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diff --git a/content/numerik_dgl.tex b/content/numerik_dgl.tex index dadb2f0..3f47161 100644 --- a/content/numerik_dgl.tex +++ b/content/numerik_dgl.tex @@ -269,8 +269,69 @@ Typischerweise bewegt sich das \emph{Steifheitsmaß} $\gamma$ für reale Beispie Zur numerischen Lösung steifer DGLs sind implizite Verfahren geeignet. +\subsection*{Implizite Runge-Kutta-Verfahren} + +\subsection*{RKV vom Kollokationstyp} + \section*{Mehrschrittverfahren} +Für $k \in \N$ wird $\eta_{i+1}$ aus $\eta_{i+1-k},\dots,\eta_i$ berechnet. + +\emph{Lineares $k$-Schrittverfahren} berechnet $\eta(\cdot,h)$: + +$$\sum_{i=0}^k \alpha_i \eta_{j+i} = h \cdot \sum_{i=0}^k \beta_i f(x_{j+i},\eta_{j+i})$$ + +Mit Koeffizienten $\alpha_i, \beta_i \in \R$ für $i \in [k]$. + +\spacing + +\emph{Explizites $k$-Schrittverfahren}: $\beta_k = 0, \ |\alpha_0|+|\beta_0| > 0$ + +\emph{Implizites $k$-Schrittverfahren}: $\beta_k \neq 0, \ \alpha_k \neq 0$ + +\subsection*{Darstellung mit Shiftoperator} + +$$(E\varphi)(x) := \varphi(x+h)$$ + +\vspace*{-4mm} + +$$\left(\sum_{i=0}^k \alpha_i E^i\right) \cdot \eta(x,h) = h \cdot \left(\sum_{i=0}^k \beta_i E^i\right) \cdot f(x,\eta(x,h))$$ + +Noch kompakter mit Polynomen $\rho(\xi) = \sum_{i=0}^k \alpha_i \xi^i$ und $\sigma(\xi) = \sum_{i=0}^k \beta_i \xi^i$: $\rho(E)\eta = h \sigma(E) f$ + +\subsection*{Konsistenz} + +\emph{Differenzenoperator} aus $\rho(E)\eta - h\sigma(E)f = 0$: + +$$L(x,y,h) := \frac{1}{h}\left(\rho(E)y(x) - h\sigma(E)y'(x)\right)$$ + +Ein lineares $k$-Schrittverfahren hat Konsistenzordnung $p$, wenn $\forall$ hinreichend glatte $f : L(x,y,h) \in \mathcal{O}(h^p)$ glm. $\forall x, h$ s.d. $[x,x+kh] \subset [x_0,b]$. + +\spacing + +Einsetzen von Einschrittverfahren in $L$ ergibt den lokalen Diskretisierungsfehler. + +\subsection*{Konsistenzcharakterisierung} + +Ein lineares $k$-Schrittverfahren hat Konsistenzordnung $p$ gdw. eine der folgenden Bed. gilt: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item Für glatte $y: L(x,y,h) \in \mathcal{O}(h^p)$ glm. in $x, h$ + \item $\forall Q \in \Pi_p : L(x,Q,h) = 0$ + \item $L(0,\text{exp},h) = \frac{1}{h}(\rho(e^h)-h\sigma(e^h)) \in \mathcal{O}(h^p)$ + \item For $m = 1, \dots, p$: \\ $\sum_{j=0}^k \alpha_j = 0, \ \sum_{j=0}^k \alpha_j j^m = m \sum_{j=0}^k \beta_j j^{m-1}$ +\end{enumerate} + +Insbesondere hat ein Mehrschrittverfahren die Ordnung $p=1$, falls: $\rho(1) = 0 \land \rho'(1) = \sigma(1)$ + +\subsection*{Konvergenz} + +Ein Mehrschrittverfahren konvergiert gegen Lösung $y \in \mathcal{C}^1(x_0,b)$ von $y'=f(x,y)$, $y(x_0)=y_0$, wenn sobald $\forall j \in [k-1] : \lim_{h \to 0} \eta(x_0+jh,h)=y_0$: + +$$\forall x \in \mathcal{G}_k \cap [x_0,b] : \lim_{h \to 0} \eta(x,h) = y(x)$$ + +Konvergentes lineares Mehrschrittverfahren ist stabil und konsistent. Insb. gilt $\rho'(1)=\sigma(1) \neq 0$. + \section*{Partielle Differentialgleichungen} \subsection*{Finite Differenzen} |