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diff --git a/lineare_algebra.tex b/lineare_algebra.tex index 3f0e022..aa2ddf4 100644 --- a/lineare_algebra.tex +++ b/lineare_algebra.tex @@ -453,6 +453,20 @@ Orthogonale Matrizen sind normal und somit diagonalisierbar. Zerlegung von $A \in GL_n(\mathbb{K})$ in das Produkt aus einer orthogonalen bzw. unitären Matrix und einer oberen Dreiecksmatrix. $A = Q \cdot R$. +\vspace*{-5mm} +$$A = \begin{pmatrix} +\vdots & \vdots & \vdots \\ +q_1 & \hdots & q_n \\ +\vdots & \vdots & \vdots +\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} +\langle a_1, q_1 \rangle & \langle a_2, q_1 \rangle & \hdots & \langle a_n, q_1 \rangle \\ +0 & \langle a_2, q_2 \rangle & \hdots & \langle a_n, q_n \rangle \\ +\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ +0 & 0 & \hdots & \langle a_n, q_n \rangle +\end{pmatrix}$$ + +\vspace*{-2mm} \begin{enumerate}[leftmargin=4mm] \item Spalten von $A$ orthonormalisieren \item $Q$ sind die orthonormalisierten Spalten von $A$ @@ -498,11 +512,11 @@ Sei $A \in U(n)$, dann gibt es $S \in U(n)$, sodass $S^{-1} A S$ Diagonalmatrix. Sei $A \in O(n)$, $d_+ := dim(Eig(A,1))$, $d_- := dim(Eig(A, -1))$ und $l = \frac{1}{2}(n - d_+ - d_-)$, dann existiert $S \in O(n)$, sodass $S^{-1} A S$ die folgende Blockgestalt hat: $$\begin{pmatrix} - I_{d_+} & & & & \\ - & -I_{d_i} & & & \\ - & & D_{\psi_1} & & \\ - & & & \ddots & \\ - & & & & D_{\psi_l} +I_{d_+} & 0 & \hdots & \hdots & 0 \\ +0 & -I_{d_i} & \ddots & \ddots & \vdots \\ +\vdots & \ddots & D_{\psi_1} & \ddots & \vdots \\ +\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ +0 & \hdots & \hdots & 0 & D_{\psi_l} \end{pmatrix}$$ Wobei $D_{\psi_i} = \begin{pmatrix} cos(\psi_i) & -sin(\psi_i) \\ sin(\psi_i) & cos(\psi_i) \end{pmatrix}$ Drehkästchen. |