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diff --git a/content/analysis_3.tex b/content/analysis_3.tex index ae7cf5f..ec2022b 100644 --- a/content/analysis_3.tex +++ b/content/analysis_3.tex @@ -295,6 +295,12 @@ Sei $(X, \A, \mu)$ ein Maßraum, $f_n : X \to [0,\infty]$ $\A$-$\overline\B_+$-m Dies gilt nicht ohne Monotonie oder für eine fallende Folge $(f_n)_{n \in \N}$. +\subsubsection*{Summen messbarer Funktionen} + +Seien $f_j : X \to [0,\infty]$ $\A$-$\overline\B_+$-mb. für $\forall j \in \N$. Dann ist auch $\sum_{j=1}^\infty f_j$ $\A$-$\overline\B_+$-messbar und: + +$$\int_X \sum_{j=1}^\infty f_j(x) d\mu(x) = \sum_{j=1}^\infty \int_X f_j(x) d\mu(x)$$ + \subsection*{Integral für $\overline\R$-wertige Funktionen} Sei $f : X \to \overline\R$ eine $\A$-$\overline\B_1$-mb. Funktion. Dann sind auch $f_+$ und $f_-$ mb. $f$ ist Lebesgue-integrierbar, wenn: |