihr Vorzeichen übereinstimmen. Assoziiertheit ist eine Äquivalenzrelation auf $R$. Die Äquivalenzklasse von $a \in R$ ist $a \cdot R^\times$. \subsubsection*{Ordnungsrelation} Sei $R$ kommutativ und nullteilerfrei. Dann ist $aR^\times \preccurlyeq bR^\times \iff a | b$ eine Ordnungsrelation auf der Menge der Assoziiertenklassen. \subsubsection*{$ggT$ in Ringen} $g \in R$ ist \emph{größter gemeinsamer Teiler} von $a, b \in R$, wenn $g$ gemeinsamer Teiler ist und alle gemeinsamen Teiler von $a, b$ auch $g$ teilen. $a, b \in R$ sind \emph{teilerfremd}, wenn die Einheiten in $R$ die einzigen gemeinsamen Teiler sind. \spacing $ggT(a,e)$ für $a \in R, e \in R^\times$ ist Assoziiertenklasse von $1$, also $R^\times$. $ggT(a,0) = a\cdot R^\times$ da alles $0$ teilt. Ist $d$ ein gemeinsamer Teiler von $a, b$, dann gilt auch $d |(ax+by)$ für $x,y \in R$. \section*{Hauptidealringe} $\{ax+by | x,y \in R\}$ ist Ideal in $R$. $I \subseteq R$ ist \emph{Hauptideal}, wenn $\exists g \in I : I = Rg$. Menge aller Vielfachen von $g$ in $R$ ist $(g) := Rg$. \spacing Ein nullteilerfreier kommutativer Ring $R$, in dem jedes Ideal Hauptideal ist, heißt \emph{Hauptidealring}. \subsubsection*{Assoziiertenklassen und Ideale} Sei $R$ ein solcher Hauptidealring. Dann: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item $g, h \in R$ sind Erzeuger des selben Hauptideals $Rg = Rh \iff g$ und $h$ assoziiert sind. \item $\forall \emptyset \neq S \subseteq R \exists m \in S : m$ ist bzgl. Teilbarkeit minimal. \end{enumerate} \subsection*{Chinesischer Restsatz für Hauptidealringe} Seien $R$ Hauptidealring, $r, s \in R$ teilerfremd (d.h. $1=rx+sy$ für geeignete $x, y \in R$). Dann gilt für Ideale $I = Rr, J = Rs$ der Chinesische Restsatz s.d.: \vspace*{-2mm} \[ R/(Rrs) \cong R/(Rr) \times R/(Rs) \] $\forall a, b \in R \exists x \in R : x \equiv a \ (mod \ Rr) \land x \equiv b \ (mod \ Rs)$ \subsection*{Arithmetik in Hauptidealringen} Sei $R$ kommutativer Ring. $m \in R$ ist \emph{irreduzibel}, wenn $m \notin R^\times$ und $\forall a, b \in R: m = ab \implies a \in R^\times \lor b \in R^\times$. $p \in R$ ist \emph{Primelement}, wenn $p \notin R^\times$ und $\forall a, b \in R: p | ab \implies p | a \lor p | b$. \spacing Die Irreduzibilität eines $m \in R$ heißt, dass die Assoziiertenklasse $mR^\times$ in $R$ unter Klassen $\neq R^\times$ bzgl. der Teilbarkeitsordnungsrelation minimal ist. Jeder Teiler von $m$ ist entweder Enheit oder zu $m$ assoziiert. \spacing Sei $R$ nullteilerfreier kommutativer Ring: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item Primelement $\neq 0$ in $R$ ist irreduzibel. \item $R$ ist Hauptidealring \\ $\implies $ irreduzibles $R$-Element ist auch prim. \end{enumerate} \subsubsection*{Primzerlegung in Hauptidealringen} Sei $R$ Hauptidealring, $\Primes_R$ Vertretersystem der Assoziiertenklassen von Primelementen $\neq 0$. Dann: \vspace*{1mm} $\forall r \in R \setminus \{0\} : r$ ist assoziiert zu Produkt endlich vieler Elemente in $\Primes_R$. (vgl. Fundamentalsatz) Sind $s, t \in \N_0, p_1,\dots,p_s,q_1,\dots,q_t \in \Primes_R$ s.d. Einheiten $\delta, \epsilon \in R^\times$ ex. mit $r = \delta \cdot p_1 \cdot \dots \cdot p_s = \epsilon \cdot q_1 \cdot \dots \cdot q_t$, so gilt $\epsilon = \delta$, $s = t$ und es gilt bis auf Vertauschung der Faktorreihenfolge $\forall 1 \leq i \leq s : p_i = q_i$. \subsubsection*{Summen zweier Quadrate} Ein $n \in \N$ ist als Summe zweier Quadrate von Zahlen $\in \Z$ schreibbar $\iff$ Der quadratfreie Anteil von $n$ hat keinen Primteiler, der bei Division durch $4$ Rest $3$ lässt. \spacing $n \in \N$ ist Summe zweier Quadrate gdw. sie die komplexe Norm von einem $a + bi \in \Z[i] \setminus \{0\}$ ist. \subsection*{Restklassenkörper} Sei $R$ Hauptidealring aber kein Körper. Der Restklassenring $R/Rg$ ist ein Köper gdw. $g$ irreduzibel ist, da $\forall a \notin Rg : a$ modulo $g$ ist invertierbar. \vspace*{1mm} Für $p \in \Primes$ ist $\mathbb{F}_p = \Z/p\Z$ Körper mit $p$ Elementen. \vspace*{1mm} Ist $p$ ungerade und $a \in \mathbb{F}_p^\times$ kein Quadrat, dann ist $X^2 - a \in \mathbb{F}_p[X]$ irreduzibel. $\mathbb{F}_p[X]/(X^2-a)$ ist Körper mit $p^2$ Elementen. \subsection*{Maximale Ideale} Ein Ideal $I \subset R$ ist \emph{maximales Ideal}, wenn $I \neq R$ und zwischen $I$ und $R$ kein weiteres Ideal liegt. $I \subset R$ ist maximal gdw. $R/I$ ein Körper ist. Weiter $\forall a \in R \setminus I : (a + I) = R/I$ und ein zu $a + I$ inverses Element existiert. \subsection*{Primideale} Ein Ideal $I \subset R$ ist \emph{Primideal}, wenn: $\forall x, y \in R : xy \in I \implies x \in I \lor y \in I$. \vspace*{1mm} Ein Ideal $I$ ist Primideal gdw. $R/I$ integer ist, da dann jedes maximale Ideal auch ein Primideal ist. \vspace*{1mm} In Hauptidealringen ist jedes Primideal ungleich $(0)$ bereits maximal. \section*{Körpererweiterungen} Sei $K$ Körper und $L$ Körper, der $K$ umfasst. $K \subseteq L$ ist dann eine \emph{Körpererweiterung}. \subsection*{Algebraizität und Transzendenz} Element $\alpha \in L$ heißt \emph{algebraisch} über $K$, wenn ein Polynom $f \in K[X]$ existiert s.d.: $f \not\equiv 0 \land f(\alpha) = 0$. \vspace*{1mm} Element $\alpha \in L$ heißt \emph{transzendent} über $K$, wenn es nicht algebraisch über $K$ ist. \vspace*{1mm} Körper $L$ ist algebraisch über $K$, wenn alle Elemente von $L$ über $K$ algebraisch sind. \vspace*{1mm} Sei $\alpha \in L$ algebraisch über $K$. Das Ideal $I(\alpha) := \{f \in K[X] | f(\alpha) = 0\}$ heißt \emph{Verschwindungsideal} und ist nicht das Nullideal im Polynomring. Normierter Erzeuger von $I(\alpha)$ ist das \emph{Minimalpolynom} von $\alpha$. \subsection*{Adjunktion} Der kleinste Teilkörper von $L$ welcher $K$ und geg. $\alpha \in L$ enthält, heißt $K(\alpha)$ d.h. \emph{$K$ adjungiert alpha}. Für jede Teilmenge $A \subseteq L$ existiert ein kleinster Teilkörper welcher $K$ und $A$ enthält. \subsection*{Algebraische Erweiterung} Sei $K \subseteq L$ Körpererweiterung. Dann gelten: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item $\alpha \in L$ ist algebraisch $\iff$ Dimension von $K(\alpha)$ als $K$-Vektorraum ist endlich. \item Menge aller über $K$ algebraischen $\alpha \in L$ ist Teilkörper von $L$. \item $K \subseteq L$ und $L \subseteq M$ sind algebraische Körpererweiterungen $\implies K \subseteq M$ ist algebraische Körpererweiterung. \end{enumerate} \subsection*{Grad der Körpererweiterung} Sei $K \subseteq L$ Körpererweiterung. Die Dimension von $L$ als $K$-Vektorraum heißt \emph{Grad von $L$ über $K$}. Geschrieben $[L : K]$. $\alpha \in L$ ist algebraisch $\iff [K(\alpha) : K] < \infty$. \vspace*{1mm} Sind $K \subseteq L \subseteq M$ endliche Körpererweiterungen so gilt: $[M : K] = [M : L] \cdot [L : K]$. \subsection*{Algebraischer Abschluss} Ein Körper $K$ ist \emph{algebraisch abgeschlossen}, wenn er keinen echten algebraischen Erweiterungskörper besitzt. Äquivalent zerfallen alle normierten Polynome in $K[X]$ bereits in Linearfaktoren. \subsection*{Eisensteinkriterium} Sei $R$ kommutativer nullteilerfreier Ring, $P \subseteq R$ Primideal, $f = \sum_{i=0}^d r_i X^i \in R[X]$ nichtkonstantes Polynom mit $\forall i \in \{0,\cdots,d-1\} : r_i \in P$ und $r_d \notin P$ sowie $r_0$ sei kein Produkt zweier Elemente aus $P$. \vspace*{1mm} Dann ist $f$ kein Produkt zweier Faktoren in $R[X]$, die kleineren Grad als $f$ haben. \vspace*{1mm} Insb. für $R = \Z$: $X^n - p$ mit $p \in \Primes$ sind irreduzibel. \subsection*{Inhalt} Sei $R$ Hauptidealring. Der \emph{Inhalt} $\text{Inh}(f)$ von $f \in R[X]$ mit $f \not\equiv 0$ ist definiert als der Inhalt der Koeffizienten von $f$, d.h. der Erzeuger des von diesen erzeugten Ideals. \vspace*{1mm} Ein normiertes Polynom in $R[X]$ hat Inhalt $1$. \subsubsection*{Lemma von Gauß} Sei $R$ Hauptidealring mit Quotientenkörper $K$ und $f, g \in K[X]$. Dann: $\text{Inh}(fg) = \text{Inh}(f)\cdot\text{Inh}(g)$ \subsection*{Irreduzibilitätskriterium} Sei $R$ Hauptidealring mit Quotientenkörper $K$ und $f \in R[X]$ nichtkonstant sowie in $R[X]$ kein Produkt von Faktoren kleineren Grades. Dann ist $f$ in $K[X]$ irreduzibel.