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diff --git a/content/statistik.tex b/content/statistik.tex index d901d21..534eef9 100644 --- a/content/statistik.tex +++ b/content/statistik.tex @@ -334,3 +334,58 @@ Teste \(H_0 : \sigma^2 = \tau^2\) gegen \(H_1 : \sigma^2 \neq \tau^2\): \[ Q_{m,n} := \frac{\frac{1}{m-1}\sum_{i=1}^m(X_i-\overline X_m)^2}{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^m(Y_i-\overline Y_n)^2} \sim F_{m-1,n-1} \] Verwerfe \(H_0\) für große und kleine Testwerte, d.h.: \(Q_{m,n} \leq F_{m-1,n-1;\frac{\alpha}{2}}\) oder \(Q_{m,n} \geq F_{m-1,n-1;1-\frac{\alpha}{2}}\) + +\subsection*{Verbundener Zwei-Stichproben-\(t\)-Test} + +Seien \(x_i, y_i\) zwei verbundene Stichproben. + +Realisiere \(z_i := x_i - y_i\) ZV \(Z_1,\dots,Z_n \uiv \N(\mu,\sigma^2)\). + +Teste \(H_0 : EX_1 = EY_1\) gegen \(H_1 : EX_1 \neq EY_1\) + +d.h. \(H_0 : \mu = 0\) gegen \(H_1 : \mu \neq 0\) mit Testgröße: +\[ T := \frac{\sqrt{n} \overline z}{\sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n(z_i-\overline z)^2}} = \frac{\sqrt{n}\overline z}{s_z} \sim t_{n-1} \] + +\section*{Lineare Regression} + +\[ Y = Y\beta + \epsilon \text{ mit } E(\epsilon) = 0 \text{ und } C(\epsilon)=\sigma^2 I_n\] + +Daten = Systematische Komponente + Rauschen + +\subsection*{Kleinste-Quadrate-Methode} + +\[ \| y - \hat y \|^2 = \min_{\beta \in \R^p} \|y - X\beta\|^2 \] + +Orthproj.: \(\hat y = Hy\) mit \(H := X(X^\top X)^{-1} X^\top \in \R^{n \times n}\) + +Ist \(X^\top Y\) invbar. so ist \emph{Kleinste-Quadrate-Schätzer}: +\[ \hat\beta = (X^\top X)^{-1} X^\top y \] + +Der Erwartungswertvektor von \(\hat\beta\): +\[ E(\hat\beta) = E((X^\top X)^{-1} X^\top Y) = \beta \] + +Die Kovarianzmatrix von \(\hat\beta\): +\[ C(\hat\beta) = \sigma^2 (X^\top X)^{-1} \] + +\(\sigma^2\) ist unbekannt. Geschätzt durch: +\[ \hat\sigma^2 = \frac{1}{n-p} \|\hat\epsilon\|^2 = \frac{1}{n-p} \|Y-\hat Y\|^2 \] + +\subsubsection*{Residuen-Quadratsumme (RSS)} + +\[ \|\hat\epsilon\|^2 = \|y - \hat y\|^2 = y^\top (I_n-H) y \] + +\subsubsection*{Normalgleichung} + +\[ X^\top X \beta = X^\top y \] + +\subsubsection*{Bestimmtheitsmaß} + +\vspace*{-3mm} +\begin{align*} +R^2 :&= 1 - \frac{\sum_{i=1}^n (y_i - \hat y_i)^2}{\sum_{i=1}^n (y_i - \overline y_n)^2} = 1 - \frac{\text{RSS}}{\text{TSS}} \\ +&= \frac{\sum_{i=1}^n (\hat y_i - \overline y_n)^2}{\sum_{i=1}^n (y_i - \overline y_n)^2} \in [0,1] +\end{align*} + +\subsubsection*{Adjustiertes Bestimmtheitsmaß} + +\[ R_a^2 := 1 - \frac{n-1}{n-p} (1-R^2) = 1 - \frac{\hat\sigma^2}{s_y^2} \] |