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diff --git a/content/funktheo.tex b/content/funktheo.tex index 69475d0..33a0999 100644 --- a/content/funktheo.tex +++ b/content/funktheo.tex @@ -1,26 +1,15 @@ \section*{Komplexe Zahlen} -\(\C = \{ z = x+iy | x,y \in \R \}\) - - \(\C\) wird via \(z = x + iy \mapsto (x,y)\) mit \(\R^2\) identifiziert. - -\vspace*{-4mm} -\[ z \cdot w = \begin{pmatrix} x & -y \\ y & x\end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r & 0 \\ 0 & r\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{x}{r} & -\frac{y}{r} \\ \frac{y}{r} & \frac{x}{r}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v\end{pmatrix} \] - -wobei \(r := \sqrt{x^2 + y^2}\). Es gilt für die orthogonale Matrix \(D = \begin{pmatrix} \frac{x}{r} & -\frac{y}{r} \\ \frac{y}{r} & \frac{x}{r}\end{pmatrix}\): \(\det D = 1\) d.h. die komplexe Multiplikation ist eine Drehstreckung. - -\vspace*{1mm} - +\[\C = \{ z = x+iy | x,y \in \R \}\] Die Normen von \((\C,|\cdot|)\) und \((\R^2,|\cdot|_2)\) stimmen überein, ebenso Konvergenz-, Stetigkeits- und \ Offenheitseigenschaften: - -\spacing -\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} z_n = z\) in \(\C \iff \displaystyle\lim_{n \to \infty} Re \ z_n = Re \ z \\ \hspace*{26.8mm} \land \lim_{n \to \infty} Im \ z_n = Im \ z\) +\begin{align*} +\lim_{n \to \infty} z_n = z \text{ in } \C \iff \lim_{n \to \infty} Re \ z_n &= Re \ z \\ +\phantom{\lim_{n \to \infty} z_n = z \text{ in } \C \iff} \land \lim_{n \to \infty} Im \ z_n &= Im \ z +\end{align*} \subsection*{Polardarstellung} Für \(z = x +iy \in \C \setminus \{0\}\) gilt \(z = re^{i\phi}\) mit \(r = |z|\) und: - -\vspace*{-2mm} \[ \phi = \arg z := \begin{cases} \arccos \frac{x}{r} & y > 0 \\ 0 & x \in (0,+\infty) \\ @@ -28,15 +17,11 @@ Für \(z = x +iy \in \C \setminus \{0\}\) gilt \(z = re^{i\phi}\) mit \(r = |z|\ \pi & z \in (-\infty,0) \end{cases} \] -mit \(\phi \in (-\pi, \pi]\). Es gilt für \(z = re^{i\phi}, w = se^{i\psi}\): - - \(z \cdot w = rse^{i(\phi+\psi)} = |z||w|e^{i(\phi+\psi)}\). +mit \(\phi \in (-\pi, \pi]\). Es gilt für \(z = re^{i\phi}, w = se^{i\psi}\): \[z \cdot w = rse^{i(\phi+\psi)} = |z||w|e^{i(\phi+\psi)}\] \section*{Holomorphie} Eine Funktion \(f : D \to \C\) ist \emph{komplex differenzierbar} in \(z_0 \in D\), wenn: - -\vspace*{-4mm} \[ f'(z_0) := \displaystyle\lim_{z \to z_0, z \in D\setminus\{z_0\}} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \in \C \text{ existiert.} \] Ist \(f\) in \(\forall z_0 \in D\) komplex differenzierbar, so heißt \(f\) \emph{holomorph} auf \(D\) mit Ableitung \(f' : D \to \C\). @@ -48,8 +33,6 @@ Geschrieben \(f \in H(D)\). \(\C \to \C, z \mapsto 1\) und \(\C \to \C, z \mapsto z\) sind holomorph. Seien \(f, g : D \to \C\) komplex differenzierbar in \(z_0 \in \C\), \(f(z_0) \in D' \subseteq \C\) offen, \(h : D' \to \C\) in \(f(z_0)\) komplex differenzierbar, \(\alpha, \beta \in \C\): - -\vspace*{-4mm} \begin{align*} (\alpha f + \beta g)'(z_0) &= \alpha f'(z_0) + \beta g'(z_0) \\ (fg)'(z_0) &= f'(z_0)g(z_0) + f(z_0)g'(z_0) \\ @@ -62,8 +45,6 @@ Polynome \(p\) und nichtsinguläre rationale Funktionen aus Polynomen sind auf \ \subsubsection*{Konvergenzradius} Seien \(a_k \in \C, k \in \N_0\): - -\vspace*{-2mm} \[ \rho = \frac{1}{\overline\lim_{k\to\infty} \sqrt[k]{|a_k|}} \in [0,+\infty] \] ist der \emph{Konvergenzradius}. @@ -73,13 +54,9 @@ Sei \(\rho > 0, c \in \C\). Dann ex. die Potenzreihe: \(f : B(c,\rho) \to \C, z \mapsto \sum_{k=0}^\infty a_k(z-c)^k\). Diese ist auf \(B(c,\rho)\) beliebig oft komplex differenzierbar. Für \(n \in \N_0\) hat \(f^{(n)}\) den Konvergenzradius \(\rho > 0\) und es gilt für \(z \in B(c,\rho)\): - -\vspace*{-4mm} \[ f^{(n)}(z) = \sum_{k=n}^\infty k(k-1)\cdots(k-n+1)a_k(z-c)^{k-n} \] Auf diese Weise ergeben sich für \(z \in \C\): - -\vspace*{-4mm} \begin{align*} \exp(z) &= e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} \\ \sin(z) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} z^{2n+1} \\ @@ -92,7 +69,7 @@ Auf diese Weise ergeben sich für \(z \in \C\): Sei \(f : D \to \C, D \subseteq \R^2, u = Re \ f, v = Im \ f : D \to \R\). - \(f : D \to \R^2, (x,y) \mapsto u(x,y) + iv(x,y) = \begin{pmatrix} u(x,y) \\ v(x,y)\end{pmatrix}\) +\(f : D \to \R^2, (x,y) \mapsto u(x,y) + iv(x,y) = \begin{pmatrix} u(x,y) \\ v(x,y)\end{pmatrix}\) Es sind dann äquivalent: @@ -117,80 +94,31 @@ Sind \(U, V \subseteq \C\) offen und nichtleer, \(f : U \to V\) bij., \(f\) und Sei \(f : U \to V\) biholomorph, \(z \in U\). -Dann ist \(f'(z) \neq 0\) und für \(w = f(z)\) gilt: - -\vspace*{-2mm} -\[ (f^{-1})'(w) = \frac{1}{f'(f^{-1}(w))} = \frac{1}{f'(z)} \] +Dann ist \(f'(z) \neq 0\) und für \(w = f(z)\) gilt: \[ (f^{-1})'(w) = \frac{1}{f'(f^{-1}(w))} = \frac{1}{f'(z)} \] Weiterhin existieren offene nichtleere \(U \subseteq D\) mit \(u_0 \in U, V \subseteq \C\) s.d. \(\restrictedto{f}{U}\) biholomorph ist, wenn \(f \in H(d) \cap C^1(D,\R^2)\), \(z_0 \in D\) mit \(f'(z_0) \neq 0\) gilt. -\section*{Potenzen und Wurzeln} - -Für \(\theta \in (0, \pi]\) ist \(\Sigma_\theta := \{ z \in \C \setminus \{0\} | |\arg z| < \theta \}\) der \emph{offene Sektor}. - -d.h. \(\Sigma_{\pi / 2} = \C_+\) ist die offene rechte Halbebene und \(\Sigma_\pi = \C \setminus (-\infty,0]\) die geschlitzte Ebene. - -\vspace*{2mm} +\section*{Wurzeln und Exponentiale} -\(g_a = \{ a + iy | y \in \R \}\) für \(a \in \R\) ist \emph{horizontale Gerade}. - - \(h_b = \{ x + ib | x \in \R \}\) für \(b \in \R\) ist \emph{vertikale Gerade}. - -\vspace*{2mm} - -Die Potenz ist def.: \(P_n : \C \to \C, z \mapsto z^n = |z|^n e^{in\phi}\) - -Sie bildet den Halbstrahl \(s_\theta := \{ re^{i\theta} | r > 0 \}\) bijektiv auf den Halbstrahl \(s_{n\theta}\) ab. - -\subsection*{Hauptzweig der \(n\)-ten Wurzel} - -Sei \(n \in \N\) mit \(n \geq 2\). Der \emph{Hauptzweig der \(n\)-ten Wurzel} ist \(r_n = p_n^{-1} : \Sigma_\pi \to \Sigma_{\pi/n}\). - -Somit ist \(\forall w \in \Sigma_\pi\) die \(n\)-te Wurzel \(r_n(w) = z\) das einzige \(z \in \Sigma_{\pi/n}\) mit \(z^n = w\). Es gelten \(r_n(z^n) = z\) und \(r_n(w)^n = w\). - -\section*{Exponentiale und Logarithmen} +Die \(k\)-te Wurzel aus \(w \in \C\) ist def. als: \[z_k := \sqrt[k]{|w|} \exp\left(\frac{i}{k}(\arg \ w + 2k\pi)\right)\] Sei \(z = x + iy, x, y \in \R, k \in \Z\). Dann: - -\vspace*{-4mm} \begin{align*} \exp(z) &= e^x e^{iy} = e^x(\cos y + i \sin y) \\ \exp(z) &= \exp(z+2\pi ik) \\ \exp(z) &= 1 \iff z=2\pi i k \end{align*} -Für \(a, b \in \R\) gilt: \(\exp : h_b \to s_b\) ist bijektiv und \(\exp : g_a \to \partial B(0,e^a)\) ist surjektiv, nicht injektiv. - -\subsection*{Hauptzweig des Logarithmus} - -\vspace*{-4mm} -\begin{align*} - S_r(a_1,a_2) &:= \{ z \in \C | \text{Re } z \in (a_1,a_2) \} \\ - S_i(b_1,b_2) &:= \{ z \in \C | \text{Im } z \in (b_1,b_2) \} -\end{align*} -\vspace*{-6mm} - -Sind die \emph{vertikalen und horizontalen Streifen} in \(\C\). +\section*{Logarithmen und Potenzen} -\spacing +\(z \in \C\) ist \emph{Logarithmus} von \(w \in \C\) gdw.: \[\exists k \in \Z : z = \log |w| + i \arg \ w + 2k\pi i\] -\(exp : S_r(a_1,a_2) \to B(0,e^{a_2}) \setminus \overline B(0,e^{a_1})\) ist surjektiv. - - \(exp : S_i(b_1,b_2) \to \{ \omega = te^{i\phi} | t > 0, \phi \in (b_1,b_2) \}\) ist bijektiv. - -\spacing - -Der \emph{Hauptzweig des Logarithmus} ist die Abbildung \(\log = (\restrictedto{\exp}{s_i})^{-1} : \Sigma_\pi \to S_i\). - - \(\forall w \in \Sigma_\pi : z = \log(w)\) ist eind. \(z \in S_i\) mit \(\exp(z) = w\). - -Weiter gilt: \(\exp : S_i \to \Sigma_\pi\) und \(\log : \Sigma_\pi \to S_i\) sind biholomorph mit \(\log\exp(z) = z\) für \(z \in S_i\) und \(\exp\log(w) = w\), \(\log'(w) = \frac{1}{w}\) für \(w \in \Sigma_\pi\). +\emph{Hauptwert des Logarithmus} von \(w \in \C \setminus \{0\}\): \[\text{Log} \ w := \log |w| + i \arg w\] \subsection*{Allgemeine Potenz} Sei \(z = re^{i\phi} \in \Sigma_\pi\) mit \(r > 0\) und \(\phi \in (-\pi,\pi), w = x + iy \in \C\) für \(x, y \in \R\). \emph{Allgemeine Potenz} ist def.: - - \(z^w = \exp(w \log z) = r^x e^{-y\phi} e^{i(x\phi + y \ln r)}\) +\[z^w = \exp(w \log z) = r^x e^{-y\phi} e^{i(x\phi + y \ln r)}\] z.B. \(e^w = \exp(w)\) und \(i^i = e^{-\pi/2}\). @@ -205,38 +133,35 @@ Fkt \(f : [a,b] \to \C\) ist \emph{stückweise stetig}, wenn \(\forall t \in [a, Geschrieben \(f \in PC([a,b],\C)\). Solche Funktionen sind integrierbar: - -\vspace*{-4mm} \[ \int_a^b f(t) dt := \int_a^b \text{Re } f(t) dt + i \int_a^b \text{Im } f(t) dt \in \C \] \subsection*{Hauptsatz} \(f \in PC([a,b],\C)\) ist in \(t_0 \in [a,b]\) differenzierbar, wenn \(f'(t_0) := \lim_{t \to t_0} \frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0} \in \C\) existiert. - \(\iff \text{Re } f, \text{Im } f\) besitzen Ableitungen in \(\R\). +\(\iff \text{Re } f, \text{Im } f\) besitzen Ableitungen in \(\R\). -Ist \(f\) auf \([a,b]\) diffbar und \(g, f' \in C([a,b],\C)\). Dann gilt der Hauptsatz: - -\vspace*{-3mm} -\[ \int_a^b f'(t) dt = f(b) - f(a) \] +Ist \(f\) auf \([a,b]\) diffbar und \(g, f' \in C([a,b],\C)\). -\[ \exists \frac{d}{dt} \int_a^t g(s) ds = g(t) \text{ für } t \in [a,b] \] +Dann gilt der Hauptsatz: +\begin{align*} +\int_a^b f'(t) dt &= f(b) - f(a) \\ +\exists \frac{d}{dt} \int_a^t g(s) ds &= g(t) \text{ für } t \in [a,b] +\end{align*} \subsection*{Kurven und Parametrisierungen} \(\gamma \in C([a,b],\C)\) ist \emph{Kurve} oder \emph{Weg} von \(\gamma(a)\) nach \(\gamma(b)\). \(\gamma\) ist \emph{geschlossen}, wenn \(\gamma(a)=\gamma(b)\) gilt und einfach, wenn \(\gamma\) auf \([a,b)\) injektiv ist. - \(\Gamma = \gamma([a,b])\) ist \emph{Bild} oder \emph{Spur} von \(\gamma\). +\(\Gamma = |\gamma| = \gamma([a,b])\) ist \emph{Bild} oder \emph{Spur} von \(\gamma\). Gilt \(\Gamma \subseteq M \subseteq \C\), so ist \(\gamma\) Weg in \(M\). - \(\gamma\) ist auch \emph{Parametrisierung} ihres Bildes \(\Gamma\). +\(\gamma\) ist auch \emph{Parametrisierung} ihres Bildes \(\Gamma\). \subsection*{Kurvenintegral} Sei \(\gamma \in PC^1([a,b],\C)\) mit Bild \(\Gamma = \gamma([a,b])\) und \(f \in C(\Gamma,\C)\). Dann ist das \emph{komplexe Kurvenintegral}: - -\vspace*{-2mm} \[ \int_\gamma f dz = \int_\gamma f(z) dz := \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t) dt \] Die Länge von \(\gamma\) ist \(l(\gamma) = \int_a^b |\gamma'(t)| dt\). @@ -268,7 +193,7 @@ Sei \(\gamma \in PC^1([a,b],\C)\) mit Bild \(\Gamma\), \(f_n, f \in C(\Gamma,\C) Abbildung \(H : z \mapsto \int_\Gamma h(z,w) dw \in C(D,\C)\) - \(z \mapsto h(z,w) \in H(D)\) mit \(\frac{\partial}{\partial z} h \in C(D \times \Gamma, \C)\) +\(z \mapsto h(z,w) \in H(D)\) mit \(\frac{\partial}{\partial z} h \in C(D \times \Gamma, \C)\) \vspace*{-2mm} \[ \implies \frac{d}{dz} \int_\gamma h(z,w) dw = \int_\gamma \frac{\partial}{\partial z} h(z,w) dw \] @@ -306,10 +231,7 @@ Seien \(w_0 \in D, f \in C(D,\C) \cap H(D \setminus \{w_0\})\) und \(\Delta \sub \subsection*{Cauchys Integralsatz} -Seien \(D\) sternförmiges Gebiet, \(f \in H(D)\) und \(\gamma \in PC^1([a,b],D)\) geschlossen, dann gilt: - -\vspace*{-2mm} -\[ \int_\gamma f dz = 0 \] +Seien \(D\) sternförmiges Gebiet, \(f \in H(D)\) und \(\gamma \in PC^1([a,b],D)\) geschlossen, dann gilt: \[ \int_\gamma f dz = 0 \] Dies gilt auch für \(f \in C(D,\C) \cap H(D\setminus \{\omega_0\})\). @@ -318,8 +240,6 @@ Dies gilt auch für \(f \in C(D,\C) \cap H(D\setminus \{\omega_0\})\). Seien \(f \in H(D), \overline B(z_0,r) \subseteq D, n \in \N_0, z \in B(z_0,r)\) und \(s := |z-z_0| < r\). Sei \(\partial B(z_0,r)\) durch \(\gamma(t) = z_0 + re^{it}\) mit \(t \in [0,2\pi]\) parametrisiert. Dann ist \(f\) bel. oft auf \(D\) diffbar und es gelten: - -\vspace*{-4mm} \begin{align*} f^{(n)}(z) &= \frac{n!}{2\pi i} \int_{\partial B(z_0,r)} \frac{f(w)}{(w-z)^{n+1}} dw \\ |f^{(n)}(z)| &\leq \frac{n!r}{(r-s)^{n+1}} \max_{|w-z_0|=r} |f(w)| @@ -344,8 +264,6 @@ Sei \(f \in H(D)\). Dann ist \(f\) analytisch. \spacing Für \(\forall z_0 \in D\) sei \(R(z_0) := \sup\{r > 0 | B(z_0,r) \subseteq D \}\) der maximale Radius. Zusätzlich sei \(\overline r, r \in (0,R(z_0))\). Für \(z \in B(z_0, R(z_0)\) ist die Taylorreihe von \(f\): - -\vspace*{-6mm} \begin{align*} f(z) &= \sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n \\ a_n &= \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\partial B(z_0,r)} \frac{f(w)}{(w-z_0)^{n+1}} dw @@ -394,8 +312,6 @@ Somit sind \(g, h \in H(D)\) schon auf \(D\) gleich, wenn \(g, h\) auf Menge \(M \subsection*{Nullstellensatz} Sei \(f \in H(D) \neq\) Nullfkt. und \(\exists z_0 \in D : f(z_0) = 0\). Dann \(\exists m \in \N, r > 0\) mit \(B(z_0, r) \subseteq D\) und \(g \in H(B(z_0,r))\) mit \(g(z_0) \neq 0\) s.d. für \(z \in B(z_0,r)\) gilt: - -\vspace{-4mm} \begin{align*} 0 &= f(z_0) = f'(z_0) = \cdots = f^{(m-1)}(z_0), f^{(m)}(z_0) \neq 0 \\ f(z) &= (z-z_0)^m g(z) @@ -557,19 +473,15 @@ Dann ist \(f(D) \subseteq \C\) offen und \(f\) ist biholomorph. Sei \(a_n \in \C\) für \(n \in \Z\) und \(c \in \C\). - \(\sum_{n \in \Z} a_n (z-c)^n\) mit \(z \in \C\) ist die \emph{Laurentreihe}. +\(\sum_{n \in \Z} a_n (z-c)^n\) mit \(z \in \C\) ist die \emph{Laurentreihe}. Diese konvergiert, falls Grenzwerte in \(\C\) ex.: - -\vspace*{-4mm} \begin{align*} &\sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-c)^n & \text{(regulärer Anteil)} \\ &\sum_{n=1}^{+\infty} a_{-n}(z-c)^{-n} & \text{(singulärer Anteil)} \end{align*} Ist dies der Fall, wird definiert: - -\vspace*{-4mm} \[ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n(z-c)^n := \sum_{n=0}^{+\infty} a_n(z-c)^n + \sum_{n=1}^{+\infty} a_{-n}(z-c)^{-n} \] \subsubsection*{Satz von Laurent} @@ -608,10 +520,7 @@ Hierbei gelte \(\overline B(z_0,r) \setminus \{z_0\} \subseteq D\). \subsubsection*{Residuensatz} -Seien \(f \in H(D)\) und \(z_1, \dots, z_n \in \C\) alle isolierten Singularitäten von \(f\). Sei \(p\) ein geschlossener, einfacher, positiv orientierter Polygonzug in \(D\) mit Bild \(P\) s.d. alle \(z_j\) im von \(P\) umschlossenen Gebiet \(G\) liegen und \(\overline G \setminus \{z_1,\dots,z_n\} \subseteq D\) ist. Weiterhin sei \(\gamma \in PC^1([a,b],D)\) zu \(p\) auf \(D\) homotop. Dann: - -\vspace*{-4mm} -\[ \int_\gamma f dz = 2\pi i \sum_{j=1}^n \text{Res}(f,z_j) \] +Seien \(f \in H(D)\) und \(z_1, \dots, z_n \in \C\) alle isolierten Singularitäten von \(f\). Sei \(p\) ein geschlossener, einfacher, positiv orientierter Polygonzug in \(D\) mit Bild \(P\) s.d. alle \(z_j\) im von \(P\) umschlossenen Gebiet \(G\) liegen und \(\overline G \setminus \{z_1,\dots,z_n\} \subseteq D\) ist. Weiterhin sei \(\gamma \in PC^1([a,b],D)\) zu \(p\) auf \(D\) homotop. Dann: \[ \int_\gamma f dz = 2\pi i \sum_{j=1}^n \text{Res}(f,z_j) n(|\gamma|,z_j) \] \subsubsection*{Residuen von Polen \(m\)-ter Ordnung} @@ -623,24 +532,20 @@ Sei \(z_0\) Pol \(m\)-ter Ordnung von \(f \in H(D)\) und \(g\) die holomorphe Fo &= \lim_{z \to z_0} \frac{1}{(m-1)!}\left(\frac{d}{dz}\right)^{m-1} ((z-z_0)^m f(z)) \end{align*} -Insb. gilt also für \(m=1\): - -\vspace*{-2mm} -\[ \text{Res}(f,z_0) = \lim_{z \to z_0}(z-z_0)f(z) \] +Insb. gilt also für \(m=1\): \[ \text{Res}(f,z_0) = \lim_{z \to z_0}(z-z_0)f(z) \] \subsection*{Argumentprinzip} -Seien \(f \in H(D), z_1, \dots, z_n \in D\) die Nullstellen von \(f\) mit Ordnungen \(m_1, \dots, m_n \in \N\) und \(p\) geschlossener, einfacher, positiv orientierter Polygonzug in \(\hat D := D \setminus \{z_1,\dots,z_n\}\) mit Bild \(P\) s.d. die Nullstellen im von \(P\) umschlossenen Gebiet \(G\) liegen mit \(\overline G \subseteq D\). Sei \(\gamma\) in \(\hat D\) zu \(p\) homotope, geschlossene stückweise \(C^1\)-Kurve. Dann: +Sei \(D\) Gebiet, \(f \in H(D), \gamma \in PC^1(D)\) geschlossener Weg mit Umlaufzahl \(n(\gamma,a) \in \{0,1\}\) für \(a \in D \setminus |\gamma|\), \(\gamma\) nullhomolog in \(D\), \(\forall z \in |\gamma| : f(z) \neq 0\) und \(D_1 := \{a \in D | n(\gamma,a)=1\}\). Dann gilt: \[N(f,D_1) = \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f'(z)}{f(z)} dz\] -\[ \frac{1}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f'(z)}{f(z)} dz = \sum_{j=1}^n m_j \] +Hierbei ist \(N(f,D_1)\) die Anzahl Nullstellen von \(f\) in \(D_1\) inklusive deren Vielfachheiten. \subsubsection*{Satz von Rouché} -Sei \(f \in H(D), z_j \in \C, m_j \in \N\) und Weg \(\gamma\) mit Bild \(\Gamma\) entsprechend dem Argumentprinzip. \(g \in H(D)\) erfülle: \(\forall z \in \Gamma : |f(z)-g(z)| < |f(z)| + |g(z)|\) +Seien \(D, f, \gamma, D_1\) wie im Argumentprinzip und \(g \in H(D)\) s.d. \(\forall z \in |\gamma| : |f(z) - g(z)| < |g(z)|\). Dann gilt: \[N(f,D_1) = N(g,D_1)\] -Seien \(\omega_1, \dots, \omega_\nu\) Nullstellen von \(g\) im von \(\gamma\) umschlossenen Gebiet mit Vielfachheiten \(\mu_k \in \N\): +\subsubsection*{Satz von Hurwitz} -\vspace*{-2mm} -\[ \sum_{j=1}^n m_j = \sum_{k=1}^\nu \mu_k \] +Sei \(D\) ein Gebiet und \((f_n) \subseteq H(D)\) Folge mit \(Z(f_n) := \{z \in \C | f(z_n)=0\} = \emptyset\) s.d. \((f_n)\) auf \(D\) lokal glm. gegen \(f : D \to \C\) konvergiert. -d.h. die Summe der Nullstellenordnungen von \(f\) ist gleich der Summe der Vielfachheiten von \(g\). +Dann gilt \(Z(f) = \emptyset \lor Z(f) = D\). diff --git a/content/optimierungstheorie.tex b/content/optimierungstheorie.tex index 03d76d6..d89da9f 100644 --- a/content/optimierungstheorie.tex +++ b/content/optimierungstheorie.tex @@ -428,7 +428,7 @@ Sei \((P)\) konvexes Problem mit dualem \((D)\) und \(M\) erfülle (SB). Ist \(( Sei \((P)\) konvexes Problem mit dualem \((D)\) und \(M\) erfülle (SB). \(\hat x \in M\) ist Lösung von (P) gdw. \(\exists (\hat u,\hat v) \in N : f(\hat x) = F(\hat u,\hat v)\) -\subsubsection*{Komplementaritätsbedingung} +\subsubsection*{Komplementaritäts-Bedingung} Für \(\hat x, (\hat u,\hat v)\) des konvexen Kuhn-Tucker gilt die \emph{Komplementaritätsbedingung}: \(\hat u^\top h(\hat x) = 0\) |