\section*{Komplexe Zahlen} \[\C = \{ z = x+iy | x,y \in \R \}\] Die Normen von \((\C,|\cdot|)\) und \((\R^2,|\cdot|_2)\) stimmen überein, ebenso Konvergenz-, Stetigkeits- und \ Offenheitseigenschaften: \begin{align*} \lim_{n \to \infty} z_n = z \text{ in } \C \iff \lim_{n \to \infty} Re \ z_n &= Re \ z \\ \phantom{\lim_{n \to \infty} z_n = z \text{ in } \C \iff} \land \lim_{n \to \infty} Im \ z_n &= Im \ z \end{align*} \subsection*{Polardarstellung} Für \(z = x +iy \in \C \setminus \{0\}\) gilt \(z = re^{i\phi}\) mit \(r = |z|\) und: \[ \phi = \arg z := \begin{cases} \arccos \frac{x}{r} & y > 0 \\ 0 & x \in (0,+\infty) \\ -\arccos \frac{x}{r} & y < 0 \\ \pi & z \in (-\infty,0) \end{cases} \] mit \(\phi \in (-\pi, \pi]\). Es gilt für \(z = re^{i\phi}, w = se^{i\psi}\): \[z \cdot w = rse^{i(\phi+\psi)} = |z||w|e^{i(\phi+\psi)}\] \section*{Holomorphie} Eine Funktion \(f : D \to \C\) ist \emph{komplex differenzierbar} in \(z_0 \in D\), wenn: \[ f'(z_0) := \displaystyle\lim_{z \to z_0, z \in D\setminus\{z_0\}} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \in \C \text{ existiert.} \] Ist \(f\) in \(\forall z_0 \in D\) komplex differenzierbar, so heißt \(f\) \emph{holomorph} auf \(D\) mit Ableitung \(f' : D \to \C\). Geschrieben \(f \in H(D)\). \subsection*{Komplexe Ableitung} \(\C \to \C, z \mapsto 1\) und \(\C \to \C, z \mapsto z\) sind holomorph. Seien \(f, g : D \to \C\) komplex differenzierbar in \(z_0 \in \C\), \(f(z_0) \in D' \subseteq \C\) offen, \(h : D' \to \C\) in \(f(z_0)\) komplex differenzierbar, \(\alpha, \beta \in \C\): \begin{align*} (\alpha f + \beta g)'(z_0) &= \alpha f'(z_0) + \beta g'(z_0) \\ (fg)'(z_0) &= f'(z_0)g(z_0) + f(z_0)g'(z_0) \\ \left(\frac{1}{f}\right)'(z_0) &= -\frac{f'(z_0)}{f(z_0)^2} \\ (h \circ f)'(z_0) &= h'(f(z_0))f'(z_0) \end{align*} Polynome \(p\) und nichtsinguläre rationale Funktionen aus Polynomen sind auf \(\C\) holomorph. \subsubsection*{Konvergenzradius} Seien \(a_k \in \C, k \in \N_0\): \[ \rho = \frac{1}{\overline\lim_{k\to\infty} \sqrt[k]{|a_k|}} \in [0,+\infty] \] ist der \emph{Konvergenzradius}. Sei \(\rho > 0, c \in \C\). Dann ex. die Potenzreihe: \(f : B(c,\rho) \to \C, z \mapsto \sum_{k=0}^\infty a_k(z-c)^k\). Diese ist auf \(B(c,\rho)\) beliebig oft komplex differenzierbar. Für \(n \in \N_0\) hat \(f^{(n)}\) den Konvergenzradius \(\rho > 0\) und es gilt für \(z \in B(c,\rho)\): \[ f^{(n)}(z) = \sum_{k=n}^\infty k(k-1)\cdots(k-n+1)a_k(z-c)^{k-n} \] Auf diese Weise ergeben sich für \(z \in \C\): \begin{align*} \exp(z) &= e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} \\ \sin(z) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{2n+1} \\ \cos(z) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n} \end{align*} Übliche Ableitungs- und Rechenregeln gelten. \subsection*{Charakterisierung} Sei \(f : D \to \C, D \subseteq \R^2, u = Re \ f, v = Im \ f : D \to \R\). \(f : D \to \R^2, (x,y) \mapsto u(x,y) + iv(x,y) = \begin{pmatrix} u(x,y) \\ v(x,y)\end{pmatrix}\) Es sind dann äquivalent: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item \(f\) ist in \(z\) komplex differenzierbar \item \(f\) ist in \(z\) reell differenzierbar und es gelten die \emph{Cauchy-Riemannschen DGL}: \\ \[ \frac{\partial u}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial v}{\partial y}(x,y), \frac{\partial u}{\partial y}(x,y) = -\frac{\partial v}{\partial x}(x,y) \] \end{enumerate} \(f\) hat in \((x,y) \in D \subseteq \R^2\) die \emph{Jacobimatrix}: \[ f'(z) = \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x}(x,y) & \frac{\partial u}{\partial y}(x,y) \\ -\frac{\partial u}{\partial y}(x,y) & \frac{\partial u}{\partial x}(x,y) \end{pmatrix} \] Entsprechend ist \(f(z)=\overline z\) nirgends komplex differenzierbar, \(f(z)=|z|^2\) nur in \(0\) komplex differenzierbar und \(f(z) = \frac{1}{z}\) holomorph in \(\C \setminus \{0\}\). \subsection*{Biholomorphie} Sind \(U, V \subseteq \C\) offen und nichtleer, \(f : U \to V\) bij., \(f\) und \(f^{-1}\) holomorph. Dann heißt \(f\) \emph{biholomorph}, \(U\) und \(V\) \emph{konform äquivalent}. Sei \(f : U \to V\) biholomorph, \(z \in U\). Dann ist \(f'(z) \neq 0\) und für \(w = f(z)\) gilt: \[ (f^{-1})'(w) = \frac{1}{f'(f^{-1}(w))} = \frac{1}{f'(z)} \] Weiterhin existieren offene nichtleere \(U \subseteq D\) mit \(u_0 \in U, V \subseteq \C\) s.d. \(\restrictedto{f}{U}\) biholomorph ist, wenn \(f \in H(d) \cap C^1(D,\R^2)\), \(z_0 \in D\) mit \(f'(z_0) \neq 0\) gilt. \section*{Wurzeln und Exponentiale} Die \(k\)-te Wurzel aus \(w \in \C\) ist def. als: \[z_k := \sqrt[k]{|w|} \exp\left(\frac{i}{k}(\arg \ w + 2k\pi)\right)\] Sei \(z = x + iy, x, y \in \R, k \in \Z\). Dann: \begin{align*} \exp(z) &= e^x e^{iy} = e^x(\cos y + i \sin y) \\ \exp(z) &= \exp(z+2\pi ik) \\ \exp(z) &= 1 \iff z=2\pi i k \end{align*} \section*{Logarithmen und Potenzen} \(z \in \C\) ist \emph{Logarithmus} von \(w \in \C\) gdw.: \[\exists k \in \Z : z = \log |w| + i \arg \ w + 2k\pi i\] \emph{Hauptwert des Logarithmus} von \(w \in \C \setminus \{0\}\): \[\text{Log} \ w := \log |w| + i \arg w\] \subsection*{Allgemeine Potenz} Sei \(z = re^{i\phi} \in \Sigma_\pi\) mit \(r > 0\) und \(\phi \in (-\pi,\pi), w = x + iy \in \C\) für \(x, y \in \R\). \emph{Allgemeine Potenz} ist def.: \[z^w = \exp(w \log z) = r^x e^{-y\phi} e^{i(x\phi + y \ln r)}\] z.B. \(e^w = \exp(w)\) und \(i^i = e^{-\pi/2}\). \spacing Es gilt \(z^{v+w} = z^v z^w\). Ableitungen \(\frac{\partial}{\partial z} z^w = wz^{w-1}\) und \(\frac{\partial}{\partial w} z^w = \log(w)z^w\) existieren. \section*{Komplexe Kurvenintegrale} Fkt \(f : [a,b] \to \C\) ist \emph{stückweise stetig}, wenn \(\forall t \in [a,b]\) beideitige Grenzwerte in \(\C\) ex. und max. endlich viele Unstetigkeitspunkte \(t_k \in [a,b]\) ex. Geschrieben \(f \in PC([a,b],\C)\). Solche Funktionen sind integrierbar: \[ \int_a^b f(t) dt := \int_a^b \text{Re } f(t) dt + i \int_a^b \text{Im } f(t) dt \in \C \] \subsection*{Hauptsatz} \(f \in PC([a,b],\C)\) ist in \(t_0 \in [a,b]\) differenzierbar, wenn \(f'(t_0) := \lim_{t \to t_0} \frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0} \in \C\) existiert. \(\iff \text{Re } f, \text{Im } f\) besitzen Ableitungen in \(\R\). Ist \(f\) auf \([a,b]\) diffbar und \(g, f' \in C([a,b],\C)\). Dann gilt der Hauptsatz: \begin{align*} \int_a^b f'(t) dt &= f(b) - f(a) \\ \exists \frac{d}{dt} \int_a^t g(s) ds &= g(t) \text{ für } t \in [a,b] \end{align*} \subsection*{Kurven und Parametrisierungen} \(\gamma \in C([a,b],\C)\) ist \emph{Kurve} oder \emph{Weg} von \(\gamma(a)\) nach \(\gamma(b)\). \(\gamma\) ist \emph{geschlossen}, wenn \(\gamma(a)=\gamma(b)\) gilt und einfach, wenn \(\gamma\) auf \([a,b)\) injektiv ist. \(\Gamma = |\gamma| = \gamma([a,b])\) ist \emph{Bild} oder \emph{Spur} von \(\gamma\). Gilt \(\Gamma \subseteq M \subseteq \C\), so ist \(\gamma\) Weg in \(M\). \(\gamma\) ist auch \emph{Parametrisierung} ihres Bildes \(\Gamma\). \subsection*{Kurvenintegral} Sei \(\gamma \in PC^1([a,b],\C)\) mit Bild \(\Gamma = \gamma([a,b])\) und \(f \in C(\Gamma,\C)\). Dann ist das \emph{komplexe Kurvenintegral}: \[ \int_\gamma f dz = \int_\gamma f(z) dz := \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t) dt \] Die Länge von \(\gamma\) ist \(l(\gamma) = \int_a^b |\gamma'(t)| dt\). \subsubsection*{Eigenschaften} Seien \(\gamma, \gamma_1, \gamma_2 \in PC^1([a,b],\C)\) mit Bildern \(\Gamma, \Gamma_1, \Gamma_2\) und \(f, g \in C(\Gamma,\C), h \in C(\Gamma_1 \cup \Gamma_2, \C), \alpha, \beta \in \C\): \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item \(\int_\gamma (\alpha f + \beta g) dz = \alpha \int_\gamma f dz + \beta \int_\gamma g dz\) \item \(|\int_\gamma f dz| \leq \|f\|_\infty l(\gamma)\) \item \(\int_{\gamma_1 \cup \gamma_2} h dz = \int_{\gamma_1} h dz + \int_{\gamma_2} h dz\) \item \(\int_{\gamma^-} f dz = - \int_{\gamma} f dz\) \end{enumerate} Sei \(\gamma \in PC^1([a,b],\C)\) mit Bild \(\Gamma\), \(f_n, f \in C(\Gamma,\C)\) für \(n \in \N\) und \(h \in C(D\times\Gamma,\C)\). Dann gelten: \spacing \((f_n)\) konv. glm. auf \(\Gamma\) gegen \(f\) \vspace*{-2mm} \[ \implies \displaystyle\lim_{n\to\infty} \int_\gamma f_n dz = \int_\gamma f dz \] \(\sum_{n=1}^\infty f_n\) konv. glm. auf \(\Gamma\) \vspace*{-2mm} \[ \implies \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \int_\gamma f_n dz = \int_\gamma \displaystyle\sum_{n=1}^\infty f_n dz \] Abbildung \(H : z \mapsto \int_\Gamma h(z,w) dw \in C(D,\C)\) \(z \mapsto h(z,w) \in H(D)\) mit \(\frac{\partial}{\partial z} h \in C(D \times \Gamma, \C)\) \vspace*{-2mm} \[ \implies \frac{d}{dz} \int_\gamma h(z,w) dw = \int_\gamma \frac{\partial}{\partial z} h(z,w) dw \] d.h. \(H\) ist holomorph mit dieser Ableitung. \subsection*{Konstant auf Gebieten} Sei \(D \subset \C\) ein Gebiet, \(f \in H(D)\) und \(f'=0\) auf \(D\). Dann ist \(f\) konstant. \subsection*{Stammfunktionen} Sei \(f \in C(D,\C)\). Stammfunktion von \(f\) auf \(D\) ist \(F \in H(D)\) mit \(F'=f\). \(\exp, \sin, \cos\) und Polynome besitzen Stammftk. auf \(\C\). \(\log\) ist Stammfkt. von \(z \mapsto \frac{1}{z}\) auf \(\Sigma_\pi\). \section*{Der Cauchysche Integralsatz} Sei \(D\) Gebiet, \(f \in C(D,\C)\). Dann sind äquivalent: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item \(f\) hat Stammfunktion \(F\) auf \(D\) \item \(\forall \gamma_1, \gamma_2 \in PC^1([a,b],D)\) mit \(\gamma_1(a)=\gamma_2(a)\) und \(\gamma_1(b)=\gamma_2(b)\) gilt: \(\int_{\gamma_1} f dz = \int_{\gamma_2} f dz\). \item \(\forall \gamma \in C^1([a,b],D)\) mit \(\gamma(a)=\gamma(b)\): \(\int_\gamma f dz = 0\) \end{enumerate} Es ergibt sich für jeden stückweisen \(C^1\)-Weg in \(D\): \(\int_\gamma f dz = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a))\). \subsection*{Satz von Goursat} Seien \(w_0 \in D, f \in C(D,\C) \cap H(D \setminus \{w_0\})\) und \(\Delta \subseteq D\) ein abgeschlossenes Dreieck. Dann: \vspace*{-2mm} \[ \int_{\partial\Delta} f dz = 0 \] \subsection*{Cauchys Integralsatz} Seien \(D\) sternförmiges Gebiet, \(f \in H(D)\) und \(\gamma \in PC^1([a,b],D)\) geschlossen, dann gilt: \[ \int_\gamma f dz = 0 \] Dies gilt auch für \(f \in C(D,\C) \cap H(D\setminus \{\omega_0\})\). \subsubsection*{Cauchys Integralformeln} Seien \(f \in H(D), \overline B(z_0,r) \subseteq D, n \in \N_0, z \in B(z_0,r)\) und \(s := |z-z_0| < r\). Sei \(\partial B(z_0,r)\) durch \(\gamma(t) = z_0 + re^{it}\) mit \(t \in [0,2\pi]\) parametrisiert. Dann ist \(f\) bel. oft auf \(D\) diffbar und es gelten: \begin{align*} f^{(n)}(z) &= \frac{n!}{2\pi i} \int_{\partial B(z_0,r)} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} dw \\ |f^{(n)}(z)| &\leq \frac{n!r}{(r-s)^{n+1}} \max_{|w-z_0|=r} |f(w)| \end{align*} \subsection*{Analytische Funktionen} Eine Funktion \(f : D \to \C\) heißt \emph{analytisch}, wenn \(\forall z \in D \exists r(z) > 0\) mit \(B(z,r(z)) \subseteq D\) s.d. \(f\) auf \(B(z,r(z))\) gleich einer Potenzreihe um \(z\) ist. \vspace*{1mm} Eine Funktion \(f \in H(\C)\) heißt \emph{ganz}. \vspace*{1mm} Analytische Funktionen sind insb. holomorph. \subsubsection*{Entwicklungssatz} Sei \(f \in H(D)\). Dann ist \(f\) analytisch. \spacing Für \(\forall z_0 \in D\) sei \(R(z_0) := \sup\{r > 0 | B(z_0,r) \subseteq D \}\) der maximale Radius. Zusätzlich sei \(\overline r, r \in (0,R(z_0))\). Für \(z \in B(z_0, R(z_0)\) ist die Taylorreihe von \(f\): \begin{align*} f(z) &= \sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n \\ a_n &= \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial B(z_0,r)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}} dw \end{align*} Diese konvergiert gleichmäßig auf \(\overline B(z_0,\overline r)\). Für ganze \(f\) gilt \(R(z_0)=\infty\). \subsection*{Satz von Morera} Funktion \(f \in C(D,\C)\) erfülle \(\int_{\partial\Delta} f dz = 0\) für alle abg. \(\Delta \subseteq D\). Dann ist \(f\) holomorph. \subsection*{Satz von Liouville} Eine beschränkte ganze Funktion ist konstant. \subsection*{Fundamentalsatz der Algebra} Ein komplexes Polynom \(n\)-ten Grades hat \(n\) Nullstellen in \(\C\). (eventuell wiederholt) \subsection*{Weierstraßscher Konvergenzsatz} Seien \(f, f_n : D \to \C\) für \(n \in \N\). Konvergiert die \emph{Supremumsnorm} \(\sup_{z \in K} |f_n(z)-f(z)|\) auf bel. komp. \(K \subseteq D\) gegen \(0\) für \(n \to \infty\), so konvergiert \((f_n)\) kompakt auf \(D\) gegen \(f\). Weiterhin: \spacing \(f_n \in C(D,\C) \xrightarrow[n \to \infty]{\text{kompakt}} f \implies f \in C(D,\C)\). \spacing Eine Folge \((f_n) \in H(D)\) konvergiere kompakt gegen \(f\). Dann ist \(f\) holomorph und alle \(f_n^{(j)}\) konvergieren kompakt auf \(D\) gegen \(f^{(j)}\) für \(n \to \infty\). \subsection*{Identitätssatz} Sei \(D \subseteq \C\) Gebiet und \(f \in H(D)\). Dann sind äquiv.: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item \(f = 0\) auf \(D\) \item \(\exists z_0 \in D \forall n \in \N_0 : f^{(n)}(z_0) = 0\) \item \(\exists z_n, z_0 \in D \forall n \in N : f(z_n) = 0 \land z_n \neq z_0\) \\ Weiterhin gilt \(z_n \to z_0 \ (n \to \infty)\) \end{enumerate} Somit sind \(g, h \in H(D)\) schon auf \(D\) gleich, wenn \(g, h\) auf Menge \(M \subseteq D\) mit Häufungspunkt \(z_0 \in D\) übereinstimmen. \subsection*{Nullstellensatz} Sei \(f \in H(D) \neq\) Nullfkt. und \(\exists z_0 \in D : f(z_0) = 0\). Dann \(\exists m \in \N, r > 0\) mit \(B(z_0, r) \subseteq D\) und \(g \in H(B(z_0,r))\) mit \(g(z_0) \neq 0\) s.d. für \(z \in B(z_0,r)\) gilt: \begin{align*} 0 &= f(z_0) = f'(z_0) = \cdots = f^{(m-1)}(z_0), f^{(m)}(z_0) \neq 0 \\ f(z) &= (z-z_0)^m g(z) \end{align*} Dabei ist \(m\) die Ordnung der Nullstelle \(z_0\). \subsection*{Holomorphe Fortsetzung} Sei \(f \in H(D), U \subseteq \C\) Gebiet mit \(D \subseteq U\). Dann \(\exists! g \in H(U) : \restrictedto{g}{D} = f\). \spacing Die \emph{Gammafunktion} \(\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t} dt, Re \ z > 0\) hat genau eine holomorphe Fortsetzung auf der Menge \(\C \setminus \{ -n | n \in \N_0 \}\). \subsection*{Nullstelle in \(B(z_0,r)\)} Sei \(f \in H(D), B := B(z_0,r), r > 0, \overline B \subseteq D\). Weiter: \vspace*{-3mm} \[ 0 \leq |f(z_0)| < \min_{x \in \partial B} |f(x)| \] Dann hat \(f\) Nullstelle in \(B\). \subsection*{Offenheitssatz} \(f \in H(D)\) ist auf kleiner Kugel in \(D\) konstant \(\implies \forall \text{offene } U \subseteq D : f(U) \subseteq \C\) ist offen. \subsection*{Gebietstreue} \(D \subseteq \C\) ist Gebiet und \(f \in H(D)\) ist nicht konstant \(\implies f(D)\) ist ein Gebiet. \subsection*{Maximumsprinzip} Sei \(D\) Gebiet, \(f \in H(D)\) nicht konstant. Dann: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item Die Abbildung \(D \to \R, z \mapsto |f(z)|\) hat kein lokales Maximum \item \(D\) beschränkt, \(f \in C(\overline D,\C)\). Dann: \\ \(\max_{z \in \overline D} |f(z)| = \max_{z \in \partial D} |f(z)|\) \end{enumerate} \section*{Homologie} Seien \(\gamma_1,\dots,\gamma_m\) stckw. stg. Wege in \(\C)\). Die \emph{Kette} \(\Gamma := \gamma_1 \oplus \dots \oplus \gamma_m\) ist \(\forall f \in C(|\Gamma|)\) def. als: \[\int_\Gamma f dz := \sum_{j=1}^m \int_{\gamma_j} f dz\] Für Träger \(|\Gamma| = \Gamma(I) \subseteq D\) ist \(\Gamma\) Kette in \(D\). Sind alle \(\gamma_j\) geschlossen heißt \(\Gamma\) \emph{Zyklus}. Die \emph{Umlaufzahl} eines Zyklus \(\Gamma\) um \(\alpha \in \C \setminus |\Gamma|\) : \[n(\Gamma,\alpha) := \frac{1}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{1}{z-a} dz = \sum_{j=1}^m n(\gamma_j,\alpha)\] \(\Gamma\) ist \emph{nullhomolog} in \(D\) gdw. \(\forall \alpha \in \C \setminus D : n(\Gamma,\alpha) = 0\) \(\Gamma_1\) und \(\Gamma_2\) sind \emph{homolog} in \(D\) gdw. \(\forall \alpha \in \C \setminus D : n(\Gamma_1,\alpha) = n(\Gamma_2,\alpha)\) \(D\) ist \emph{einfach zusammenhängend} gdw. jeder Zyklus in \(D\) nullhomolog ist. \subsection*{Homologe Variante der Cauchyschen Sätze} Sei \(f \in H(D)\),, \(\Gamma\) nullhomologer Zyklus in \(D\) und \(\Gamma_1,\Gamma_2\) homologe Zyklen in \(D\). Dann gilt: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item \(\int_\Gamma f dz = 0\) \item \(\int_{\Gamma_1} f dz = \int_{\Gamma_2} f dz\) \item \(f(z) n(\Gamma,z) = \frac{1}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} dz\) für \(z \in D \setminus |\Gamma|\) \end{enumerate} \subsection*{Cauchy für einfach zshg. Gebiete} Sei \(D\) einfach zshg. und \(\Gamma\) Zyklus in \(D\). Dann: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item \(\int_\Gamma f dz = 0\) \item Für \(z \in D \setminus |\Gamma|, n \in \N_0 : \\ f^{(n)}(z) n(\Gamma,z) = \frac{n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} dw\) \end{enumerate} \section*{Homotopie} Sei \(N \subseteq M\) und \(M\) ein metrischer Raum, \(\gamma_0, \gamma_1 \in C([a,b],M)\) geschlossene Wege in \(N\). \vspace*{1mm} Die Wege \(\gamma_0, \gamma_1\) heißen \emph{homotop} über \(N\), wenn \(\exists h \in C([0,1] \times [a,b],M) \forall (s,t) \in [0,1] \times [a,b] : h(s,t) \in N \land h(0,t)=\gamma_0(t) \land h(1,t) = \gamma_1(t) \land h(s,a) = h(s,b)\). \vspace*{1mm} Ist \(\gamma_1\) konstant, so heißt \(\gamma_0\) \emph{nullhomotop} über \(N\). Man schreibt \(\gamma_0 \sim_N \gamma_1\) bzw. \(\gamma_0 \sim_N 0\). \vspace*{1mm} Sind alle geschlossenen stückweisen \(C^1\)-Wege in \(N\) nullhomotop, so heißt \(N\) \emph{einfach zusammenhängend}. \vspace*{1mm} Homotopie impliziert Homologie. \subsection*{Homotope Variante der Cauchyschen Sätze} Sei \(D\) Gebiet, \(f \in H(D), \gamma_0, \gamma_1\) auf \(D\) homotope stückweise \(C^1\)-Wege. Dann: \[ \int_{\gamma_0} f dz = \int_{\gamma_1} f dz \] Insb. gilt \(\int_{\gamma_0} f dz = 0\), wenn \(\gamma_0 \sim_D 0\). Cauchys Integralsatz gilt auf einfach zusammenhängenden Gebieten in \(D\). \spacing Sei \(\overline B(z_0,r) \subseteq D, r > 0, z \in B(z_0,r), k(t) = z_0 + re^{it}\) für \(t \in [0, 2\pi], n \in \N_0\) und \(\gamma\) zu \(k\) auf \(D \setminus \{z\}\) homotoper stückweiser \(C^1\)-Weg. Dann: \[ f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} dw \] \section*{Isolierte Singularitäten} Sei \(z_0 \in \C, f \in H(D \setminus \{z_0\}), D_0 := B(z_0,r) \setminus \{z_0\} \subseteq D\). Dann ist \(z_0\) \emph{isolierte Singularität} von \(f\). \(f\) ist: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item \emph{hebbar}, wenn \(\exists \tilde f \in H(B(z_0,r)) : \restrictedto{f}{D_0} = \restrictedto{\tilde f}{D_0}\) \item \emph{Pol}, wenn \(f(z) \to \infty \ (z \to z_0)\) \item \emph{wesentlich}, wenn \(z_0\) nicht hebbar / Pol ist \end{enumerate} \subsection*{Charakterisierung} Sei \(z_0 \in \C\) isolierte Singularität von \(f \in H(D)\). Dann sind äquivalent: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item \(z_0\) ist Pol von \(f\) \item \(\exists r, c_1, c_2 > 0, m \in \N : \tilde D := B(z_0,r) \setminus \{z_0\} \subseteq D \land \forall z \in \tilde D : c_1|z-z_0|^{-m} \leq |f(z)| \leq c_2|z-z_0|^{-m}\) \item \(\exists r > 0, m \in \N, g \in H(B(z_0,r)) :\) \\ \(\tilde D := B(z_0,r) \setminus \{z_0\} \subseteq D \land g(z_0) \neq 0 \land \forall z \in \tilde D : f(z) = (z-z_0)^{-m}g(z)\) \item \(\exists r > 0 : \tilde D := B(z_0,r) \setminus \{z_0\} \subseteq D \land \forall z \in \tilde D : f(z) \neq 0 \land h_0 := \frac{1}{f} : \tilde D \to \C\) besitzt Fortsetzung \(h \in H(B(z_0,r))\) wobei \(h\) in \(z_0\) Nullstelle \(m\)-ter Ordnung hat \end{enumerate} \subsubsection*{Riemannscher Hebbarkeitssatz} Die isolierte Singularität \(z_0 \in \C\) von \(f \in H(D)\) ist hebbar \(\iff \exists r_1 > 0 : B(z_0,r_1) \setminus \{z_0\} \subseteq D\) und \(f\) auf \(B(z_0,r_1) \setminus \{z_0\}\) beschränkt ist. \subsubsection*{Satz von Casorati-Weierstraß} \(z_0\) ist wesentlich \(\iff \forall r > 0 :\) Bild \(f(B(z_0,r) \setminus \{z_0\})\) liegt dicht in \(\C\) \subsection*{Biholomorphie aus Injektivität} Sei \(f \in H(D)\) injektiv. Dann ist \(f(D) \subseteq \C\) offen und \(f\) ist biholomorph. \subsection*{Laurentreihe} Sei \(a_n \in \C\) für \(n \in \Z\) und \(c \in \C\). \(\sum_{n \in \Z} a_n (z-c)^n\) mit \(z \in \C\) ist die \emph{Laurentreihe}. Diese konvergiert, falls Grenzwerte in \(\C\) ex.: \begin{align*} &\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-c)^n & \text{(regulärer Anteil)} \\ &\sum_{n=1}^{+\infty} a_{-n}(z-c)^{-n} & \text{(singulärer Anteil)} \end{align*} Ist dies der Fall, wird definiert: \[ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-c)^n := \sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-c)^n + \sum_{n=1}^{+\infty} a_{-n}(z-c)^{-n} \] \subsubsection*{Satz von Laurent} Seien \(f \in H(D), n \in \Z, z_0 \in \C\) und \(R > 0\) s.d. \(D_0 := B(z_0,R) \setminus \{z_0\} \subseteq D\). Für \(r \in (0,R)\) sei \(\gamma_r : [0,2\pi] \to \C, t \mapsto z_0 + re^{it}\) und: \[ a_n := \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}} dw \] Diese Koeff. sind eindeutig und unabhg. \(r \in (0,R)\). \spacing \(\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n\) konvergiert dann absolut und gleichmäßig auf Kompakta in \(D_0\) gegen \(f\). \subsubsection*{Singularitäten der Laurentreihe} Für Laurentreihen nach der obigen Def. gelten: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item \(z_0\) ist hebbar \(\iff \forall n < 0 : a_n = 0\) \item \(z_0\) ist Pol \(m\)-ter Ordnung \\ \(\iff a_{-m} \neq 0 \land \forall n < -m : a_n = 0\) \item \(z_0\) ist wesentlich \(\iff \exists n_j \to -\infty : a_{n_j} \neq 0\) \end{enumerate} \subsection*{Residuen} Sei \(z_0 \in \C\) isolierte Singularität von \(f \in H(D)\) und \(a_n\) Koeffizienten der Laurentreihe von \(f\) um \(z_0\). Das \emph{Residuum} von \(f\) bei \(z_0\) ist definiert als: \[ \text{Res}(f,z_0) := a_{-1} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial B(z_0,r)} f(w) dw \] Hierbei gelte \(\overline B(z_0,r) \setminus \{z_0\} \subseteq D\). \subsubsection*{Residuensatz} Seien \(f \in H(D)\) und \(z_1, \dots, z_n \in \C\) alle isolierten Singularitäten von \(f\). Sei \(p\) ein geschlossener, einfacher, positiv orientierter Polygonzug in \(D\) mit Bild \(P\) s.d. alle \(z_j\) im von \(P\) umschlossenen Gebiet \(G\) liegen und \(\overline G \setminus \{z_1,\dots,z_n\} \subseteq D\) ist. Weiterhin sei \(\gamma \in PC^1([a,b],D)\) zu \(p\) auf \(D\) homotop. Dann: \[ \int_\gamma f dz = 2\pi i \sum_{j=1}^n \text{Res}(f,z_j) n(|\gamma|,z_j) \] \subsubsection*{Residuen von Polen \(m\)-ter Ordnung} Sei \(z_0\) Pol \(m\)-ter Ordnung von \(f \in H(D)\) und \(g\) die holomorphe Fortsetzung von \((z-z_0)^m f(z)\) auf \(B(z_0,r) \subseteq D\). Dann gelte: \vspace*{-4mm} \begin{align*} \text{Res}(f,z_0) &= \frac{1}{(m-1)!} g^{(m-1)}(z_0) \\ &= \lim_{z \to z_0} \frac{1}{(m-1)!}\left(\frac{d}{dz}\right)^{m-1} ((z-z_0)^m f(z)) \end{align*} Insb. gilt also für \(m=1\): \[ \text{Res}(f,z_0) = \lim_{z \to z_0}(z-z_0)f(z) \] \subsection*{Argumentprinzip} Sei \(D\) Gebiet, \(f \in H(D), \gamma \in PC^1(D)\) geschlossener Weg mit Umlaufzahl \(n(\gamma,a) \in \{0,1\}\) für \(a \in D \setminus |\gamma|\), \(\gamma\) nullhomolog in \(D\), \(\forall z \in |\gamma| : f(z) \neq 0\) und \(D_1 := \{a \in D | n(\gamma,a)=1\}\). Dann gilt: \[N(f,D_1) = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f'(z)}{f(z)} dz\] Hierbei ist \(N(f,D_1)\) die Anzahl Nullstellen von \(f\) in \(D_1\) inklusive deren Vielfachheiten. \subsubsection*{Satz von Rouché} Seien \(D, f, \gamma, D_1\) wie im Argumentprinzip und \(g \in H(D)\) s.d. \(\forall z \in |\gamma| : |f(z) - g(z)| < |g(z)|\). Dann gilt: \[N(f,D_1) = N(g,D_1)\] \subsubsection*{Satz von Hurwitz} Sei \(D\) ein Gebiet und \((f_n) \subseteq H(D)\) Folge mit \(Z(f_n) := \{z \in \C | f(z_n)=0\} = \emptyset\) s.d. \((f_n)\) auf \(D\) lokal glm. gegen \(f : D \to \C\) konvergiert. Dann gilt \(Z(f) = \emptyset \lor Z(f) = D\).