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diff --git a/numerik_1.tex b/numerik_1.tex index 9e69555..a6f1e48 100644 --- a/numerik_1.tex +++ b/numerik_1.tex @@ -108,7 +108,7 @@ $A \in \R^{n \times n}$ ist diagonaldominant, falls: $\forall i \in \{1,\cdots,n\} : |a_{i,i}| > \sum_{j=1,j\neq i}^n |a_{i,j}|$ -Insbesondere sind solche $A$ regulär. +Insbesondere sind solche $A$ regulär. Gilt nur $\geq$ so heißt die Matrix schwach diagonaldominant. \subsection*{Positiv definite Matrizen} @@ -277,8 +277,48 @@ Ein Abbruchkriterium mit Toleranz $\tau > 0$ ist z.B. $\|u^m-u^{m-1}\| \leq \tau \subsection*{Lineare Iterationsverfahren} +$u^{k+1} = u^k + N(b-Au^k) = (Id - NA)u^k + Nb$ zu $u^0 \in \R^n$ wobei $N \in GL_n(\R)$ das jeweilige Verfahren charakterisiert. + +$M := Id - NA$ heißt Iterationsmarix. + +\subsubsection*{Spektralradius} + +$\varrho(M) = \max\{|\lambda| : \lambda \in Spec(M)\}$ + +\subsubsection*{Konvergenz} + +Ein lineares Iterationsverfahren konvergiert gdw. Spektralradius von $M$ $\varrho(M) < 1$. + +Ist $\|M\| < 1$ für induzierte Matrixnorm $\|\cdot\|$ dann konvergiert das entsprechende lineare Iterationsverfahren ebenso. + +Sind $A$ oder $A^T$ diagonaldominant so konvergieren sowohl das Jacobi- als auch das Gauß-Seidel-Verfahren. + +\subsubsection*{Gesamtschritt- / Jacobi-Verfahren} + +$$u_i^{k+1} = u_i^k + \frac{1}{a_{i,i}}\left(b_i - \sum_{j=1}^n a_{i,j} u_j^k \right) \text{ für } i = 1, \cdots, n$$ + +Für $A = D - L - R$: + +\vspace{-4mm} +\begin{align*} + u^{k+1} &= u^k + D^{-1}(b-Au^k) \\ + &= (Id - D^{-1}A)u^k + D^{-1}b +\end{align*} + +Also: $M^{Jac} = Id - D^{-1}A = D^{-1}(L+R)$, $N^{Jac} = D^{-1}$ + +\subsubsection*{Einzelschritt- / Gauß-Seidel-Verfahren} + +$$u_i^{k+1} = u_i^k + \frac{1}{a_{i,i}}\left(b_i - \sum_{j=1}^{i-1} a_{i,j} u_j^{k+1} - \sum_{j=i}^n a_{i,j} u_j^k \right)$$ + +Für $A = D - L - R$: + +$M^{GS} = (D - L)^{-1}R$, $N^{GS} = (D - L)^{-1}$. + \subsection*{Krylow-Raum-Verfahren} +$$\mathcal{U}_m(B,v) := spann\{v,Bv,B^2v, \cdots, B^{m-1}v\} \subset \R^n$$ + \subsection*{cg-Verfahren} \subsection*{GMRES-Verfahren} |