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diff --git a/content/numerik_dgl.tex b/content/numerik_dgl.tex index 0f573e4..12c2363 100644 --- a/content/numerik_dgl.tex +++ b/content/numerik_dgl.tex @@ -93,8 +93,8 @@ $$\Phi(x,y,h) := f(x + \frac{h}{2}, y + \frac{h}{2} f(x,y) )$$ \vspace*{-2mm} \begin{align*} - \Phi(x,y,h) &:= \frac{1}{2} (f(x,y) + f(x+h, g(x,y,h)) \\ - g(x,y,h) &:= y + \frac{h}{2} (f(x,y) + f(x+h,g(x,y,h)) +\Phi(x,y,h) &:= \frac{1}{2} (f(x,y) + f(x+h, g(x,y,h)) \\ +g(x,y,h) &:= y + \frac{h}{2} (f(x,y) + f(x+h,g(x,y,h)) \end{align*} \subsection*{Konvergenz} @@ -170,6 +170,65 @@ $$\sum_{i=1}^s b_i = 1 , \sum_{i=1}^s b_i c_i = \frac{1}{2} , \sum_{i=1}^s b_i c \section*{Explizite Extrapolationsverfahren} +Numerische Lösung eines AWP in $k+1$ Gittern: + +$$\begin{array}{c|ccc} +h & h_1 & \cdots & h_{k+1} \\ +\hline +\eta(x,h) & \eta(x,h_1) & \cdots & \eta(x,h_{k+1}) +\end{array}$$ + +Interpolation mit Polynom $\chi$: + +\vspace*{-2mm} +$$\chi(h_i) = \eta(x,h_i) \text{ für } i=1,\dots,k+1$$ + +Auswertung von $\chi$ in $0$: + +\vspace*{-2mm} +$$\chi(0) = \lim_{h \to 0} \chi(h) \approx \lim_{h \to 0} \eta(x,h) = y(x)$$ + +\section*{Schrittweitensteuerung} + +$h_i = x_{i+1} - x_i$ soll groß genug sein, den Aufwand für die Lösung klein zu halten und gleichzeitig klein genug um Genauigkeit zu garantieren. + +\spacing + +Der globale Diskretisierungsfehler $e(x_{i+1},h_i)$ wird durch $[e_{i+1}] = \widehat{\eta}_{i+1} - \eta_{i+1}$ geschätzt. + +$\widehat{\eta}$ soll dazu von höherer Ordnung als $\eta$ sein. + +$h_i$ wird aktzeptiert, wenn $|[e_{i+1}]| \leq \text{tol}$ für $\text{tol} > 0$. + +\vspace{-2mm} +$$[e_{i+1}] = \widehat{\eta}_{i+1} - \eta_{i+1} = h_i(\widehat{\tau}_i - \tau_i)$$ + +Differenz lokaler Fehler schätzt globalen Fehler. + +\subsection*{Adaptiver Algorithmus} + +Während $x_i < b$ setze $x := x_i + h_i$ und: + +\vspace{-4mm} +\begin{align*} +y &:= \eta_i + h_i \Phi(x_i,\eta_i,h_i) \\ +\widehat{y} &:= \eta_i + h_i \widehat{\Phi}(x_i,\eta_i,h_i) \\ +[e] &:= |y-\widehat{y}| \\ +h &:= \min\left\{rh, h_\text{max}, \varrho h_i \sqrt[p+1]{\frac{\text{tol}}{|[e]|}}\right\}, \ \varrho \in (0,1), \ r > 1 +\end{align*} + +Falls $[e] \leq \text{tol}$: + +\vspace*{-10.7mm} +\begin{align*} +\hspace*{4mm} +x_{i+1} &:= x \\ +\eta_{i+1} &:= \widehat{y} \\ +h_{i+1} &:= \min\{h, b-x_{i+1}\} +\end{align*} + +Ansonsten verwerfe Schritt mit $h_i := h$. + \section*{Mehrschrittverfahren} \section*{Partielle Differentialgleichungen} |