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diff --git a/analysis_3.tex b/analysis_3.tex index dd0b27f..d524b8d 100644 --- a/analysis_3.tex +++ b/analysis_3.tex @@ -183,6 +183,6 @@ Seien $\mathcal{A}, \mathcal{B}, \mathcal{C}$ $\sigma$-Algebren auf $X, Y, Z \ne \item $f : X \rightarrow \mathbb{R}^m$ ist $\mathcal{A}$-$\mathcal{B}_m$-mb. $\\\Rightarrow g : X \rightarrow \mathbb{R}; x \mapsto |f(x)|_2$ ist $\mathcal{A}$-$\mathcal{B}_1$-mb. \item $X = W \dot\cup Z$ mit $\emptyset \neq W, Z \in \mathcal{A}$, $f : W \rightarrow Y$ ist $\mathcal{A}_W$-$\mathcal{B}$-mb., $g : Z \rightarrow Y$ ist $\mathcal{A}_Z$-$\mathcal{B}$-mb. $\Rightarrow h(x) = \begin{cases} f(x) & x \in W \\ - g(x) & x \in Z + g(x) & x \in Z \end{cases}$ ist $\mathcal{A}$-$\mathcal{B}$-mb. \end{enumerate} diff --git a/numerik_1.tex b/numerik_1.tex new file mode 100644 index 0000000..2443776 --- /dev/null +++ b/numerik_1.tex @@ -0,0 +1,121 @@ +\section*{Gleitkomma-Arithmetik} + +Für $e_{min}, e_{max} \in \mathbb{Z}$, $e_{min} < e_{max}$ ist ein Gleitkommasystem wie folgt definiert: + +\vspace*{-4mm} +\begin{align*} + \mathcal{F} &= \mathcal{F}(\beta,t,e_{min},e_{max}) \\ + &= \{ \pm m \beta^{e-t} | m \in \mathbb{N}, \beta^{t-1} \leq m \leq \beta^t - 1 \lor m = 0, \\ & \hspace*{16mm}e_{min} \leq e \leq e_{max} \} +\end{align*} + +$x \in \mathcal{F} \setminus \{0\} \Rightarrow \beta^{e_{min}-1} \leq |x| \leq \beta^{e_{max}}(1-\beta^{-1})$. + +\subsection*{Normalisierte Darstellung} + +Für $d_1 \neq 0$, $0 < d_1 \leq \beta - 1$: + +$x=\pm \beta^e ( \frac{d_1}{\beta^1} + \frac{d_2}{\beta^2} + \cdots + \frac{d_t}{\beta^t} ) =: \pm 0.d_1 d_2 \cdots d_t \cdot \beta^e$ + +\subsection*{Relative Maschinengenauigkeit} + +$fl(x) \in \mathcal{F}$ ist die $x \in \mathbb{R}$ am nächsten liegende Gleitkommazahl. + +Für relative Maschinengenauigkeit $\epsilon := \frac{1}{2} \beta^{1-t}$: + +$\frac{|fl(x)-x|}{|x|} < \epsilon$, $\frac{|fl(x)-x|}{|fl(x)|} \leq \epsilon$ + +\subsection*{Arithmetische Grundoperationen} + +Für $x, y \in \mathcal{F}$ sind Operationen $o \in \{x,-,*,\div\}$ bzgl. eines Gleitkommasystems definiert: + +$\tilde o(x,y) := fl(o(x,y))$ + +Zu beachten ist hier die Ungültigkeit der Assoziativ- und Distributivgesetze. + +\subsection*{Kondition mathematischer Probleme} + +Die Konditionszahl eines mathematischen Problems $(f, x)$ ist die kleinste Zahl $\kappa_f(x) \geq 0$ mit: + +\vspace*{-4mm} +$$\frac{\|f(x + \Delta x) - f(x) \|_Y}{\|f(x)\|_Y} \leq \kappa_f(x) \frac{\|\Delta x\|_X}{\|x\|_X} + o(\|\Delta x \|_X)$$ + +Für $\|\Delta x\|_X \rightarrow 0$. Ein Problem $(f, x)$ ist gut konditioniert für \emph{kleine} und schlecht konditioniert für \emph{große} Konditionszahlen $\kappa_f(x)$. + +\subsubsection*{Kondition stetig differenzierbarer Fkt.} + +Für $f \in C^1(E, \mathbb{R}^m)$ in Umgebung $E \subseteq \mathbb{R}^n$ von $x$: + +\vspace*{-2mm} +$$\kappa_f(x) = \frac{\|f'(x)\| \cdot \|x\|_X}{\|f(x)\|_Y}$$ + +\section*{Vektor- und Matrixnormen} + +\subsection*{Induzierte Matrixnorm / Operatornorm} + +Für Normen $\| \cdot \|_\circ$, $\| \cdot \|_\star$ auf $\mathbb{K}^n$ bzw. $\mathbb{K}^m$ ist eine Matrixnorm $\| \cdot \| : \mathbb{K}^{m \times n} \rightarrow [0,\infty)$ auf dem Vektorraum der $m \times n$-Matrizen definiert: + +\vspace*{-4mm} +$$\|A\| := \max_{v \in \mathbb{K}^n \setminus \{0\}} \frac{\|Av\|_\star}{\|v\|_\circ} = \max_{\{v \in \mathbb{K}^n | \|v\|_\circ = 1 \}} \|Av\|_\star$$ + +\subsubsection*{Eigenschaften} + +Für $A \in \mathbb{K}^{m \times n}$ gilt $\forall v \in \mathbb{K}^n : \|Av\|_\star \leq \|A\| \cdot \|v\|_\circ$ + +Submultiplikativität: $\|AB\| \leq \|A\| \cdot \|B\|$ + +\subsubsection*{Matrix-$p$-Normen} + +Induzierte Matrixnorm bei Wahl der $p$-Normen über $\mathbb{K}^n$ bzw. $\mathbb{K}^m$: + +\vspace*{-4mm} +$$\|A\|_p := \max_{\{v \in \mathbb{K}^n | \|v\|_p = 1 \}} \|Av\|_p \text{ für } 1 \leq p \leq \infty$$ + +\subsubsection*{Spaltensummennorm} + +Für $A = (a_1, \cdots, a_n)$ mit $a_j \in \mathbb{K}^m$: + +\vspace*{-4mm} +$$\|A\|_1 = \max_{1 \leq j \leq n} \|a_j\|_1 = \max_{1 \leq j \leq n} \sum_{i=1}^m |a_{i,j}|$$ + +\subsubsection*{Zeilensummennorm} + +\vspace*{-4mm} +$$\|A\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq m} \sum_{j=1}^n |a_{i,j}|$$ + +\subsubsection*{Spektralnorm} + +Die Matrix-$2$-Norm wird so genannt, da $\|A\|_2 = \sqrt{\lambda_{max}(A^H A)}$ für $\lambda_{max}(A^H A)$ als Bezeichner des größten Eigenwerts von $A^H A \in \mathbb{K}^{n \times n}$. + +$\|A\|_2 = \|A^H\|_2$, $\|A^H A\|_2 = \|A\|_2^2$ + +$\|Q A\|_2 = \|A\|_2$ für unitäre $Q$. + +\subsection*{Kondition einer Matrix} + +Für $A \in \mathbb{K}^{n \times n} \in GL_n{\mathbb{R}}$, $\|\cdot\|$ induzierte Matrixnorm: + +\vspace*{-4mm} +\begin{align*} +\kappa(A) &= \|A\| \cdot \|A^{-1}\| \\ +1 = \|Id\| = \|AA^{-1}\| &\leq \|A\| \cdot \|A^{-1}\| = \kappa(A) +\end{align*} + +\section*{Direkte Verfahren zur LGS Lösung} + +\subsection*{LR-Zerlegung} + +\subsection*{Cholesky-Zerlegung} + +\subsection*{QR-Zerlegung} + +\section*{Lineare Ausgleichsprobleme} + +\section*{Iterative Verfahren zur LGS Lösung} + +\subsection*{Krylow-Raum-Verfahren} + +\subsection*{cg-Verfahren} + +\subsection*{GMRES-Verfahren} + +\section*{Interpolation} |