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diff --git a/analysis_3.tex b/analysis_3.tex index ca0be13..ab5a5e8 100644 --- a/analysis_3.tex +++ b/analysis_3.tex @@ -28,3 +28,14 @@ Die durch das nichtleere Mengensystem $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(X)$ auf $$\sigma(\mathcal{E}) := \bigcap\{ \mathcal{A} \subseteq \mathcal{P}(X) | \mathcal{A} \text{ ist } \sigma \text{-Algebra}, \mathcal{E} \subseteq \mathcal{A} \}$$ Der Erzeuger $\mathcal{E}$ ist hierbei allg. nicht eindeutig. + +\subsubsection*{Eigenschaften erzeugter $\sigma$-Algebren} + +Sei $\emptyset \neq \mathcal{E} \subseteq \mathcal{P}(X)$, dann gilt: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $\mathcal{A}$ ist $\sigma$-Algebra $\land$ $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{A} \Rightarrow \mathcal{E} \subseteq \sigma(\mathcal{E}) \subseteq \mathcal{A}$ + \item $\sigma(\mathcal{E})$ ist kleinste $\mathcal{E}$ enthaltende $\sigma$-Algebra. + \item $\mathcal{E}$ ist $\sigma$-Algebra $\Rightarrow \mathcal{E} = \sigma(\mathcal{E})$ + \item $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{E}' \subseteq \mathcal{P}(X) \Rightarrow \sigma(\mathcal{E}) \subseteq \sigma(\mathcal{E}')$ +\end{enumerate} |