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diff --git a/content/analysis_3.tex b/content/analysis_3.tex index 3571642..e71df0b 100644 --- a/content/analysis_3.tex +++ b/content/analysis_3.tex @@ -428,3 +428,29 @@ Sei $U \subseteq \R^k$ offen, $j \in \{1,\cdots,k\}$, $(X,\A,\mu)$ Maßraum und Dann ist $forall t \in U$ die Abbildung $x \mapsto \frac{\partial}{\partial t_j} f(t,x)$ integierbar und es ex. die partielle Ableitung: $$\frac{\partial}{\partial t_j} \int_X f(t,x) dx = \int_X \frac{\partial f}{\partial t_j} (t,x) dx$$ + +\section*{Iterierte Integrale} + +Darstellung von Integralen auf $\R^m$ als Komposition von Integralen auf $\R^k$ und $\R^l$ mit $m = k + l$. + +Für $C \subseteq \R^m$ sind die Schnitte definiert: + +\vspace{-4mm} +\begin{align*} + C_y &= \{ x \in \R^k | (x,y) \in C \} &\text{ für feste } y \in \R^l\\ + C^x &= \{ y \in \R^l | (x,y) \in C \} &\text{ für feste } x \in \R^k +\end{align*} + +\subsection*{Prinzip des Cavalieri} + +Für beliebige $C \in \B_m$ gilt: + +$$\lambda_m(C) = \int_{\R^k} \lambda_l(C^x) dx = \int_{\R^l} \lambda_k(C_y) dy$$ + +Daraus folgt: + +\vspace{-4mm} +\begin{align*} +\int_{\R^m} \mathbbm{1}_C(z) dz &= \int_{\R^k} \left( \int_{\R^l} \mathbbm{1}_C(x,y) dy \right) dx\\ + &= \int_{\R^l} \left( \int_{\R^k} \mathbbm{1}_C(x,y) dx \right) dy +\end{align*} |