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diff --git a/content/analysis_3.tex b/content/analysis_3.tex index 9d7d845..79b20d0 100644 --- a/content/analysis_3.tex +++ b/content/analysis_3.tex @@ -40,7 +40,7 @@ Ein Mengensystem $\A \subseteq \powerset{X}$ ist $\sigma$-Algebra auf der nichtl \subsection*{Eigenschaften von $\sigma$-Algebren} -Seien $\A$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, $n \in \N$, $\forall j \in \N : A_j \in \A$, dann ist $\A$ nach den folgenden Eigenschaften abgeschlossen unter abzählbaren Mengenoperationen: +Seien $\A$ eine $\sigma$-Algebra auf $X$, $n \in \N$, $\forall j \in \N : A_j \in \A$, dann ist $\A$ nach den folgenden Eigenschaften abgeschlossen unter abzählbaren Operationen: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item $\emptyset = X^c \in \A$ @@ -80,11 +80,9 @@ $\B_m$ enthält insb. alle offenen und abgeschlossenen Mengen in $\R^m$ sowie de \subsubsection*{Charakterisierung} -\vspace*{-4mm} -\begin{align*} - \B_m &= \sigma(\{(a, b) | a, b \in \mathbb{Q}^m, a \leq b\}) \\ - &= \sigma(\{(a, b] | a, b \in \mathbb{Q}^m, a \leq b\}) -\end{align*} +$$\B_m = \sigma(\{(a, b) | a, b \in \mathbb{Q}^m, a \leq b\})$$ + +Analoges gilt auch für andere Intervalle. \section*{Maße auf $\sigma$-Algebren} @@ -108,13 +106,12 @@ Ein Wahrscheinlichkeitsmaß erfüllt $\mu(X) = 1$. Für fest gewählte $\A = \powerset{X}$, $x \in X$ ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß für $A \subseteq X$ definiert: +\vspace{-2mm} $$\delta_x(A) := \begin{cases} 1 & x \in A \\ 0 & x \notin A \end{cases}$$ -Dieses wird Punkt- / Diracmaß auf $\A$ genannt. - \subsection*{Zählmaß} Sei $\A = \powerset{\N}$ und $\forall j \in \N : p_j \in [0, \infty]$ fest gewählt. @@ -140,7 +137,7 @@ Für endliche Maße gilt insb. $\mu(A^c) = \mu(X) - \mu(A)$. \subsection*{Prämaß} -Eine Abb. $f : \A \to [0, \infty)$ ist ein Prämaß auf Ring $\A$ gdw.: +Ein $f : \A \to [0, \infty)$ ist ein Prämaß auf Ring $\A$ gdw.: \begin{enumerate}[label=(\alph*)] \item $\mu(\emptyset) = 0$ @@ -610,7 +607,7 @@ Für messbare $f : X \to \overline\R$: \vspace{-4mm} \begin{align*} \|f\|_p &= \left(\int_X |f|^p d\mu\right)^\frac{1}{p} \text{ für } p \in [1,\infty)\\ -\|f\|_\infty &= \text{esssup}_{x \in X} \|f(x)\|\\ +\|f\|_\infty &= \text{esssup}_{x \in X} |f(x)|\\ &= \inf\left\{ c > 0 | \exists \text{ NM } N_c : \forall x \in X \setminus N_c : |f(x)| \leq c\right\} \end{align*} |