\section*{Existenzsatz von Peano}

Sei $f : G \subset \R \times \R^n \to \R^n$ stg., $G$ Gebiet.

Dann $\forall (\tilde x,\tilde y) \in G \exists$ Lösung $y'=f(x,y)$ im Gebiet.

\section*{Existenz- und Eindeutigkeit}

Sei $f : S \to \R^n$ stg. auf Steifen $S := [a,b] \times \R^n$ und $f$ erfülle die Lipschitz-Bedingung:

\vspace*{-2mm}
$$\|f(x,y)-f(x,\tilde y)\| \leq L \|y-\tilde y\|, \ L > 0$$

Dann existiert für das AWP genau eine Lösung in $\mathcal{C}([a,b],\R^n)$ für jedes Element in $S$.

\section*{Einzelschrittverfahren}

Sei $f : [a,b] \times \R^n \to \R^n, \ y(x_0)=y_0 \in \R^n$ AWP.

Ein \emph{Einschrittverfahren} ist Vorschrift:

\vspace*{-4mm}
$$\eta_0 = y_0, \ \eta_{k+1} = \eta_k + h \cdot \Phi(x_k, \eta_k, h), \ x_{k+1} = x_k + h$$

Für \emph{Verfahrensfunktion} $\Phi : [a,b] \times \R^n \times \R \to \R^n$.

\spacing

Die \emph{Näherungslösung} $\eta_k$ ist eine \emph{Gitterfunktion}.

\vspace*{-4mm}
$$\eta_k : \{x \in [x_0,b] | x = x_0 + i \cdot h, \ i \in \N_0 \} \to \R^n$$

\subsection*{Explizites Eulerverfahren}

$$\Phi(x,y,h) := f(x,y) \text{ d.h. Butcher-Schema: } \begin{array}{c|c}
0 & 0 \\
\hline
  & 1
\end{array}$$

\subsection*{Implizites Eulerverfahren}

$$\Phi(x,y,h) := f(x+h, g(x,y,h)), \ g = y + h \cdot f(x+h, g)$$

Mit Butcher-Schema: $\begin{array}{c|c}
1 & 1 \\
\hline
  & 1
\end{array}$


\subsection*{Konsistenz}

Sei $z$ mit $z'(x) = f(x,z(x))$ die exakte AWP Lösung.

Der \emph{lokale Diskretisierungsfehler} in $(x,y)$:

$$\tau(x,y,h) := \frac{z(x+h)-y}{h} - \Phi(x,y,h)$$

Ein ESV ist brauchbar, wenn $\lim_{h \to 0} \tau(x,y,h) = 0$ bzw. $\lim_{h \to 0} \Phi(x,y,h) = f(x,y)$.

\subsubsection*{Konsistenzordnung}

ESV mit $\Phi$ ist \emph{konsistent mit Ordnung $p$}, falls:

\vspace*{-2mm}
$$\tau(x,y,h) \in \mathcal{O}(h^p) \text{ für } h \to 0$$

Hierzu ist eine Taylorentwicklung von $z$ hilfreich.

Beide Eulerverfahren haben Ordnung $1$.

\subsection*{Allgemeiner Ansatz für Ordnung $2$}

$$\Phi(x,y,h) := a_1 \cdot f(x,y) + a_2 \cdot f(x+p_1 h, y+p_2 h \cdot f(x,y))$$

für Konstanten $a_1, a_2, p_1, p_2 \in \R$.

\spacing

Bedingungen: $a_1 + a_2 = 1, \ a_2 p_1 = \frac{1}{2}, \ a_2 p_2 = \frac{1}{2}$

\subsubsection*{Verfahren von Heun}

$$\Phi(x,y,h) := \frac{1}{2}(f(x,y) + f(x+h, y+h \cdot f(x,y)))$$

\subsubsection*{Verfahren von Runge}

$$\Phi(x,y,h) := f(x + \frac{h}{2}, y + \frac{h}{2} f(x,y) )$$

\subsubsection*{Implizite Trapezregel}

\vspace*{-2mm}
\begin{align*}
	\Phi(x,y,h) &:= \frac{1}{2} (f(x,y) + f(x+h, g(x,y,h)) \\
	g(x,y,h) &:= y + \frac{h}{2} (f(x,y) + f(x+h,g(x,y,h))
\end{align*}

\subsection*{Konvergenz}

Der \emph{globale Diskretisierungsfehler} für $x \in [a,b]$:

\vspace*{-4mm}
$$e(x,h_n) := \eta(x,h_n) - y(x), \ h_n=h_n(x)=\frac{x-x_0}{n}, n \in \N_0$$

Ein ESV ist \emph{konvergent}, falls:

\vspace*{-4mm}
$$\forall x \in [a,b], \text{hinr. glatte } f : \lim_{n \to \infty} e(x,h_n) = 0$$

\section*{Autonomisierung}

$$\eta := \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} \in \R^{n+1}, \ \widehat{f} : \R^{n+1} \to \R^{n+1}, \eta \mapsto \begin{pmatrix}1 \\ f(x,y)\end{pmatrix}$$

AWP $\eta'=\widehat{f}(\eta)$ mit Bedingung: $\eta(0) = \begin{pmatrix}x_0 \\ y_0\end{pmatrix}$

\subsection*{Invarianz gegen Autonomisierung}

ESV $\Phi$ ist \emph{invariant gegen Autonomisierung}, wenn:

$$\widehat{\Phi}_1(\eta,h)=1, \ \Phi(x,y,h) = \widehat{\Phi}_2(\eta,h), \ \eta = \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}$$

Wobei $\widehat{\Phi} = \begin{pmatrix}\widehat{\Phi}_1, \widehat{\Phi}_2\end{pmatrix}$ die Anwendung von $\Phi$ auf das autonomisierte System ist.

\section*{Explizite Runge-Kutta-Verfahren}

Verfahrensfunktion $\Phi$ eines $s$-stufigen RKV:

\vspace*{-4mm}
\begin{align*}
\Phi(x,y,h) &:= b_1 k_1 + b_2 k_2 + \cdots + b_s k_s \\
k_i &:= f(x+c_i h, y + h \sum_{j=1}^{i-1} a_{i,j} k_j)
\end{align*}
\vspace*{-8mm}

\subsection*{Butcher-Schema}

Darstellung der Koeffizienten $b_i, c_i$ und $a_{i,j}$:

$$\begin{array}{c|c}
c & A \\
\hline
  & b^\intercal
\end{array}$$

Hierbei ist $A$ strikte untere Dreiecksmatrix.

\subsection*{Konsistentsbedingung mit Ordnung 1}

Konsistent mit Ordnung 1 gdw. $\displaystyle\sum_{i=1}^s b_i = 1$

Für die Ordnung $p$ eines $s$-stufigen RKV: $p \leq s$

\subsection*{Invarianzbedingung}

RKV ist invariant gegen Autonomisierung gdw. es konsistent und $c_i$ die $i$-te Zeilensumme von $A$ ist:

$$\sum_{i=1}^s b_i = 1 \text{ und } \sum_{j=1}^{i-1} a_{i,j} = c_i \text{ für } i=1,\dots,s$$

Somit genügt $(b, A)$ zur Definition von gegenüber Autonomisierung invarianter RKV.

\subsection*{Konsistenzbedingung für Ordnung $2$}

$$\sum_{i=1}^s b_i = 1 , \sum_{i=1}^s b_i c_i = \frac{1}{2}$$

\subsection*{Konsistenzbedingung für Ordnung $3$}

$$\sum_{i=1}^s b_i = 1 , \sum_{i=1}^s b_i c_i = \frac{1}{2} , \sum_{i=1}^s b_i c_i^2 = \frac{1}{3} , \sum_{i,j=1}^s b_i a_{i,j} c_j = \frac{1}{6}$$

\section*{Explizite Extrapolationsverfahren}

\section*{Mehrschrittverfahren}

\section*{Partielle Differentialgleichungen}

\subsection*{Finite Differenzen}