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index 2b78267..99c7ab0 100644
--- a/content.tex
+++ b/content.tex
@@ -593,6 +593,7 @@ Nach Durchführung der drei Vervollständigungsschritte haben wir die Invariante
 

 % ToDo: Randfälle der Restriktion ausarbeiten, analog zu Interpolation (fehlt im Paper)

 % ToDo: Experimentelle Begründung, warum Kopplungsformel immer auf alle Richtungen angewandt wird

+% ToDo: Bemerkungen zu MPI Unterstützung

 

 \newpage

 \section{Implementierung in OpenLB}

@@ -792,41 +793,49 @@ Hiermit sind die zentralen Bestandteile der Umsetzung des Verfahrens von Lagrava
 

 Die Auswahl von Beispielen zur Evaluation der Qualität eines Gitterverfeinerungsverfahrens gestaltet sich ohne Detailkenntnis des Versuchsaufbaus eines real zu simulierenden Strömungsproblem zunächst unklarer, als man annehmen könnte. So stellt OpenLB zwar eine gute Auswahl verschiedener Simulationsbeispiele bereit, aber nur wenige von ihnen beinhalten auch analytische Lösungen oder auch nur einfach zu verwendende Vergleichsdaten realer Versuche.

 

-Unter diesen Einschränkungen ist es -- abseits offensichtlicher Gütekriterien wie dem Ausschluss divergierender Simulationen -- schwer zu sagen, ob zwei auf verschiedenen Weisen simulierte Lösungen nun besser oder schlechter als die jeweils andere Lösung sind. Entsprechend beschränken wir uns auf die Betrachtung der folgenden Gütekriterien:

+Unter diesen Einschränkungen ist es -- abseits offensichtlicher Gütekriterien wie dem Ausschluss divergierender Simulationen -- schwer zu sagen, ob zwei auf verschiedenen Weisen simulierte Lösungen nun besser oder schlechter als die jeweils andere Lösung sind. Entsprechend beschränken wir uns je nach Beispiel auf die Betrachtung einer Auswahl der folgenden Gütekriterien:

 \begin{enumerate}

 	\item Subjektive Qualität des Strömungsbildes

 	\item Erhalt von Masse im Gitterübergang

 	\item Stetigkeit der Momente im Gitterübergang

+	\item Vergleich der Lösungen von lokal verfeinerten und global hochaufgelösten Gittern

 \end{enumerate}

 

 \subsection{Rohrströmung}

 

-Als Einstiegspunkt wollen wir zunächst die grundsätzliche Funktion des Verfeinerungsverfahren an einem möglichst einfachen Beispiel gegen möglichst korrekte Vergleichsdaten testen. Ein solches Beispiel ist gegeben durch die laminare Strömung in einem geradenen Rohr mit kreisförmigem Querschnitt und ohne jegliche Hindernisse abseits der Wände.

+Als Einstiegspunkt wollen wir zunächst die grundsätzliche Funktion des Verfeinerungsverfahren an einem möglichst einfachen Beispiel gegen möglichst korrekte Vergleichsdaten testen. Ein solches Beispiel ist gegeben durch die laminare Strömung in einem Rohr mit kreisförmigem Querschnitt und ohne Hindernisse abseits der Wände.

 

-Eine solche Rohrströmung stellt nicht nur eine der denkbar einfachsten Strömungssituationen dar, sondern besitzt als Poiseuille Fluss auch eine analytische Lösung, so dass wir ideale Vergleichbedingungen erhalten. Lieferte unser Verfahren hier keine guten Ergebnisse, wäre nicht davon auszugehen, dass dies sich in komplexeren Situationen verbessern würde.

+Eine solche Rohrströmung stellt nicht nur eine der denkbar einfachsten Strömungssituationen dar, sondern besitzt als Poiseuille-Fluss auch eine analytische Lösung, so dass wir ideale Vergleichsbedingungen vorfinden. Lieferte unser Verfahren in diesem Beispiel keine guten Ergebnisse, wäre nicht davon auszugehen, dass dies sich in komplexeren Situationen verbessern würde.

 

 \begin{figure}[h]

 \begin{adjustbox}{center}

-\input{img/poiseuille2d_setup.tikz}

+\input{img/poiseuille2d_grid.tikz}

 \end{adjustbox}

 \caption{Gitterstruktur einer halbseitig verfeinerten Rohrströmung}

 \label{fig:PoiseuilleSetup}

 \end{figure}

 

-Wir wollen in einem Rohr mit Dimensionen \(1 \times 4\) in Längeneinheiten einen Poiseuille Fluss simulieren. Als Auflösung der Längeneinheit sei dabei \(N=10\) gewählt, was in der Gitterdiskretisierung durch \(11 \times 21\) grobe und \(21 \times 43\) feine Knoten abgebildet wird. In Abbilddung~\ref{fig:PoiseuilleSetup} sehen wir das resultierende Gitter zusammen mit den zugewiesenen Materialzahlen.

+Wir wollen in einem Rohr mit Dimensionen \(1 \times 4\) in Längeneinheiten einen Poiseuille-Fluss simulieren. Als Auflösung der Längeneinheit sei dabei \(N=10\) gewählt, was in der Gitterdiskretisierung durch \(11 \times 21\) grobe und \(21 \times 43\) feine Knoten abgebildet wird. In Abbilddung~\ref{fig:PoiseuilleSetup} sehen wir das resultierende Gitter zusammen mit den zugewiesenen Materialzahlen.

 

-Diese Materialzahlen werden dabei wie folgt an das Strömungsverhalten modellierende \class{Dynamics} gebunden: Wandzellen werden mit einfachen Bounce-Back Randbedingungen umgesetzt. Weiter wird für den Einfluss wird eine Geschwindigkeitsrandbedingung mit dem analytischen Poiseuille Geschwindigkeitsprofil gesetzt. Der Ausfluss erhält eine korrespondierende Druckrandbedingung. Die verbleibenden Fluidzellen werden mit Ausnahme der Durchführung des, allen Gitterzellen dieser Arbeit gemeinen, D2Q9 BGK Kollisions- und Strömungsschritt nicht besonders behandelt.

+Wandzellen werden nach dieser Vorlage mit einfachen ungerichteten Bounce-Back Randbedingungen umgesetzt. Weiter wird für den Einfluss eine Geschwindigkeitsrandbedingung mit dem analytischen Poiseuille-Geschwindigkeitsprofil gesetzt. Der Ausfluss erhält eine korrespondierende Druckrandbedingung. Die verbleibenden Fluidzellen benötigen mit Ausnahme der Durchführung des, allen Gitterzellen dieser Arbeit gemeinen, D2Q9 BGK Kollisions- und Strömungsschritt keine besondere Behandlung.

 

+Neben diesen knotenspezifischen Eigenschaften sei \(u=0.01\) die charateristische Geschwindigkeit in Lattice-Einheiten und \(\text{Re}=10\) die modellierte Reynolds-Zahl. Erstellen wir unsere grobe \class{Grid2D} Instanz mit diesen, die Relaxionszeit \(\tau\) fixierenden, Werten und führen die Simulation bis zur Konvergenz aus, erblicken wir bei geeigneter Aufbereitung in ParaView~\cite{paraview05} schließlich das in Abbildung~\ref{fig:PoiseuilleSim} ersichtliche Strömungsbild. Konvergenz bedeutet in diesem Kontext, dass die durchschnittliche Energie des feinen Gitters unter einen Residuumswert, hier \(1\mathrm{e}{-5}\), gefallen ist.

 \begin{figure}[h]

-\includegraphics[width=1.1\textwidth,center]{img/static/refined_poiseuille_1.png}

+\begin{adjustbox}{center}

+\input{img/poiseuille2d_velocity_grid.tikz}

+\end{adjustbox}

 \caption{Norm der Geschwindigkeiten im simulierten Poiseuille Fluss}

 \label{fig:PoiseuilleSim}

 \end{figure}

 

-Neben dieses knotenspezifischen Materialeigenschaften sei \(0.01\) die charateristische Geschwindigkeit in Lattice-Einheiten und \(10\) die modellierte Reynolds-Zahl. Konstruieren wir unsere grobe \class{Grid2D} Instanz mit diesen Werten und führen die Simulation aus, erblicken wir bei Darstellung in ParaView schließlich das in Abbildung~\ref{fig:PoiseuilleSim} ersichtliche Strömungsbild.

+Bei erster Betrachtung lässt sich erkennen, dass die Strömung den Gitterübergang subjektiv ideal bestritten hat. Es treten also keine ungewöhnlichen Artefakte im Geschwindigkeitsbild auf und dieses setzt sich nach dem Übergang in bis auf die neuen Zwischenwerte unveränderter Weise fort. Tatsächlich ist bei Interpolation der Knotenzwischenbereiche zur Bildung einer geschlossenen Fläche kein Gitterübergang erkennbar.

 

 \subsubsection{Vergleich der Interpolationsverfahren}

 

+Den Poiseuille Simulationsaufbau können wir an dieser Stelle auch zur Nachvollziehung des, von Lagrava et al. für die Verwendung eines Verfahrens vierter Ordnung in der räumlichen Interpolation feiner Übergangsknoten ohne koinzidierende grobe Stützpunkte hervorgebrachten \cite[Kap.~3.7]{lagrava12}, Arguments verwenden.

+

+Wir setzen dazu \(N=50\) als Auflösung der Längeneinheit, \(\text{Re}=100\) als Reynolds-Zahl und eine Geschwindigkeitsrandbedingung mit Poiseuilleprofil im Ausfluss. Führen wir dann die Simulation mit dem linearen Interpolationsverfahren (\ref{eq:ipol2ord}) aus und vergleichen den Verlauf des physikalischen Drucks auf einer vertikal zentrierten horizontalen Linie mit den, aus einem Durchlauf mit dem Verfahren vierter Ordnung (\ref{eq:ipol4ord}) gewonnen, Daten, erhalten wir den in Abbildung~\ref{fig:massloss} zu sehenden Plot.

+

 \begin{figure}[h]

 \centering

 \input{img/massloss_interpolation_plot.tikz}

diff --git a/img/data/poiseuille2d_bisected_re100_both_with_pressure_outflow_condition.csv b/img/data/poiseuille2d_bisected_re100_both_with_pressure_outflow_condition.csv
new file mode 100644
index 0000000..973855b
--- /dev/null
+++ b/img/data/poiseuille2d_bisected_re100_both_with_pressure_outflow_condition.csv
@@ -0,0 +1,402 @@
+x;linear;cubic
+0;1,3442093;1,337237
+0,0099999998;1,343123;1,3361505
+0,02;1,3420365;1,3350641
+0,029999999;1,3415546;1,3345822
+0,039999999;1,3410728;1,3341004
+0,050000001;1,3405125;1,3335401
+0,059999999;1,3399522;1,3329799
+0,07;1,339204;1,3322315
+0,079999998;1,3384557;1,3314832
+0,090000004;1,3377351;1,3307626
+0,1;1,3370144;1,330042
+0,11;1,3363459;1,3293736
+0,12;1,3356774;1,3287051
+0,13;1,3349508;1,3279785
+0,14;1,3342241;1,3272518
+0,15000001;1,3333966;1,3264242
+0,16;1,3325691;1,3255968
+0,17;1,3316529;1,3246806
+0,18000001;1,3307365;1,3237642
+0,19;1,3299466;1,3229743
+0,2;1,3291568;1,3221844
+0,20999999;1,3284302;1,3214579
+0,22;1,3277035;1,3207313
+0,23;1,3266593;1,3196871
+0,23999999;1,3256153;1,318643
+0,25;1,3245734;1,3176011
+0,25999999;1,3235316;1,3165593
+0,27000001;1,3228744;1,3159022
+0,28;1,3222173;1,3152452
+0,28999999;1,321318;1,3143457
+0,30000001;1,3204186;1,3134463
+0,31;1,3191464;1,3121741
+0,31999999;1,3178742;1,310902
+0,33000001;1,3170393;1,3100671
+0,34;1,3162044;1,3092322
+0,34999999;1,3155496;1,3085774
+0,36000001;1,3148947;1,3079226
+0,37;1,3136718;1,3066996
+0,38;1,3124489;1,3054767
+0,38999999;1,3112869;1,3043147
+0,40000001;1,3101249;1,3031528
+0,41;1,3095057;1,3025337
+0,41999999;1,3088866;1,3019147
+0,43000001;1,3079678;1,3009957
+0,44;1,307049;1,3000768
+0,44999999;1,3057228;1,2987506
+0,46000001;1,3043966;1,2974244
+0,47;1,3035252;1,2965531
+0,47999999;1,3026538;1,295682
+0,49000001;1,3019888;1,295017
+0,5;1,301324;1,2943522
+0,50999999;1,3001562;1,2931843
+0,51999998;1,2989885;1,2920163
+0,52999997;1,297825;1,2908528
+0,54000002;1,2966615;1,2896893
+0,55000001;1,2959603;1,2889884
+0,56;1,2952591;1,2882874
+0,56999999;1,2943913;1,2874193
+0,57999998;1,2935234;1,2865514
+0,58999997;1,2923076;1,2853353
+0,60000002;1,2910917;1,2841192
+0,61000001;1,2901515;1,2831795
+0,62;1,2892113;1,2822397
+0,63;1,288488;1,2815166
+0,63999999;1,2877648;1,2807933
+0,64999998;1,2867349;1,279763
+0,66000003;1,285705;1,2787325
+0,67000002;1,2845967;1,2776244
+0,68000001;1,2834883;1,2765161
+0,69;1,2826748;1,2757031
+0,69999999;1,2818612;1,2748901
+0,70999998;1,2810256;1,2740542
+0,72000003;1,2801901;1,2732182
+0,73000002;1,2791193;1,2721468
+0,74000001;1,2780484;1,2710755
+0,75;1,2770758;1,2701035
+0,75999999;1,276103;1,2691315
+0,76999998;1,2753022;1,2683311
+0,77999997;1,2745014;1,2675304
+0,79000002;1,2735738;1,2666017
+0,80000001;1,2726461;1,2656729
+0,81;1,2716198;1,2646468
+0,81999999;1,2705934;1,2636206
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+0,83999997;1,2688159;1,2618455
+0,85000002;1,2679751;1,2610037
+0,86000001;1,2671343;1,2601621
+0,87;1,2661741;1,2592006
+0,88;1,2652137;1,258239
+0,88999999;1,2642488;1,2572758
+0,89999998;1,2632841;1,2563127
+0,91000003;1,2624226;1,2554518
+0,92000002;1,261561;1,254591
+0,93000001;1,2606857;1,2537131
+0,94;1,2598104;1,2528352
+0,94999999;1,2588557;1,2518806
+0,95999998;1,257901;1,2509261
+0,97000003;1,2569755;1,2500036
+0,98000002;1,2560501;1,2490811
+0,99000001;1,2551947;1,2482238
+1;1,2543392;1,2473664
+1,01;1,2534509;1,246475
+1,02;1,2525625;1,2455835
+1,03;1,2516141;1,2446386
+1,04;1,2506655;1,2436936
+1,05;1,2497636;1,2427934
+1,0599999;1,2488617;1,2418933
+1,0700001;1,2480205;1,2410464
+1,08;1,2471795;1,2401996
+1,09;1,2462771;1,2392972
+1,1;1,2453748;1,2383949
+1,11;1,2444205;1,237447
+1,12;1,2434661;1,2364993
+1,13;1,2426028;1,2356322
+1,14;1,2417395;1,2347651
+1,15;1,2409135;1,2339318
+1,16;1,2400875;1,2330986
+1,17;1,2391422;1,2321603
+1,1799999;1,2381967;1,231222
+1,1900001;1,2372534;1,2302833
+1,2;1,2363102;1,2293445
+1,21;1,2355151;1,2285373
+1,22;1,2347201;1,2277302
+1,23;1,2338657;1,2268746
+1,24;1,2330115;1,2260191
+1,25;1,2320049;1,2250264
+1,26;1,2309983;1,2240335
+1,27;1,230132;1,2231603
+1,28;1,2292657;1,2222871
+1,29;1,2285267;1,2215323
+1,3;1,2277877;1,2207776
+1,3099999;1,226826;1,2198291
+1,3200001;1,2258642;1,2188805
+1,33;1,2248514;1,2178777
+1,34;1,2238384;1,216875
+1,35;1,2231195;1,2161324
+1,36;1,2224005;1,2153897
+1,37;1,2216136;1,2145982
+1,38;1,2208269;1,2138067
+1,39;1,2197237;1,2127299
+1,4;1,2186207;1,211653
+1,41;1,2177451;1,2107663
+1,42;1,2168695;1,2098796
+1,4299999;1,2162664;1,2092458
+1,4400001;1,2156633;1,2086118
+1,45;1,2146745;1,207644
+1,46;1,2136855;1,2066762
+1,47;1,2125583;1,2055686
+1,48;1,211431;1,2044607
+1,49;1,2108151;1,2038045
+1,5;1,2101991;1,2031484
+1,51;1,2095141;1,2024512
+1,52;1,2088293;1,2017542
+1,53;1,2076025;1,2005687
+1,54;1,2063758;1,199383
+1,55;1,2054721;1,1984644
+1,5599999;1,2045684;1,1975458
+1,5700001;1,2041252;1,1970528
+1,58;1,2036821;1,1965599
+1,59;1,2026877;1,1955907
+1,6;1,2016934;1,1946217
+1,61;1,2004519;1,1934078
+1,62;1,1992103;1,1921939
+1,63;1,1986642;1,1915946
+1,64;1,1981181;1,1909952
+1,65;1,1975384;1,190393
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+1,73;1,1908345;1,1836238
+1,74;1,1899147;1,1827186
+1,75;1,1886916;1,1815169
+1,76;1,1874685;1,180315
+1,77;1,1868575;1,1796579
+1,78;1,1862465;1,1790007
+1,79;1,1856875;1,1784153
+1,8;1,1851285;1,17783
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+1,84;1,1810296;1,1737417
+1,85;1,1804826;1,1731607
+1,86;1,1799358;1,1725796
+1,87;1,1791577;1,1717954
+1,88;1,1783798;1,1710111
+1,89;1,1773704;1,1699975
+1,9;1,1763611;1,1689837
+1,91;1,1755831;1,1681917
+1,92;1,174805;1,1673998
+1,9299999;1,174148;1,1667334
+1,9400001;1,1734909;1,166067
+1,95;1,1726685;1,1652299
+1,96;1,171846;1,1643928
+1,97;1,1709638;1,1635048
+1,98;1,1698633;1,1626168
+1,99;1,162421;1,1619451
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