\newcommand{\C}{\mathbb{C}}

\section*{Komplexe Zahlen}

$\C = \{ z = x+iy | x,y \in \R \}$

$\C$ wird via $z = x + iy \mapsto (x,y)$ mit $\R^2$ identifiziert.

\vspace*{-4mm}
$$z \cdot w = \begin{pmatrix} x & -y \\ y & x\end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r & 0 \\ 0 & r\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{x}{r} & -\frac{y}{r} \\ \frac{y}{r} & \frac{x}{r}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v\end{pmatrix}$$

wobei $r := \sqrt{x^2 + y^2}$. Es gilt für die orthogonale Matrix $D = \begin{pmatrix} \frac{x}{r} & -\frac{y}{r} \\ \frac{y}{r} & \frac{x}{r}\end{pmatrix}$: $\det D = 1$ d.h. die komplexe Multiplikation ist eine Drehstreckung.

Die Normen von $(\C,|\cdot|)$ und $(\R^2,|\cdot|_2)$ stimmen überein, ebenso Konvergenz-, Stetigkeits- und Offenheitseigenschaften:

$\lim_{n \to \infty} z_n = z$ in $\C \iff \lim_{n \to \infty} Re \ z_n = Re \ z \land \lim_{n \to \infty} Im \ z_n = Im \ z$.

\subsection*{Polardarstellung}

Für $z = x +iy \in \C \setminus \{0\}$ gilt $z = re^{i\phi}$ mit $r = |z|$ und:

\vspace*{-2mm}
$$\phi = \arg z := \begin{cases}
	\arccos \frac{x}{r} & y > 0 \\
	0 & x \in (0,+\infty) \\
	-\arccos \frac{x}{r} & y < 0 \\
	\pi & z \in (-\infty,0)
\end{cases}$$

mit $\phi \in (-\pi, \pi]$. Es gilt für $z = re^{i\phi}, w = se^{i\psi}$:

$z \cdot w = rse^{i(\phi+\psi)} = |z||w|e^{i(\phi+\psi)}$.

\section*{Holomorphie}

Eine Funktion $f : D \to \C$ ist \emph{komplex differenzierbar} in $z_0 \in D$, wenn:

$f'(z_0) := \displaystyle\lim_{z \to z_0, z \in D\setminus\{z_0\}} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \in \C$ existiert.

Ist $f$ in $\forall z_0 \in D$ komplex differenzierbar, so heißt $f$ \emph{holomorph} auf $D$ mit Ableitung $f' : D \to \C$.

Geschrieben $f \in H(D)$.

\subsection*{Komplexe Ableitung}

$\C \to \C, z \mapsto 1$ und $\C \to \C, z \mapsto z$ sind holomorph.

Seien $f, g : D \to \C$ komplex differenzierbar in $z_0 \in \C$, $f(z_0) \in D' \subseteq \C$ offen, $h : D' \to \C$ in $f(z_0)$ komplex differenzierbar, $\alpha, \beta \in \C$:

\vspace*{-4mm}
\begin{align*}
	(\alpha f + \beta g)'(z_0) &= \alpha f'(z_0) + \beta g'(z_0) \\
	(fg)'(z_0) &= f'(z_0)g(z_0) + f(z_0)g'(z_0) \\
	\left(\frac{1}{f}\right)'(z_0) &= -\frac{f'(z_0)}{f(z_0)^2} \\
	(h \circ f)'(z_0) &= h'(f(z_0))f'(z_0)
\end{align*}

Polynome $p$ und nichtsinguläre rationale Funktionen aus Polynomen sind auf $\C$ holomorph.

\subsubsection*{Konvergenzradius}

Seien $a_k \in \C, k \in \N_0$:

\vspace*{-2mm}
$$\rho = \frac{1}{\overline\lim_{k\to\infty} \sqrt[k]{|a_k|}} \in [0,+\infty]$$

ist der \emph{Konvergenzradius}.

Sei $\rho > 0, c \in \C$. Dann ex. die Potenzreihe:

$f : B(c,\rho) \to \C, z \mapsto \sum_{k=0}^\infty a_k(z-c)^k$.

Diese ist auf $B(c,\rho)$ beliebig oft komplex differenzierbar. Für $n \in \N_0$ hat $f^{(n)}$ den Konvergenzradius $\rho > 0$ und es gilt für $z \in B(c,\rho)$:

\vspace*{-4mm}
$$f^{(n)}(z) = \sum_{k=n}^\infty k(k-1)\cdots(k-n+1)a_k(z-c)^{k-n}$$

Auf diese Weise ergeben sich für $z \in \C$:

\vspace*{-4mm}
\begin{align*}
	\exp(z) &= e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} \\
	\sin(z) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{2n+1} \\
	\cos(z) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n}
\end{align*}

Übliche Ableitungs- und Rechenregeln gelten.

\subsection*{Charakterisierung}

Sei $f : D \to \C, D \subseteq \R^2, u = Re \ f, v = Im \ f : D \to \R$.

$f : D \to \R^2, (x,y) \mapsto u(x,y) + iv(x,y) = \begin{pmatrix} u(x,y) \\ v(x,y)\end{pmatrix}$

Es sind dann äquivalent:

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item $f$ ist in $z$ komplex differenzierbar
	\item $f$ ist in $z$ reell differenzierbar und es gelten die \emph{Cauchy-Riemannschen DGL}: \\
		$$\frac{\partial u}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial v}{\partial y}(x,y), \frac{\partial u}{\partial y}(x,y) = -\frac{\partial v}{\partial x}(x,y)$$
\end{enumerate}

$f$ hat in $(x,y) \in D \subseteq \R^2$ die \emph{Jacobimatrix}:

$$f'(z) = \begin{pmatrix}
	\frac{\partial u}{\partial x}(x,y) & \frac{\partial u}{\partial y}(x,y) \\
	-\frac{\partial u}{\partial y}(x,y) & \frac{\partial u}{\partial x}(x,y)
\end{pmatrix}$$

Entsprechend ist $f(z)=\overline z$ nirgends komplex differenzierbar, $f(z)=|z|^2$ nur in $0$ komplex differenzierbar und $f(z) = \frac{1}{z}$ holomorph in $\C \setminus \{0\}$.

\subsection*{Biholomorphie}

Sind $U, V \subseteq \C$ offen und nichtleer, $f : U \to V$ bij., $f$ und $f^{-1}$ holomorph. Dann heißt $f$ \emph{biholomorph}, $U$ und $V$ \emph{konform äquivalent}.

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\columnbreak

Sei $f : U \to V$ biholomorph, $z \in U$.

Dann ist $f'(z) \neq 0$ und für $w = f(z)$ gilt:

\vspace*{-2mm}
$$(f^{-1})'(w) = \frac{1}{f'(f^{-1}(w))} = \frac{1}{f'(z)}$$

Weiterhin existieren offene nichtleere $U \subseteq D$ mit $u_0 \in U, V \subseteq \C$ s.d. $\restrictedto{f}{U}$ biholomorph ist, wenn $f \in H(d) \cap C^1(D,\R^2)$, $z_0 \in D$ mit $f'(z_0) \neq 0$ gilt.

\section*{Möbiustransformationen}

Sei $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix} \in \C^{2 \times 2}$ mit $\det A = ad - bc \neq 0$.

Setze $m_A : D_A \to \C, z \mapsto \frac{az+b}{cz+d}$

Mit $D_A = \begin{cases} \C \setminus \{-\frac{d}{c}\} & c \neq 0 \\ \C & c = 0\end{cases}$

\subsection*{Eigenschaften}

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item $m_A$ ist holomorph
	\item $\forall \alpha \in \C \setminus \{0\} : m_{\alpha A} = m_A$
	\item $B \in \C^{2 \times 2}$ mit $\det B \neq 0 \implies m_A \circ m_{B} = m_{AB}$
	\item $m_A(D_A) = D_{A^{-1}}, m_A^{-1} = m_{A^{-1}}$
	\item $m_A : D_A \to D_{A^{-1}}$ ist biholomorph
\end{enumerate}

Alle Möbiustransformationen sind Produkt $m_A = S_1 J S_2$ von affinen Abbildungen $S_j$ und der Inversion $Jz = \frac{1}{z}$. Affine Abbildungen sind Komposition von Translation $Tz=z+\frac{b}{d}$ und Drehstreckung $Dz = \frac{a}{c} z$. $S_j, J, T$ und $D$ sind selbst Möbiustransformationen.
