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diff --git a/content/numerik_dgl.tex b/content/numerik_dgl.tex index c27b6bb..0f573e4 100644 --- a/content/numerik_dgl.tex +++ b/content/numerik_dgl.tex @@ -33,12 +33,23 @@ $$\eta_k : \{x \in [x_0,b] | x = x_0 + i \cdot h, \ i \in \N_0 \} \to \R^n$$ \subsection*{Explizites Eulerverfahren} -$$\Phi(x,y,h) := f(x,y)$$ +$$\Phi(x,y,h) := f(x,y) \text{ d.h. Butcher-Schema: } \begin{array}{c|c} +0 & 0 \\ +\hline + & 1 +\end{array}$$ \subsection*{Implizites Eulerverfahren} $$\Phi(x,y,h) := f(x+h, g(x,y,h)), \ g = y + h \cdot f(x+h, g)$$ +Mit Butcher-Schema: $\begin{array}{c|c} +1 & 1 \\ +\hline + & 1 +\end{array}$ + + \subsection*{Konsistenz} Sei $z$ mit $z'(x) = f(x,z(x))$ die exakte AWP Lösung. @@ -98,8 +109,65 @@ Ein ESV ist \emph{konvergent}, falls: \vspace*{-4mm} $$\forall x \in [a,b], \text{hinr. glatte } f : \lim_{n \to \infty} e(x,h_n) = 0$$ +\section*{Autonomisierung} + +$$\eta := \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} \in \R^{n+1}, \ \widehat{f} : \R^{n+1} \to \R^{n+1}, \eta \mapsto \begin{pmatrix}1 \\ f(x,y)\end{pmatrix}$$ + +AWP $\eta'=\widehat{f}(\eta)$ mit Bedingung: $\eta(0) = \begin{pmatrix}x_0 \\ y_0\end{pmatrix}$ + +\subsection*{Invarianz gegen Autonomisierung} + +ESV $\Phi$ ist \emph{invariant gegen Autonomisierung}, wenn: + +$$\widehat{\Phi}_1(\eta,h)=1, \ \Phi(x,y,h) = \widehat{\Phi}_2(\eta,h), \ \eta = \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}$$ + +Wobei $\widehat{\Phi} = \begin{pmatrix}\widehat{\Phi}_1, \widehat{\Phi}_2\end{pmatrix}$ die Anwendung von $\Phi$ auf das autonomisierte System ist. + \section*{Explizite Runge-Kutta-Verfahren} +Verfahrensfunktion $\Phi$ eines $s$-stufigen RKV: + +\vspace*{-4mm} +\begin{align*} +\Phi(x,y,h) &:= b_1 k_1 + b_2 k_2 + \cdots + b_s k_s \\ +k_i &:= f(x+c_i h, y + h \sum_{j=1}^{i-1} a_{i,j} k_j) +\end{align*} +\vspace*{-8mm} + +\subsection*{Butcher-Schema} + +Darstellung der Koeffizienten $b_i, c_i$ und $a_{i,j}$: + +$$\begin{array}{c|c} +c & A \\ +\hline + & b^\intercal +\end{array}$$ + +Hierbei ist $A$ strikte untere Dreiecksmatrix. + +\subsection*{Konsistentsbedingung mit Ordnung 1} + +Konsistent mit Ordnung 1 gdw. $\displaystyle\sum_{i=1}^s b_i = 1$ + +Für die Ordnung $p$ eines $s$-stufigen RKV: $p \leq s$ + +\subsection*{Invarianzbedingung} + +RKV ist invariant gegen Autonomisierung gdw. es konsistent und $c_i$ die $i$-te Zeilensumme von $A$ ist: + +$$\sum_{i=1}^s b_i = 1 \text{ und } \sum_{j=1}^{i-1} a_{i,j} = c_i \text{ für } i=1,\dots,s$$ + +Somit genügt $(b, A)$ zur Definition von gegenüber Autonomisierung invarianter RKV. + +\subsection*{Konsistenzbedingung für Ordnung $2$} + +$$\sum_{i=1}^s b_i = 1 , \sum_{i=1}^s b_i c_i = \frac{1}{2}$$ + +\subsection*{Konsistenzbedingung für Ordnung $3$} + +$$\sum_{i=1}^s b_i = 1 , \sum_{i=1}^s b_i c_i = \frac{1}{2} , \sum_{i=1}^s b_i c_i^2 = \frac{1}{3} , \sum_{i,j=1}^s b_i a_{i,j} c_j = \frac{1}{6}$$ + \section*{Explizite Extrapolationsverfahren} \section*{Mehrschrittverfahren} |