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diff --git a/common/commands.tex b/common/commands.tex index 0162f8e..0853848 100644 --- a/common/commands.tex +++ b/common/commands.tex @@ -3,6 +3,7 @@ \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} +\newcommand{\Primes}{\mathbb{P}} \newcommand{\powerset}[1]{\mathcal{P}(#1)} \newcommand{\skp}[1]{\langle #1 \rangle} diff --git a/content/eaz.tex b/content/eaz.tex index 031e4b2..c2d73c0 100644 --- a/content/eaz.tex +++ b/content/eaz.tex @@ -16,8 +16,60 @@ Für $m, n \in \Z$ ex. $c, d \in \Z$ s.d. $mc + nd = ggT(m,n)$ \subsection*{Division mit Rest} +$\forall k \in \Z, n \in \N \exists! d \in \Z, r \in \{0,\cdots,n-1\}: k = dn+r$. + +$r$ ist Rest der Division von $k$ durch $n$. + \section*{Primzahlen} +Eine \emph{Primzahl} ist ein $1 < n \in \N$ welches keinen natürlichen Teiler außer $1$ und $p$ hat. + +$\Primes = \{ n \in \N | n > 1, \forall d,t < n : d \cdot t \neq n \}$ + +\subsection*{Fundamentalsatz der Arithmetik} + +Jedes $n \in \N$ lässt sich eindeutig als sortiertes Produkt von Primzahlen schreiben. + +\subsection*{$p$-adische Bewertung} + +Sei $p \in \Primes$. Dann: + +$\forall 0 \neq k \in \Z \exists! v_p(k) \in \N_0 : p^{v_p(k)} \mid k \land p^{v_p(k)+1} \nmid k$ + +Insb.: $k = \pm \displaystyle\prod_{p \in \Primes} p^{v_p(k)}$ + +\vspace*{-4mm} +\begin{align*} +\forall k, l \in \Z: v_p(k+l) &\geq \min\{v_p(k),v_p(l)\} \\ + v_p(k \cdot l) &= v_p(k) + v_p(l) +\end{align*} + +Weiterhin gilt für $a, b \in \N$: + +$b \mid a \iff \forall p \in \Primes : v_p(b) \leq v_p(a)$ + +$ggT(a,b) = \displaystyle\prod_{p \in \Primes} p^{e_p}$ mit $e_p = \min\{v_p(a),v_p(b)\}$ + +$kgV(a,b) = \displaystyle\prod_{p \in \Primes} p^{f_p}$ mit $f_p = \max\{v_p(a),v_p(b)\}$ + +\subsection*{Kleiner Satz von Fermat} + +Sei $p \in \Primes, c \in \Z$. Dann gilt $p \mid c^p - c$. + +\subsection*{Primzahlverteilung} + +Sei $k \in \N$. Dann ex. $M \in \N$ s.d. zwischen $M$ und $M+k$ keine Primzahl liegt. + +$\forall \epsilon > 0 \exists x_0 \in \R \forall x \geq x_0 \exists p \in \Primes : p \in [x,(1+\epsilon)x]$ + +\vspace*{2mm} + +Die Funktion $\pi(x) := \#\{ p \in \Primes | p \leq x \}$ zählt die Anzahl der Primzahlen unterhalb $x \in \R$. + +Der \emph{Primzahlsatz} besagt: $\lim_{x \to \infty} \pi(x) \cdot \frac{\log{x}}{x} = 1$. + +Der \emph{Dichtheitssatz} besagt: Die Menge aller Brüche $p/l$ mit $p, l \in \Primes$ liegt dicht in $\R_{\geq 0}$. + \section*{Magmen} Ein Magma ist Menge mit Verknüpfung $(M, \star)$ wobei $\star : M \times M \to M$ eine Abbildung ist. |