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diff --git a/content/eaz.tex b/content/eaz.tex index a80170f..3ec4720 100644 --- a/content/eaz.tex +++ b/content/eaz.tex @@ -386,3 +386,59 @@ Sei $M$ ein $R$-Modul und $U \subseteq M$. Dann ist $U$ \emph{Untermodul} von $M$, wenn $U$ additive Untergruppe ist und unter der skalaren Multiplikation $\cdot$ mit Elementen aus $R$ invariant ist: $U \leq M \land \forall r \in R, u \in U : r \cdot u \in U$ + +\section*{Polynomringe} + +Für kommutativen Ring $R$ ist definiert: + +$R[X] := \left\{ \displaystyle\sum_{i=0}^d r_i X^i \middle| d \in \N_0, r_i \in R \right\}$ + +$(R[X], +, *)$ ist kommutativer Ring. + +Für $f, g \in R[X]$ gilt: + +\begin{enumerate}[label=(\alph*)] + \item $deg(f+g) \leq \max(deg(f),deg(g))$ + \item $deg(f*g) \leq deg(f) + deg(g)$ + \item Für nullteilerfreie $R$ gilt in (b) Gleichheit +\end{enumerate} + +Ist $R$ nullteilerfrei so ist auch $R[X]$ nullteilerfrei und es gilt $(R[X])^\times = R^\times$. + +\subsection*{Polynomdivison} + +Sei $R$ kommutativer Ring, $f, g \in R[X]$ und $g \neq 0$ mit Einheit als Leitkoeffizient. + +Dann $\exists h, r \in R[X] : f = gh+r$ mit $deg(r) < deg(g)$. + +\section*{Algebren} + +\newcommand{\A}{\mathcal{A}} + +Eine $R$-Algebra über Ring $R$ ist Ring $\A$ mit Ringhomomorphismus $\sigma : R \to \A$ s.d. $\forall r \in R, a \in \A : \sigma(r) \cdot a = a \cdot \sigma(r)$ gilt. d.h. $\sigma(r)$ kommutiert mit $a$. + +$\sigma$ ist \emph{Strukturhomomorphismus} von $\A$. + +$\A$ ist ein $R$-Modul mit Vorschrift $(r,a) \mapsto \sigma(r) \cdot a$. + +Die Multiplikation in $\A$ ist bilinear. + +Insb. gilt $\forall r, s \in R : \sigma(r)\sigma(s) = \sigma(s)\sigma(r)$ + +\subsection*{Zentrum} + +Für Ring $A$ ist das \emph{Zentrum} definiert als: + +$Z(A) := \{ r \in A | \forall a \in A : ra=ar \}$ + +$Z(A)$ ist Teilring von $A$ und zugleich größter Teilring $R$ s.d. $A$ durch die Inklusion von $R$ nach $A$ zu einer $R$-Algebra wird. + +\vspace*{2mm} + +Für bel. kommutative Ringe $R$ ist $R[X]$ eine $R$-Algebra vermöge $\sigma : R \to R[X], r \mapsto r = rX^0$. + +\subsection*{Algebrenhomomorphismen} + +Seien $(A, \sigma), (B, \tau)$ $R$-Algebren. + +Ein Ringhomomorphismus $\Phi : A \to B$ ist zugleich Algebrenhomomorphismus, wenn $\Phi \circ \sigma = \tau$ gilt. |