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diff --git a/content/eaz.tex b/content/eaz.tex index 44ad4dc..04fde87 100644 --- a/content/eaz.tex +++ b/content/eaz.tex @@ -694,3 +694,31 @@ $\alpha \in L$ ist algebraisch $\iff [K(\alpha) : K] < \infty$. \vspace*{1mm} Sind $K \subseteq L \subseteq M$ endliche Körpererweiterungen so gilt: $[M : K] = [M : L] \cdot [L : K]$. + +\section*{Irreduzible Polynome} + +\subsection*{Eisensteinkriterium} + +Sei $R$ kommutativer nullteilerfreier Ring, $P \subseteq R$ Primideal, $f = \sum_{i=0}^d r_i X^i \in R[X]$ nichtkonstantes Polynom mit $\forall i \in \{0,\cdots,d-1\} : r_i \in P$ und $r_d \notin P$ sowie $r_0$ sei kein Produkt zweier Elemente aus $P$. + +\vspace*{1mm} + +Dann ist $f$ kein Produkt zweier Faktoren in $R[X]$, die kleineren Grad als $f$ haben. + +\vspace*{1mm} + +Insb. für $R = \Z$: $X^n - p$ mit $p \in \Primes$ sind irreduzibel. + +\subsection*{Inhalt} + +Sei $R$ Hauptidealring. Der \emph{Inhalt} $\text{Inh}(f)$ von $f \in R[X]$ mit $f \not\equiv 0$ ist def. als der Inhalt der Koeffizienten von $f$, d.h. des von diesen erzeugten Ideals. + +\subsubsection*{Lemma von Gauß} + +Sei $R$ Hauptidealring mit Quotientenkörper $K$ und $f, g \in K[X]$. Dann: $\text{Inh}(fg) = \text{Inh}(f)\cdot\text{Inh}(g)$ + +\subsection*{Irreduzibilitätskriterium} + +Sei $R$ Hauptidealring mit Quotientenkörper $K$ und $f \in R[X]$ nichtkonstant sowie in $R[X]$ kein Produkt von Faktoren kleineren Grades. + +Dann ist $f$ in $K[X]$ irreduzibel. |