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diff --git a/lineare_algebra.tex b/lineare_algebra.tex index 2393a1f..3f0e022 100644 --- a/lineare_algebra.tex +++ b/lineare_algebra.tex @@ -386,7 +386,7 @@ $||v+w||^2 = \langle v, v \rangle + 2\langle v, w \rangle + \langle w, w \rangle $v \perp w \Leftrightarrow ||v||^2 + ||w||^2 = ||v+w||^2$ -\subsection*{Orthogonalisierungsverfahren} +\subsection*{Orthogonalisierung mit Gram-Schmidt} Sei $V$ euklidischer Vektorraum und $\{v_1, ..., v_k\} \subset V$ linear unabhängige Teilmenge mit $k$ Elementen. @@ -449,6 +449,17 @@ $\forall \lambda \in Spec(A) : |\lambda| = 1$ Orthogonale Matrizen sind normal und somit diagonalisierbar. +\subsection*{Iwasawa- / QR-Zerlegung} + +Zerlegung von $A \in GL_n(\mathbb{K})$ in das Produkt aus einer orthogonalen bzw. unitären Matrix und einer oberen Dreiecksmatrix. $A = Q \cdot R$. + +\begin{enumerate}[leftmargin=4mm] + \item Spalten von $A$ orthonormalisieren + \item $Q$ sind die orthonormalisierten Spalten von $A$ + \item Beträge der orthogonalen aber nicht normalisierten Spalten von $A$ bilden Hauptdiagonale von $R$ + \item Skalarprodukte von Spalten $Q$ mit Spalten $A$ bilden obere Dreieckswerte +\end{enumerate} + \section*{Isometrien} Für metrische Räume $(X, d)$ und $(Y, e)$ ist $\phi : X \rightarrow Y$ eine Isometrie oder abstandserhaltende Abbildung, wenn: @@ -494,7 +505,7 @@ $$\begin{pmatrix} & & & & D_{\psi_l} \end{pmatrix}$$ -Wobei $D_{\psi_i} = \begin{pmatrix} cos(\psi_i) & -sin(\psi_i) \\ sin(\psi_i) & cos(\psi_i) \end{pmatrix}$ Drehkästchen ist. +Wobei $D_{\psi_i} = \begin{pmatrix} cos(\psi_i) & -sin(\psi_i) \\ sin(\psi_i) & cos(\psi_i) \end{pmatrix}$ Drehkästchen. \subsubsection*{Bestimmung Isometrienormalform} |