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diff --git a/content/funktheo.tex b/content/funktheo.tex index 417ab8d..381c2be 100644 --- a/content/funktheo.tex +++ b/content/funktheo.tex @@ -586,3 +586,37 @@ Für Laurentreihen nach der obigen Def. gelten: \item $z_0$ ist Pol $m$-ter Ordnung \\ $\iff a_{-m} \neq 0 \land \forall n < -m : a_n = 0$ \item $z_0$ ist wesentlich $\iff \exists n_j \to -\infty : a_{n_j} \neq 0$ \end{enumerate} + +\subsection*{Residuen} + +Sei $z_0 \in \C$ isolierte Singularität von $f \in H(D)$ und $a_n$ Koeffizienten der Laurentreihe von $f$ um $z_0$. + +Das \emph{Residuum} von $f$ bei $z_0$ ist definiert als: + +$$\text{Res}(f,z_0) := a_{-1} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial B(z_0,r)} f(w) dw$$ + +Hierbei gelte $\overline B(z_0,r) \setminus \{z_0\} \subseteq D$. + +\subsubsection*{Residuensatz} + +Seien $f \in H(D)$ und $z_1, \dots, z_n \in \C$ alle isolierten Singularitäten von $f$. Sei $p$ ein geschlossener, einfacher, positiv orientierter Polygonzug in $D$ mit Bild $P$ s.d. alle $z_j$ im von $P$ umschlossenen Gebiet $G$ liegen und $\overline G \setminus \{z_1,\dots,z_n\} \subseteq D$ ist. Weiterhin sei $\gamma \in PC^1([a,b],D)$ zu $p$ auf $D$ homotop. Dann: + +\columnbreak + +\vspace*{-4mm} +$$\int_\gamma f dz = 2\pi i \sum_{j=1}^n \text{Res}(f,z_j)$$ + +\subsubsection*{Residuen von Polen $m$-ter Ordnung} + +Sei $z_0$ Pol $m$-ter Ordnung von $f \in H(D)$ und $g$ die holomorphe Fortsetzung von $(z-z_0)^m f(z)$ auf $B(z_0,r) \subseteq D$. Dann gelte: + +\vspace*{-4mm} +\begin{align*} +\text{Res}(f,z_0) &= \frac{1}{(m-1)!} g^{(m-1)}(z_0) \\ +&= \lim_{z \to z_0} \frac{1}{(m-1)!}\left(\frac{d}{dz}\right)^{m-1} ((z-z_0)^m f(z)) +\end{align*} + +Insb. gilt also für $m=1$: + +\vspace*{-2mm} +$$\text{Res}(f,z_0) = \lim_{z \to z_0}(z-z_0)f(z)$$ |