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diff --git a/lineare_algebra.tex b/lineare_algebra.tex index b4c441d..31c87e4 100644 --- a/lineare_algebra.tex +++ b/lineare_algebra.tex @@ -682,6 +682,25 @@ Ziel der Bestimmung einer möglichst einfachen affinen Normalform $\tilde Q$ von \item $A$ diagonalisieren mit $\tilde A = C^TAC$ \item Bestimme Mittelpunkt $d$ in $A \cdot d=-b$ \item Bestimme konstanten Term $F(d)$ - \item $\varphi(x)=Cx+f(d)$ ist gesuchte Affinität - \item $\tilde f(x) = (f \circ \varphi)(x) = x^TCx-f(d)$ durch konstanten Term teilen um $\tilde Q$ zu erhalten. + \item $\varphi(x)=Cx+d$ ist gesuchte Affinität + \item $\tilde F(x) = (F \circ \varphi)(x) = x^T\tilde Ax+F(d)$ durch konstanten Term teilen um $\tilde Q$ zu erhalten. +\end{enumerate} + +Somit wird $F(x)=x^TAx+2b^Tx+\gamma$ mittels $\varphi(x)=Cx+d$ in $(F \circ \varphi)(x)=x^T\tilde Ax+2\tilde b^Tx + \tilde\gamma$ überführt. + +Dabei gilt $\tilde A = C^TAC$, $\tilde b = C^T(Ad+b)$ und $\tilde\gamma = F(d)$. + +\subsubsection*{Euklidische Normalform} + +Ähnlich affiner Normalform, Transformation nur mit Isometrie $\varphi(x)=Cx+d$ wobei $C \in O(n)$ also Orthogonalbasis aus Eigenvektoren von $A$. + +\begin{enumerate}[leftmargin=4mm] + \item $F(x)$ als $F(x) = x^TAx + 2b^Tx + \gamma$ schreiben + \item $A$ diagonalisieren mit $\tilde A = C^TAC$ + \begin{enumerate}[leftmargin=4mm,label=(\roman*)] + \item Eigenwerte, -vektoren von $A$ bestimmen + \item Eigenvektoren orthonormalisieren + \item Orthonormalisieren benötigt hier nur Normalisieren da die Orthogonalität zwischen Eigenvektoren verschiedener Eigenwerte bei Selbstadjungiertheit von $A$ gegeben ist + \end{enumerate} + \item Alles weitere analog zu affiner Normalform \end{enumerate} |