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\section{Einführung}

\subsection{Wieso Strömungen simulieren?}

Das hoch technisierte Lebensumfeld des modernen Menschen ist ohne ein detailliertes Verständnis des Verhaltens der, durch ihn in wachsendem Maße kontrollierten, Natur undenkbar. Eine wichtige Komponente dieses Naturverständnisses ist das Wissen um das Verhalten von Flüssigkeiten und Gasen, die sich als Strömungen bewegen. Ohne dieses Verständnis führe kein Automobil, flöge kein Flugzeug und drehten sich weder ein Windrad um seine Achse noch ein Satellit um unseren Planeten.

Experimente zur Bestimmung des Verhaltens von Strömungen -- z. B. in Wind- und Wasserkanälen -- sind möglich, liefern naturnaheste Ergebnisse und stellen eine zentrale Komponente der Entwicklung eben genannter Errungenschaften dar. Leider sind reale Experimente im Allgemeinen nicht nur sehr aufwendig in Aufbau und Durchführung, sondern stoßen auch insbesondere bei der Betrachtung mikroskopischer Probleme -- etwa im Bereich der Medizin, deren menschliches Subjekt zu einem großen Teil ebenfalls eine \emph{Strömungsmaschine} bildet -- an Grenzen von Messmethoden und Ethik.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=0.35]{img/static/nose.png}
\caption{Strömung in der komplexen Geometrie der menschlichen Nase \cite{olbNose}}
\end{figure}

So trifft es sich, dass der Wunsch nach theoretischer Lösung komplexer und nur schwer analytisch zugänglicher Strömungsprobleme mit der Entwicklung von immer leistungsfähigeren Rechenmaschinen nicht nur einherging, sondern auch eine der Triebfedern in deren initialen Entwicklung war. Moderne numerische Verfahren zur Simulation von Strömungen versprechen eine zunehmende Reduzierung benötigter realer Experimente und sind heute gängiges Werkzeug in Forschung und Maschinenbau.

\subsection{Weshalb mit Lattice Boltzmann Methoden?}

Während \emph{Finite Elemente Methoden} die wohl verbreitetsten Zugänge zur Lösung der strömungsbeschreibenden partiellen Differentialgleichungen und somit der numerischen Strömungsmechanik bilden, erfreut sich auch die Herangehensweise der \emph{Lattice Boltzmann Methoden} (LBM) in den letzten Jahrzehnten wachsender Nutzbarkeit und Verbreitung. Im Gegensatz zu anderen Lösungsmethoden werden hier die Navier-Stokes Gleichungen nicht direkt numerisch gelöst. Lösungen ergeben sich vielmehr aus der Simulation des Fluidverhaltens auf \emph{mesoskopischer} Ebene -- d. h. aus der Betrachtung nicht aus Sicht der Kollision einzelner Fluidpartikel und nicht aus Sicht der analytischen Strömungsbeschreibung, sondern aus Sicht der Wahrscheinlichkeit, dass sich Fluidatome zu bestimmter Zeit an einem bestimmten Ort mit einer bestimmten mikroskopischen Geschwindigkeit bewegen.

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Ein Vorteil dieses, auf den Arbeiten von Ludwig Eduard Boltzmann im Bereich der statistischen Physik aufbauenden, Ansatzes, ist seine Eignung für komplexe Geometrien mit verschiedensten Randbedingungen \cite{Aidun10}. Weiterhin gewinnt in den letzten Jahren auch die sehr gute Parallelisierbarkeit von LBM in Hinblick auf einen technischen Fortschritt an Anziehungskraft, nach welchem die Leistungsfähigkeit von Großrechnern eher aus deren Parallelität als aus individueller Prozessorleistung erwächst.

\subsection{Warum Gitterverfeinerung?}

Die einfachsten und zugleich am weitesten verbreiteten Umsetzungen von Simulationen mit LBM basieren auf uniformen Gittern, in denen Zellen immer den gleichen Abstand zu ihren Nachbarzellen haben.

Die Genauigkeit von Lattice Boltzmann (LB) basierenden Simulationen hängt maßgeblich von der Auflösung des verwendeten Gitters ab. Bei Außerachtlassung weiterer wichtiger Faktoren wie dem verwendeten Kollisionsterm und Randkonditionen kann im Allgemeinen davon ausgegangen werden, dass eine feinere Auflösung des Gitters zu besseren Ergebnissen führt.

In praktischen Beispielen können innerhalb eines Modells große Unterschiede in der Strömungskomplexität existieren. So kann es große Gebiete eines Modells geben, die mit einem vergleichsweise groben Gitter gut simuliert werden können, während in anderen Gebieten -- beispielsweise in komplexen Geometrien und an Rändern mit turbulenten Grenzschichten -- ein vielfach feineres Gitter zur adäquaten Behandlung benötigt wird. In uniformen Gittern muss jedoch das gesamte Modell unabhängig der lokalen Situation mit der maximal benötigten Auflösung abgebildet werden.

Da die Anzahl der benötigten Gitterpunkte sich maßgeblich auf den Speicherbedarf und Rechenaufwand auswirkt, ist es wünschenswert, diese zu minimieren. Ein Ansatz, dies zu erreichen, ist die lokale Variation der Gitterauflösung.

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\section{Grundlagen}

In diesem Kapitel werden wir die, dem weiteren Verlauf dieser Arbeit zugrunde liegende, Lattice Boltzmann Methode in 2D nachvollziehen.

\subsection{Lattice Boltzmann Methode}\label{kap:LBM}

Grundlage und Namensgeber von Simulationen mit Lattice Boltzmann Methoden ist die Boltzmann Gleichung. Sie beschreibt das Verhalten von Gasen auf mesoskopischer Ebene als Verteilungsfunktion der Masse von Partikeln in einer Raumregion mit gegebener Geschwindigkeit.

\begin{Definition}[Die Boltzmann-Gleichung]
Sei \(f(x,\xi,t)\) die Verteilungsfunktion der Partikelmasse zu Zeit \(t\) in Ort \(x \in \R^2\) mit Geschwindigkeit \(\xi \in \R^2\), \(\rho\) die Dichte und \(F \in \R^2\) eine etwaige äußere Kraft. Die Boltzmann-Gleichung beschreibt die zeitliche Veränderung der Verteilungsfunktion anhand des totalen Differential \(\Omega(f)\):
\[ \Omega(f) = \left( \frac{dt}{dt} \partial_t + \frac{dx}{dt} \partial_x + \frac{d\xi}{dt} \partial_\xi \right) f = \left( \partial_t + \xi \, \partial_x + \frac{F}{\rho} \, \partial_\xi \right) f .\]
\end{Definition}

Hierbei handelt es sich um eine Advektionsgleichung wobei der Term \(\partial_t f + \xi \, \partial_x f\) die Strömung der Partikelverteilung mit Geschwindigkeit \(\xi\) und \(\frac{F}{\rho} \, \partial_\xi f\) einwirkende Kräfte darstellt. Der Term \(\Omega(f)\) beschreibt, entsprechend als Kollisionsoperator bezeichnet, die kollisionsbedingte lokale Neuverteilung von \(f\).

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Zentrale Anforderung an den Kollisionsoperator ist die Impuls- und Masseerhaltung. Die im Folgenden betrachtete Lattice Boltzmann Methode verwendet die übliche BGK Approximation der Boltzmann-Gleichung ohne äußere Kraft von Bhatnagar, Gross und Krook (siehe \citetitle{Krueger17}~\cite[Kap.~3.5.3]{Krueger17}).
Grundlegendes Element dieser Approximation ist der BGK Operator
\[\Omega(f) := -\frac{f<