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diff --git a/lineare_algebra.tex b/lineare_algebra.tex index aa2ddf4..c1cad04 100644 --- a/lineare_algebra.tex +++ b/lineare_algebra.tex @@ -2,17 +2,21 @@ Sei $R := A \times B$ eine Relation. -\subsubsection*{Linkstotal} +\subsection*{Linkstotal} + $\forall a \in A \exists b \in B : (a,b) \in R$ -\subsubsection*{Rechtstotal / Surjektiv} +\subsection*{Rechtstotal / Surjektiv} + $\forall b \in B \exists a \in A : (a,b) \in R \text{ bzw. } f(a)=b$ -\subsubsection*{Linkseindeutig / Injektiv} +\subsection*{Linkseindeutig / Injektiv} + $\forall a_1, a_2 \in A \forall b \in B :$ \newline \hspace*{5mm} $(a_1,b) \in R \land (a_2,b) \in R \implies a_1=a_2$ -\subsubsection*{Rechtseindeutig} +\subsection*{Rechtseindeutig} + $\forall a \in A \forall b_1, b_2 \in B:$ \newline \hspace*{5mm} $(a,b_1) \in R \land (a,b_2) \in R \implies b_1=b_2$ @@ -128,7 +132,7 @@ Für einen kommutativen Ring $R$ ist die "general linear Group": $GL_p(R) := \{ A \in R^{p \times p} | \exists B \in R^{p \times p} : AB = BA = I_p \}$ -Die Matrizen in $GL_p(R)$ heißen invertierbare / reguläre Matrizen. +$A \in GL_p(R)$ sind invert. / reguläre Matrizen. \subsection*{Elementarmatrizen} @@ -156,13 +160,6 @@ $A, \tilde A \in K^{d \times d}$ ähnlich $\Leftrightarrow \exists S \in GL_d(K) \item $det(A) = det(A^T)$ \end{enumerate} -\subsubsection*{Determinante von Blockmatrizen} - -$$det(\begin{pmatrix} - A & B \\ - 0 & C -\end{pmatrix}) = det(A) * det(C)$$ - \section*{Vektorräume} Ein $K$-Vektorraum ist kommutative Gruppe $(V, +)$ mit skalarer Multiplikation $* : K \times V \rightarrow V, (a, v) \mapsto a * v$ sowie: @@ -176,9 +173,7 @@ Ein $K$-Vektorraum ist kommutative Gruppe $(V, +)$ mit skalarer Multiplikation $ \subsection*{Untervektorräume} -$K$-Untervektorraum $U$ von $V$ ist Teilmenge $U \subseteq V$ die bzgl. Addition Untergruppe von $V$ ist und für die gilt: - -$\forall a \in K, u \in U : a*u \in U$ (d.h. skalare Multiplikation geschlossen) +$K$-Untervektorraum $U$ von $V$ ist Teilmenge $U \subseteq V$ die bzgl. Addition Untergruppe von $V$ ist und für die gilt: $\forall a \in K, u \in U : a*u \in U$ (d.h. skalare Multiplikation geschlossen) \subsubsection*{Untervektorraumkriterium} @@ -204,19 +199,13 @@ Seien $V, W$ zwei $K$-Vektorräume. $\phi : V \rightarrow W$ ist Vektorraumhomom $Rang(\phi) := dim(Bild(\phi))$ mit $\phi \in Hom(V, W)$ -\subsection*{Dualräume} - -Sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Die Menge aller linearen Abbildungen $V \rightarrow K$ ist der Dualraum: $V^* := \{f: V \rightarrow K | f \text{ ist linear}\}$. - -$f \in V^*$ werden als Linearformen bezeichnet. - \subsection*{Basen} Teilmenge $B \subseteq V$ ist Basis von $V$, wenn sich $\forall v \in V$ auf genau eine Art als Linearkombination von $B$ schreiben lässt. Jede Basis von $K^p$ hat genau $p$ Elemente. \subsubsection*{Lineare Unabhängigkeit} -$\sum_{i=1}^{k} \lambda_i * v_i = 0 \Rightarrow \lambda_i = 0 \text{ } \forall i$ +$\sum_{i=1}^{k} \lambda_i * v_i = 0 \Rightarrow \forall i \in \{1, \cdots, k\} : \lambda_i = 0$ \subsubsection*{Dimension} @@ -236,6 +225,18 @@ Seien $V, W$ $K$-Vektorräume; $\phi \in Hom(V, W)$; $B, \tilde B$ Basen von $V$ $D_{\tilde C \tilde B}(\phi) = D_{\tilde C C}(I_W) * D_{CB}(\phi) * D_{B\tilde B}(I_V)$ +\subsection*{Dualräume} + +Sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Die Menge aller linearen Abbildungen $V \rightarrow K$ ist der Dualraum: $V^* := \{f: V \rightarrow K | f \text{ ist linear}\}$. + +$f \in V^*$ werden als Linearformen bezeichnet. + +\subsubsection*{Duale Basis} + +Sei $B = \{b_1, \cdots, b_n\}$ Basis von $V$, dann ist $B^* = \{b_1^*, \cdots, b_n^*\}$ Basis des Dualraums $V^*$, also die zu $B$ von $V$ duale Basis. + +Die für $b_i$ eindeutige Abb. $b_i^* : V \rightarrow \mathbb{K}$ erfüllt $b_i^*(b_i) = 1$ und $b_i^*(b_j) = 0$ für $j\neq i$. + \subsection*{Faktor- / Quotientenräume} $v_1 \thicksim v_2 \Leftrightarrow v_1 - v_2 \in U$ für $v_1, v_2 \in V$ definiert Äquivalenzrelation auf $K$-Vektorraum $V$. @@ -307,7 +308,12 @@ Falls $V=W$ heißt $P$ Bilinearform auf $V$. \subsubsection*{Ausartung} -Wenn $\forall v \in V, v \neq 0 \exists w \in W : P(v, w) \neq 0$ und $\forall w \in W, w \neq 0 \exists v \in V : P(v, w) \neq 0$, dann Paarung $P$ nicht ausgeartet. +Paarung $P$ heißt nicht ausgeartet, wenn: + +\hspace*{2mm} +$\forall v \in V, v \neq 0 \exists w \in W : P(v, w) \neq 0$ + +$\land$ $\forall w \in W, w \neq 0 \exists v \in V : P(v, w) \neq 0$ \subsection*{Orthogonalbasis} @@ -362,7 +368,7 @@ $\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{C}$ ist komplexes \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item $\forall v_1, v_2, w \in V, a \in \mathbb{C} : \text{(linear)} \\ \hspace*{4mm} \langle av_1 + v_2, w \rangle = a \langle v_1, w \rangle + \langle v_2, w \rangle$ \item $\forall v_1, v_2, w \in V, a \in \mathbb{C} : \text{(semilinear)} \\ \hspace*{4mm} \langle w, av_1 + v_2 \rangle = \overline a \langle w, v_1 \rangle + \langle w, v_2 \rangle$ - \item $\forall v, w \in V : \langle v, w \rangle = \overline{\langle w, v \rangle}$ + \item $\forall v, w \in V : \langle v, w \rangle = \overline{\langle w, v \rangle} \text{ (hermitesch)}$ \item $\forall v \in V \setminus \{0\} : \langle v, v \rangle > 0$ \end{enumerate} |