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diff --git a/content/numerik_1.tex b/content/numerik_1.tex index cd93797..88e2813 100644 --- a/content/numerik_1.tex +++ b/content/numerik_1.tex @@ -224,9 +224,9 @@ Für alle $A \in \R^{m \times n}$ mit $m \geq n$ und $Rang(A)=n$ existiert $A=QR $$H(v) := Id_m - 2 \frac{vv^T}{v^Tv} = Id_m - 2 \frac{vv^T}{\|v\|_2^2} \text{ für } \forall v \in \R^m \setminus \{0\}$$ -Solche Householder-Reflexionen $H(v)$ sind orthogonal, d.h. $H(v)^T=H(v)$ und $H(v)^2=Id_m$. +Solche $H(v)$ sind orthogonal und symmetrisch, d.h. $H(v)^T H(v)=Id_m$ und $H(v)^2=Id_m$. -Wegen $H(v)v=v-2v=-v$ und $\forall w \in spann\{v\}^\perp : H(w)w=w$ ist $H(v)$ Spiegelung an der Hyperebene $spann\{v\}^\perp$. +Wegen $H(v)v=v-2v=-v$ und $\forall w \in spann\{v\}^\perp : H(v)w=w$ ist $H(v)$ Spiegelung an der Hyperebene $spann\{v\}^\perp$. Solche Reflexionen können durch wiederholte Anwendung Matrizen in obere Dreiecksgestalt überführen: @@ -269,7 +269,7 @@ $$G(l,k) := \left(\begin{smallmatrix} Wobei $c$ das Diagonalelement der $l$-ten und $k$-ten Zeile, $s$ $k$-tes Element der $l$-ten Zeile, $-s$ $l$-tes Element der $k$-ten Zeile. -Givens-Rotationen sind orthogonal, $G(l,k)A$ unterscheidet sich von $A$ nur in der $l$-ten und $k$-ten Zeile. +Givens-Rotationen sind orthogonal und nicht symmetrisch. $G(l,k)A$ unterscheidet sich von $A$ nur in der $l$-ten und $k$-ten Zeile. \vspace{-4mm} $$(G(l,k)x)_i = \begin{cases} |