\section*{Komplexe Zahlen}

\[\C = \{ z = x+iy | x,y \in \R \}\]
Die Normen von \((\C,|\cdot|)\) und \((\R^2,|\cdot|_2)\) stimmen überein, ebenso Konvergenz-, Stetigkeits- und \ Offenheitseigenschaften:
\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} z_n = z \text{ in } \C \iff \lim_{n \to \infty} Re \ z_n &= Re \ z \\
\phantom{\lim_{n \to \infty} z_n = z \text{ in } \C \iff} \land \lim_{n \to \infty} Im \ z_n &= Im \ z
\end{align*}

\subsection*{Polardarstellung}

Für \(z = x +iy \in \C \setminus \{0\}\) gilt \(z = re^{i\phi}\) mit \(r = |z|\) und:
\[ \phi = \arg z := \begin{cases}
	\arccos \frac{x}{r} & y > 0 \\
	0 & x \in (0,+\infty) \\
	-\arccos \frac{x}{r} & y < 0 \\
	\pi & z \in (-\infty,0)
\end{cases} \]

mit \(\phi \in (-\pi, \pi]\). Es gilt für \(z = re^{i\phi}, w = se^{i\psi}\): \[z \cdot w = rse^{i(\phi+\psi)} = |z||w|e^{i(\phi+\psi)}\]

\section*{Holomorphie}

Eine Funktion \(f : D \to \C\) ist \emph{komplex differenzierbar} in \(z_0 \in D\), wenn:
\[ f'(z_0) := \displaystyle\lim_{z \to z_0, z \in D\setminus\{z_0\}} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \in \C \text{ existiert.} \]

Ist \(f\) in \(\forall z_0 \in D\) komplex differenzierbar, so heißt \(f\) \emph{holomorph} auf \(D\) mit Ableitung \(f' : D \to \C\).

Geschrieben \(f \in H(D)\).

\subsection*{Komplexe Ableitung}

\(\C \to \C, z \mapsto 1\) und \(\C \to \C, z \mapsto z\) sind holomorph.

Seien \(f, g : D \to \C\) komplex differenzierbar in \(z_0 \in \C\), \(f(z_0) \in D' \subseteq \C\) offen, \(h : D' \to \C\) in \(f(z_0)\) komplex differenzierbar, \(\alpha, \beta \in \C\):
\begin{align*}
	(\alpha f + \beta g)'(z_0) &= \alpha f'(z_0) + \beta g'(z_0) \\
	(fg)'(z_0) &= f'(z_0)g(z_0) + f(z_0)g'(z_0) \\
	\left(\frac{1}{f}\right)'(z_0) &= -\frac{f'(z_0)}{f(z_0)^2} \\
	(h \circ f)'(z_0) &= h'(f(z_0))f'(z_0)
\end{align*}

Polynome \(p\) und nichtsinguläre rationale Funktionen aus Polynomen sind auf \(\C\) holomorph.

\subsubsection*{Konvergenzradius}

Seien \(a_k \in \C, k \in \N_0\):
\[ \rho = \frac{1}{\overline\lim_{k\to\infty} \sqrt[k]{|a_k|}} \in [0,+\infty] \]

ist der \emph{Konvergenzradius}.

Sei \(\rho > 0, c \in \C\). Dann ex. die Potenzreihe:

	\(f : B(c,\rho) \to \C, z \mapsto \sum_{k=0}^\infty a_k(z-c)^k\).

Diese ist auf \(B(c,\rho)\) beliebig oft komplex differenzierbar. Für \(n \in \N_0\) hat \(f^{(n)}\) den Konvergenzradius \(\rho > 0\) und es gilt für \(z \in B(c,\rho)\):
\[ f^{(n)}(z) = \sum_{k=n}^\infty k(k-1)\cdots(k-n+1)a_k(z-c)^{k-n} \]

Auf diese Weise ergeben sich für \(z \in \C\):
\begin{align*}
	\exp(z) &= e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} \\
	\sin(z) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{2n+1} \\
	\cos(z) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n}
\end{align*}

Übliche Ableitungs- und Rechenregeln gelten.

\subsection*{Charakterisierung}

Sei \(f : D \to \C, D \subseteq \R^2, u = Re \ f, v = Im \ f : D \to \R\).

\(f : D \to \R^2, (x,y) \mapsto u(x,y) + iv(x,y) = \begin{pmatrix} u(x,y) \\ v(x,y)\end{pmatrix}\)

Es sind dann äquivalent:

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item \(f\) ist in \(z\) komplex differenzierbar
	\item \(f\) ist in \(z\) reell differenzierbar und es gelten die \emph{Cauchy-Riemannschen DGL}: \\
		\[ \frac{\partial u}{\partial x}(x,y) = \frac{\partial v}{\partial y}(x,y), \frac{\partial u}{\partial y}(x,y) = -\frac{\partial v}{\partial x}(x,y) \]
\end{enumerate}

\(f\) hat in \((x,y) \in D \subseteq \R^2\) die \emph{Jacobimatrix}:

\[ f'(z) = \begin{pmatrix}
	\frac{\partial u}{\partial x}(x,y) & \frac{\partial u}{\partial y}(x,y) \\
	-\frac{\partial u}{\partial y}(x,y) & \frac{\partial u}{\partial x}(x,y)
\end{pmatrix} \]

Entsprechend ist \(f(z)=\overline z\) nirgends komplex differenzierbar, \(f(z)=|z|^2\) nur in \(0\) komplex differenzierbar und \(f(z) = \frac{1}{z}\) holomorph in \(\C \setminus \{0\}\).

\subsection*{Biholomorphie}

Sind \(U, V \subseteq \C\) offen und nichtleer, \(f : U \to V\) bij., \(f\) und \(f^{-1}\) holomorph. Dann heißt \(f\) \emph{biholomorph}, \(U\) und \(V\) \emph{konform äquivalent}.

Sei \(f : U \to V\) biholomorph, \(z \in U\).

Dann ist \(f'(z) \neq 0\) und für \(w = f(z)\) gilt: \[ (f^{-1})'(w) = \frac{1}{f'(f^{-1}(w))} = \frac{1}{f'(z)} \]

Weiterhin existieren offene nichtleere \(U \subseteq D\) mit \(u_0 \in U, V \subseteq \C\) s.d. \(\restrictedto{f}{U}\) biholomorph ist, wenn \(f \in H(d) \cap C^1(D,\R^2)\), \(z_0 \in D\) mit \(f'(z_0) \neq 0\) gilt.

\section*{Wurzeln und Exponentiale}

Die \(k\)-te Wurzel aus \(w \in \C\) ist def. als: \[z_k := \sqrt[k]{|w|} \exp\left(\frac{i}{k}(\arg \ w + 2k\pi)\right)\]

Sei \(z = x + iy, x, y \in \R, k \in \Z\). Dann:
\begin{align*}
	\exp(z) &= e^x e^{iy} = e^x(\cos y + i \sin y) \\
	\exp(z) &= \exp(z+2\pi ik) \\
	\exp(z) &= 1 \iff z=2\pi i k
\end{align*}

\section*{Logarithmen und Potenzen}

\(z \in \C\) ist \emph{Logarithmus} von \(w \in \C\) gdw.: \[\exists k \in \Z : z = \log |w| + i \arg \ w + 2k\pi i\]

\emph{Hauptwert des Logarithmus} von \(w \in \C \setminus \{0\}\): \[\text{Log} \ w := \log |w| + i \arg w\]

\subsection*{Allgemeine Potenz}

Sei \(z = re^{i\phi} \in \Sigma_\pi\) mit \(r > 0\) und \(\phi \in (-\pi,\pi), w = x + iy \in \C\) für \(x, y \in \R\). \emph{Allgemeine Potenz} ist def.:
\[z^w = \exp(w \log z) = r^x e^{-y\phi} e^{i(x\phi + y \ln r)}\]

z.B. \(e^w = \exp(w)\) und \(i^i = e^{-\pi/2}\).

\spacing

Es gilt \(z^{v+w} = z^v z^w\). Ableitungen \(\frac{\partial}{\partial z} z^w = wz^{w-1}\) und \(\frac{\partial}{\partial w} z^w = \log(w)z^w\) existieren.

\section*{Komplexe Kurvenintegrale}

Fkt \(f : [a,b] \to \C\) ist \emph{stückweise stetig}, wenn \(\forall t \in [a,b]\) beideitige Grenzwerte in \(\C\) ex. und max. endlich viele Unstetigkeitspunkte \(t_k \in [a,b]\) ex.

Geschrieben \(f \in PC([a,b],\C)\).

Solche Funktionen sind integrierbar:
\[ \int_a^b f(t) dt := \int_a^b \text{Re } f(t) dt + i \int_a^b \text{Im } f(t) dt \in \C \]

\subsection*{Hauptsatz}

\(f \in PC([a,b],\C)\) ist in \(t_0 \in [a,b]\) differenzierbar, wenn \(f'(t_0) := \lim_{t \to t_0} \frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0} \in \C\) existiert.

\(\iff \text{Re } f, \text{Im } f\) besitzen Ableitungen in \(\R\).

Ist \(f\) auf \([a,b]\) diffbar und \(g, f' \in C([a,b],\C)\).

Dann gilt der Hauptsatz:
\begin{align*}
\int_a^b f'(t) dt &= f(b) - f(a) \\
\exists \frac{d}{dt} \int_a^t g(s) ds &= g(t) \text{ für } t \in [a,b]
\end{align*}

\subsection*{Kurven und Parametrisierungen}

\(\gamma \in C([a,b],\C)\) ist \emph{Kurve} oder \emph{Weg} von \(\gamma(a)\) nach \(\gamma(b)\). \(\gamma\) ist \emph{geschlossen}, wenn \(\gamma(a)=\gamma(b)\) gilt und einfach, wenn \(\gamma\) auf \([a,b)\) injektiv ist.

\(\Gamma = |\gamma| = \gamma([a,b])\) ist \emph{Bild} oder \emph{Spur} von \(\gamma\).

Gilt \(\Gamma \subseteq M \subseteq \C\), so ist \(\gamma\) Weg in \(M\).

\(\gamma\) ist auch \emph{Parametrisierung} ihres Bildes \(\Gamma\).

\subsection*{Kurvenintegral}

Sei \(\gamma \in PC^1([a,b],\C)\) mit Bild \(\Gamma = \gamma([a,b])\) und \(f \in C(\Gamma,\C)\). Dann ist das \emph{komplexe Kurvenintegral}:
\[ \int_\gamma f dz = \int_\gamma f(z) dz := \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t) dt \]

Die Länge von \(\gamma\) ist \(l(\gamma) = \int_a^b |\gamma'(t)| dt\).

\subsubsection*{Eigenschaften}

Seien \(\gamma, \gamma_1, \gamma_2 \in PC^1([a,b],\C)\) mit Bildern \(\Gamma, \Gamma_1, \Gamma_2\) und \(f, g \in C(\Gamma,\C), h \in C(\Gamma_1 \cup \Gamma_2, \C), \alpha, \beta \in \C\):

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item \(\int_\gamma (\alpha f + \beta g) dz = \alpha \int_\gamma f dz + \beta \int_\gamma g dz\)
	\item \(|\int_\gamma f dz| \leq \|f\|_\infty l(\gamma)\)
	\item \(\int_{\gamma_1 \cup \gamma_2} h dz = \int_{\gamma_1} h dz + \int_{\gamma_2} h dz\)
	\item \(\int_{\gamma^-} f dz = - \int_{\gamma} f dz\)
\end{enumerate}

Sei \(\gamma \in PC^1([a,b],\C)\) mit Bild \(\Gamma\), \(f_n, f \in C(\Gamma,\C)\) für \(n \in \N\) und \(h \in C(D\times\Gamma,\C)\). Dann gelten:

\spacing

\((f_n)\) konv. glm. auf \(\Gamma\) gegen \(f\)

\vspace*{-2mm}
\[ \implies \displaystyle\lim_{n\to\infty} \int_\gamma f_n dz = \int_\gamma f dz \]

\(\sum_{n=1}^\infty f_n\) konv. glm. auf \(\Gamma\)

\vspace*{-2mm}
\[ \implies \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \int_\gamma f_n dz = \int_\gamma \displaystyle\sum_{n=1}^\infty f_n dz \]

Abbildung \(H : z \mapsto \int_\Gamma h(z,w) dw \in C(D,\C)\)

\(z \mapsto h(z,w) \in H(D)\) mit \(\frac{\partial}{\partial z} h \in C(D \times \Gamma, \C)\)

\vspace*{-2mm}
\[ \implies \frac{d}{dz} \int_\gamma h(z,w) dw = \int_\gamma \frac{\partial}{\partial z} h(z,w) dw \]

d.h. \(H\) ist holomorph mit dieser Ableitung.

\subsection*{Konstant auf Gebieten}

Sei \(D \subset \C\) ein Gebiet, \(f \in H(D)\) und \(f'=0\) auf \(D\). Dann ist \(f\) konstant.

\subsection*{Stammfunktionen}

Sei \(f \in C(D,\C)\). Stammfunktion von \(f\) auf \(D\) ist \(F \in H(D)\) mit \(F'=f\).

\(\exp, \sin, \cos\) und Polynome besitzen Stammftk. auf \(\C\). \(\log\) ist Stammfkt. von \(z \mapsto \frac{1}{z}\) auf \(\Sigma_\pi\).

\section*{Der Cauchysche Integralsatz}

Sei \(D\) Gebiet, \(f \in C(D,\C)\). Dann sind äquivalent:

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item \(f\) hat Stammfunktion \(F\) auf \(D\)
	\item \(\forall \gamma_1, \gamma_2 \in PC^1([a,b],D)\) mit \(\gamma_1(a)=\gamma_2(a)\) und \(\gamma_1(b)=\gamma_2(b)\) gilt: \(\int_{\gamma_1} f dz = \int_{\gamma_2} f dz\).
	\item \(\forall \gamma \in C^1([a,b],D)\) mit \(\gamma(a)=\gamma(b)\): \(\int_\gamma f dz = 0\)
\end{enumerate}

Es ergibt sich für jeden stückweisen \(C^1\)-Weg in \(D\): \(\int_\gamma f dz = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a))\).

\subsection*{Satz von Goursat}

Seien \(w_0 \in D, f \in C(D,\C) \cap H(D \setminus \{w_0\})\) und \(\Delta \subseteq D\) ein abgeschlossenes Dreieck. Dann:

\vspace*{-2mm}
\[ \int_{\partial\Delta} f dz = 0 \]

\subsection*{Cauchys Integralsatz}

Seien \(D\) sternförmiges Gebiet, \(f \in H(D)\) und \(\gamma \in PC^1([a,b],D)\) geschlossen, dann gilt: \[ \int_\gamma f dz = 0 \]

Dies gilt auch für \(f \in C(D,\C) \cap H(D\setminus \{\omega_0\})\).

\subsubsection*{Cauchys Integralformeln}

Seien \(f \in H(D), \overline B(z_0,r) \subseteq D, n \in \N_0, z \in B(z_0,r)\) und \(s := |z-z_0| < r\). Sei \(\partial B(z_0,r)\) durch \(\gamma(t) = z_0 + re^{it}\) mit \(t \in [0,2\pi]\) parametrisiert.

Dann ist \(f\) bel. oft auf \(D\) diffbar und es gelten:
\begin{align*}
	f^{(n)}(z) &= \frac{n!}{2\pi i} \int_{\partial B(z_0,r)} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} dw \\
	|f^{(n)}(z)| &\leq \frac{n!r}{(r-s)^{n+1}} \max_{|w-z_0|=r} |f(w)|
\end{align*}

\subsection*{Analytische Funktionen}

Eine Funktion \(f : D \to \C\) heißt \emph{analytisch}, wenn \(\forall z \in D \exists r(z) > 0\) mit \(B(z,r(z)) \subseteq D\) s.d. \(f\) auf \(B(z,r(z))\) gleich einer Potenzreihe um \(z\) ist.

\vspace*{1mm}

Eine Funktion \(f \in H(\C)\) heißt \emph{ganz}.

\vspace*{1mm}

Analytische Funktionen sind insb. holomorph.

\subsubsection*{Entwicklungssatz}

Sei \(f \in H(D)\). Dann ist \(f\) analytisch.

\spacing

Für \(\forall z_0 \in D\) sei \(R(z_0) := \sup\{r > 0 | B(z_0,r) \subseteq D \}\) der maximale Radius. Zusätzlich sei \(\overline r, r \in (0,R(z_0))\). Für \(z \in B(z_0, R(z_0)\) ist die Taylorreihe von \(f\):
\begin{align*}
f(z) &= \sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n \\
a_n &= \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial B(z_0,r)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}} dw
\end{align*}

Diese konvergiert gleichmäßig auf \(\overline B(z_0,\overline r)\).

Für ganze \(f\) gilt \(R(z_0)=\infty\).

\subsection*{Satz von Morera}

Funktion \(f \in C(D,\C)\) erfülle \(\int_{\partial\Delta} f dz = 0\) für alle abg. \(\Delta \subseteq D\). Dann ist \(f\) holomorph.

\subsection*{Satz von Liouville}

Eine beschränkte ganze Funktion ist konstant.

\subsection*{Fundamentalsatz der Algebra}

Ein komplexes Polynom \(n\)-ten Grades hat \(n\) Nullstellen in \(\C\). (eventuell wiederholt)

\subsection*{Weierstraßscher Konvergenzsatz}

Seien \(f, f_n : D \to \C\) für \(n \in \N\). Konvergiert die \emph{Supremumsnorm} \(\sup_{z \in K} |f_n(z)-f(z)|\) auf bel. komp. \(K \subseteq D\) gegen \(0\) für \(n \to \infty\), so konvergiert \((f_n)\) kompakt auf \(D\) gegen \(f\). Weiterhin:

\spacing

\(f_n \in C(D,\C) \xrightarrow[n \to \infty]{\text{kompakt}} f \implies f \in C(D,\C)\).

\spacing

Eine Folge \((f_n) \in H(D)\) konvergiere kompakt gegen \(f\). Dann ist \(f\) holomorph und alle \(f_n^{(j)}\) konvergieren kompakt auf \(D\) gegen \(f^{(j)}\) für \(n \to \infty\).

\subsection*{Identitätssatz}

Sei \(D \subseteq \C\) Gebiet und \(f \in H(D)\). Dann sind äquiv.:

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item \(f = 0\) auf \(D\)
	\item \(\exists z_0 \in D \forall n \in \N_0 : f^{(n)}(z_0) = 0\)
	\item \(\exists z_n, z_0 \in D \forall n \in N : f(z_n) = 0 \land z_n \neq z_0\) \\ Weiterhin gilt \(z_n \to z_0 \ (n \to \infty)\)
\end{enumerate}

Somit sind \(g, h \in H(D)\) schon auf \(D\) gleich, wenn \(g, h\) auf Menge \(M \subseteq D\) mit Häufungspunkt \(z_0 \in D\) übereinstimmen.

\subsection*{Nullstellensatz}

Sei \(f \in H(D) \neq\) Nullfkt. und \(\exists z_0 \in D : f(z_0) = 0\). Dann \(\exists m \in \N, r > 0\) mit \(B(z_0, r) \subseteq D\) und \(g \in H(B(z_0,r))\) mit \(g(z_0) \neq 0\) s.d. für \(z \in B(z_0,r)\) gilt:
\begin{align*}
0 &= f(z_0) = f'(z_0) = \cdots = f^{(m-1)}(z_0), f^{(m)}(z_0) \neq 0 \\
f(z) &= (z-z_0)^m g(z)
\end{align*}

Dabei ist \(m\) die Ordnung der Nullstelle \(z_0\).

\subsection*{Holomorphe Fortsetzung}

Sei \(f \in H(D), U \subseteq \C\) Gebiet mit \(D \subseteq U\).

Dann \(\exists! g \in H(U) : \restrictedto{g}{D} = f\).

\spacing

Die \emph{Gammafunktion} \(\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1}e^{-t} dt, Re \ z > 0\) hat genau eine holomorphe Fortsetzung auf der Menge \(\C \setminus \{ -n | n \in \N_0 \}\).

\subsection*{Nullstelle in \(B(z_0,r)\)}

Sei \(f \in H(D), B := B(z_0,r), r > 0, \overline B \subseteq D\). Weiter:

\vspace*{-3mm}
\[ 0 \leq |f(z_0)| < \min_{x \in \partial B} |f(x)| \]

Dann hat \(f\) Nullstelle in \(B\).

\subsection*{Offenheitssatz}

\(f \in H(D)\) ist auf kleiner Kugel in \(D\) konstant

\(\implies \forall \text{offene } U \subseteq D : f(U) \subseteq \C\) ist offen.

\subsection*{Gebietstreue}

\(D \subseteq \C\) ist Gebiet und \(f \in H(D)\) ist nicht konstant

\(\implies f(D)\) ist ein Gebiet.

\subsection*{Maximumsprinzip}

Sei \(D\) Gebiet, \(f \in H(D)\) nicht konstant. Dann:

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item Die Abbildung \(D \to \R, z \mapsto |f(z)|\) hat kein lokales Maximum
	\item \(D\) beschränkt, \(f \in C(\overline D,\C)\). Dann: \\ \(\max_{z \in \overline D} |f(z)| = \max_{z \in \partial D} |f(z)|\)
\end{enumerate}

\section*{Homologie}

Seien \(\gamma_1,\dots,\gamma_m\) stckw. stg. Wege in \(\C)\). Die \emph{Kette} \(\Gamma := \gamma_1 \oplus \dots \oplus \gamma_m\) ist \(\forall f \in C(|\Gamma|)\) def. als: \[\int_\Gamma f dz := \sum_{j=1}^m \int_{\gamma_j} f dz\]

Für Träger \(|\Gamma| = \Gamma(I) \subseteq D\) ist \(\Gamma\) Kette in \(D\).

Sind alle \(\gamma_j\) geschlossen heißt \(\Gamma\) \emph{Zyklus}.

Die \emph{Umlaufzahl} eines Zyklus \(\Gamma\) um \(\alpha \in \C \setminus |\Gamma|\) : \[n(\Gamma,\alpha) := \frac{1}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{1}{z-a} dz = \sum_{j=1}^m n(\gamma_j,\alpha)\]

\(\Gamma\) ist \emph{nullhomolog} in \(D\) gdw. \(\forall \alpha \in \C \setminus D : n(\Gamma,\alpha) = 0\)

\(\Gamma_1\) und \(\Gamma_2\) sind \emph{homolog} in \(D\) gdw. \(\forall \alpha \in \C \setminus D : n(\Gamma_1,\alpha) = n(\Gamma_2,\alpha)\)

\(D\) ist \emph{einfach zusammenhängend} gdw. jeder Zyklus in \(D\) nullhomolog ist.

\subsection*{Homologe Variante der Cauchyschen Sätze}

Sei \(f \in H(D)\),, \(\Gamma\) nullhomologer Zyklus in \(D\) und \(\Gamma_1,\Gamma_2\) homologe Zyklen in \(D\). Dann gilt:

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item \(\int_\Gamma f dz = 0\)
	\item \(\int_{\Gamma_1} f dz = \int_{\Gamma_2} f dz\)
	\item \(f(z) n(\Gamma,z) = \frac{1}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{w-z} dz\) für \(z \in D \setminus |\Gamma|\)
\end{enumerate}

\subsection*{Cauchy für einfach zshg. Gebiete}

Sei \(D\) einfach zshg. und \(\Gamma\) Zyklus in \(D\). Dann:

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item \(\int_\Gamma f dz = 0\)
	\item Für \(z \in D \setminus |\Gamma|, n \in \N_0 : \\ f^{(n)}(z) n(\Gamma,z) = \frac{n!}{2\pi i} \int_\Gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} dw\)
\end{enumerate}

\section*{Homotopie}

Sei \(N \subseteq M\) und \(M\) ein metrischer Raum,

\(\gamma_0, \gamma_1 \in C([a,b],M)\) geschlossene Wege in \(N\).

\vspace*{1mm}

Die Wege \(\gamma_0, \gamma_1\) heißen \emph{homotop} über \(N\), wenn \(\exists h \in C([0,1] \times [a,b],M) \forall (s,t) \in [0,1] \times [a,b] : h(s,t) \in N \land h(0,t)=\gamma_0(t) \land h(1,t) = \gamma_1(t) \land h(s,a) = h(s,b)\).

\vspace*{1mm}

Ist \(\gamma_1\) konstant, so heißt \(\gamma_0\) \emph{nullhomotop} über \(N\). Man schreibt \(\gamma_0 \sim_N \gamma_1\) bzw. \(\gamma_0 \sim_N 0\).

\vspace*{1mm}

Sind alle geschlossenen stückweisen \(C^1\)-Wege in \(N\) nullhomotop, so heißt \(N\) \emph{einfach zusammenhängend}.

\vspace*{1mm}

Homotopie impliziert Homologie.

\subsection*{Homotope Variante der Cauchyschen Sätze}

Sei \(D\) Gebiet, \(f \in H(D), \gamma_0, \gamma_1\) auf \(D\) homotope stückweise \(C^1\)-Wege. Dann:

\[ \int_{\gamma_0} f dz = \int_{\gamma_1} f dz \]

Insb. gilt \(\int_{\gamma_0} f dz = 0\), wenn \(\gamma_0 \sim_D 0\).

Cauchys Integralsatz gilt auf einfach zusammenhängenden Gebieten in \(D\).

\spacing

Sei \(\overline B(z_0,r) \subseteq D, r > 0, z \in B(z_0,r), k(t) = z_0 + re^{it}\) für \(t \in [0, 2\pi], n \in \N_0\) und \(\gamma\) zu \(k\) auf \(D \setminus \{z\}\) homotoper stückweiser \(C^1\)-Weg. Dann:

\[ f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} dw \]

\section*{Isolierte Singularitäten}

Sei \(z_0 \in \C, f \in H(D \setminus \{z_0\}), D_0 := B(z_0,r) \setminus \{z_0\} \subseteq D\). Dann ist \(z_0\) \emph{isolierte Singularität} von \(f\). \(f\) ist:

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item \emph{hebbar}, wenn \(\exists \tilde f \in H(B(z_0,r)) : \restrictedto{f}{D_0} = \restrictedto{\tilde f}{D_0}\)
	\item \emph{Pol}, wenn \(f(z) \to \infty \ (z \to z_0)\)
	\item \emph{wesentlich}, wenn \(z_0\) nicht hebbar / Pol ist
\end{enumerate}

\subsection*{Charakterisierung}

Sei \(z_0 \in \C\) isolierte Singularität von \(f \in H(D)\). Dann sind äquivalent:

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item \(z_0\) ist Pol von \(f\)
	\item \(\exists r, c_1, c_2 > 0, m \in \N : \tilde D := B(z_0,r) \setminus \{z_0\} \subseteq D \land \forall z \in \tilde D : c_1|z-z_0|^{-m} \leq |f(z)| \leq c_2|z-z_0|^{-m}\)
	\item \(\exists r > 0, m \in \N, g \in H(B(z_0,r)) :\) \\ \(\tilde D := B(z_0,r) \setminus \{z_0\} \subseteq D \land g(z_0) \neq 0 \land \forall z \in \tilde D : f(z) = (z-z_0)^{-m}g(z)\)
	\item \(\exists r > 0 : \tilde D := B(z_0,r) \setminus \{z_0\} \subseteq D \land \forall z \in \tilde D : f(z) \neq 0 \land h_0 := \frac{1}{f} : \tilde D \to \C\) besitzt Fortsetzung \(h \in H(B(z_0,r))\) wobei \(h\) in \(z_0\) Nullstelle \(m\)-ter Ordnung hat
\end{enumerate}

\subsubsection*{Riemannscher Hebbarkeitssatz}

Die isolierte Singularität \(z_0 \in \C\) von \(f \in H(D)\) ist hebbar \(\iff \exists r_1 > 0 : B(z_0,r_1) \setminus \{z_0\} \subseteq D\) und \(f\) auf \(B(z_0,r_1) \setminus \{z_0\}\) beschränkt ist.

\subsubsection*{Satz von Casorati-Weierstraß}

\(z_0\) ist wesentlich \(\iff \forall r > 0 :\)

Bild \(f(B(z_0,r) \setminus \{z_0\})\) liegt dicht in \(\C\)

\subsection*{Biholomorphie aus Injektivität}

Sei \(f \in H(D)\) injektiv.

Dann ist \(f(D) \subseteq \C\) offen und \(f\) ist biholomorph.

\subsection*{Laurentreihe}

Sei \(a_n \in \C\) für \(n \in \Z\) und \(c \in \C\).

\(\sum_{n \in \Z} a_n (z-c)^n\) mit \(z \in \C\) ist die \emph{Laurentreihe}.

Diese konvergiert, falls Grenzwerte in \(\C\) ex.:
\begin{align*}
&\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-c)^n & \text{(regulärer Anteil)} \\
&\sum_{n=1}^{+\infty} a_{-n}(z-c)^{-n} & \text{(singulärer Anteil)}
\end{align*}

Ist dies der Fall, wird definiert:
\[ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-c)^n := \sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-c)^n + \sum_{n=1}^{+\infty} a_{-n}(z-c)^{-n} \]

\subsubsection*{Satz von Laurent}

Seien \(f \in H(D), n \in \Z, z_0 \in \C\) und \(R > 0\) s.d. \(D_0 := B(z_0,R) \setminus \{z_0\} \subseteq D\).

Für \(r \in (0,R)\) sei \(\gamma_r : [0,2\pi] \to \C, t \mapsto z_0 + re^{it}\) und:

\[ a_n := \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}} dw \]

Diese Koeff. sind eindeutig und unabhg. \(r \in (0,R)\).

\spacing

\(\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-z_0)^n\) konvergiert dann absolut und gleichmäßig auf Kompakta in \(D_0\) gegen \(f\).

\subsubsection*{Singularitäten der Laurentreihe}

Für Laurentreihen nach der obigen Def. gelten:

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item \(z_0\) ist hebbar \(\iff \forall n < 0 : a_n = 0\)
	\item \(z_0\) ist Pol \(m\)-ter Ordnung \\ \(\iff a_{-m} \neq 0 \land \forall n < -m : a_n = 0\)
	\item \(z_0\) ist wesentlich \(\iff \exists n_j \to -\infty : a_{n_j} \neq 0\)
\end{enumerate}

\subsection*{Residuen}

Sei \(z_0 \in \C\) isolierte Singularität von \(f \in H(D)\) und \(a_n\) Koeffizienten der Laurentreihe von \(f\) um \(z_0\).

Das \emph{Residuum} von \(f\) bei \(z_0\) ist definiert als:

\[ \text{Res}(f,z_0) := a_{-1} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial B(z_0,r)} f(w) dw \]

Hierbei gelte \(\overline B(z_0,r) \setminus \{z_0\} \subseteq D\).

\subsubsection*{Residuensatz}

Seien \(f \in H(D)\) und \(z_1, \dots, z_n \in \C\) alle isolierten Singularitäten von \(f\). Sei \(p\) ein geschlossener, einfacher, positiv orientierter Polygonzug in \(D\) mit Bild \(P\) s.d. alle \(z_j\) im von \(P\) umschlossenen Gebiet \(G\) liegen und \(\overline G \setminus \{z_1,\dots,z_n\} \subseteq D\) ist. Weiterhin sei \(\gamma \in PC^1([a,b],D)\) zu \(p\) auf \(D\) homotop. Dann: \[ \int_\gamma f dz = 2\pi i \sum_{j=1}^n \text{Res}(f,z_j) n(|\gamma|,z_j) \]

\subsubsection*{Residuen von Polen \(m\)-ter Ordnung}

Sei \(z_0\) Pol \(m\)-ter Ordnung von \(f \in H(D)\) und \(g\) die holomorphe Fortsetzung von \((z-z_0)^m f(z)\) auf \(B(z_0,r) \subseteq D\). Dann gelte:

\vspace*{-4mm}
\begin{align*}
\text{Res}(f,z_0) &= \frac{1}{(m-1)!} g^{(m-1)}(z_0) \\
&= \lim_{z \to z_0} \frac{1}{(m-1)!}\left(\frac{d}{dz}\right)^{m-1} ((z-z_0)^m f(z))
\end{align*}

Insb. gilt also für \(m=1\): \[ \text{Res}(f,z_0) = \lim_{z \to z_0}(z-z_0)f(z) \]

\subsection*{Argumentprinzip}

Sei \(D\) Gebiet, \(f \in H(D), \gamma \in PC^1(D)\) geschlossener Weg mit Umlaufzahl \(n(\gamma,a) \in \{0,1\}\) für \(a \in D \setminus |\gamma|\), \(\gamma\) nullhomolog in \(D\), \(\forall z \in |\gamma| : f(z) \neq 0\) und \(D_1 := \{a \in D | n(\gamma,a)=1\}\). Dann gilt: \[N(f,D_1) = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f'(z)}{f(z)} dz\]

Hierbei ist \(N(f,D_1)\) die Anzahl Nullstellen von \(f\) in \(D_1\) inklusive deren Vielfachheiten.

\subsubsection*{Satz von Rouché}

Seien \(D, f, \gamma, D_1\) wie im Argumentprinzip und \(g \in H(D)\) s.d. \(\forall z \in |\gamma| : |f(z) - g(z)| < |g(z)|\). Dann gilt: \[N(f,D_1) = N(g,D_1)\]

\subsubsection*{Satz von Hurwitz}

Sei \(D\) ein Gebiet und \((f_n) \subseteq H(D)\) Folge mit \(Z(f_n) := \{z \in \C | f(z_n)=0\} = \emptyset\) s.d. \((f_n)\) auf \(D\) lokal glm. gegen \(f : D \to \C\) konvergiert.

Dann gilt \(Z(f) = \emptyset \lor Z(f) = D\).
