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diff --git a/common/commands.tex b/common/commands.tex index ae5f308..6b48f76 100644 --- a/common/commands.tex +++ b/common/commands.tex @@ -6,3 +6,5 @@ \newcommand{\powerset}[1]{\mathcal{P}(#1)} \newcommand{\skp}[1]{\langle #1 \rangle} \newcommand{\restrictedto}[2]{{\left.\kern-\nulldelimiterspace #1 \vphantom{\big|} \right|_{#2}}} + +\newcommand{\spacing}{\vspace{2mm}} diff --git a/content/analysis_3.tex b/content/analysis_3.tex index 6a236e2..f38f4f0 100644 --- a/content/analysis_3.tex +++ b/content/analysis_3.tex @@ -234,7 +234,7 @@ $$\forall x \in X : \lim_{n \to \infty} f_n(x) \in \overline \R \Rightarrow \lim $f : [a,b] \to \R$ diffbar. $\Rightarrow f'$ ist $\B([a,b])$-$\B_1$-mb. -\vspace{2mm} +\spacing Sei $f : X \to \overline \R$, $X_j \in \A$ mit $X_j \uparrow$, $\cup_{j \in \N} X_j = X$ s.d. $\forall j \in \N : \restrictedto{f}{X_j} : X_j \to \overline \R$ ist $\A_{X_j}$-$\overline\B_1$-mb. @@ -341,7 +341,7 @@ Für $\A-\overline\B_1$-mb. Fkt. $f : X \to \overline\R$ sind äquivalent: $\L^1(\mu)$ ist Vektorraum und das Integral ist eine lineare Abbildung von $\L^1(\mu)$ nach $\R$. -\vspace{2mm} +\spacing Sei $f$ einfach mit $f := \sum_{j=1}^n y_j \mathbbm{1}_{B_j}$ mit $y_j \in \R$, $B_j \in \A$ und $\mu(B_j) < \infty$. Dann: $\int_X f d\mu = \sum_{j=1}^n y_j \mu(B_j)$ @@ -369,7 +369,7 @@ Die rationalen Zahlen $\Q$ sind eine $\lambda_1$-Nullmenge, Hyperebenen in $\R^m Ein Maßraum $(X,\A,\mu)$ heißt vollständig, wenn $\forall M \subseteq$ Nullmenge $N : M \in \A$. -\vspace{2mm} +\spacing $\tilde \A := \{ \tilde A = A \cup M | A \in \A, M \subseteq N$ für eine $\mu$-Nullmenge $N\}$ ergibt Vervollständigung $(X,\tilde\A,\tilde\mu)$ eines beliebigen Maßraum $(X,\A,\mu)$. @@ -377,7 +377,7 @@ $\tilde \A := \{ \tilde A = A \cup M | A \in \A, M \subseteq N$ für eine $\mu$- Eine Eigenschaft $E$ besteht für fast alle $x \in X$ oder fast überall. wenn es Nullmengen $N$ gibt s.d. $E$ für alle $x \in X \setminus N$ gilt. -\vspace{2mm} +\spacing Sei $f : X \to \overline\R$ ib. Dann ist $\{|f|=\infty\}$ eine Nullmenge, $f$ ist also fast überall endlich. @@ -514,7 +514,7 @@ $$g_F(t) = \det(F'(t)^TF'(t))$$ die \emph{Gramsche Determinante} von $F$. -\vspace{2mm} +\spacing Für $m = 3$ gilt insbesondere: diff --git a/content/numerik_1.tex b/content/numerik_1.tex index 660b5a8..008d315 100644 --- a/content/numerik_1.tex +++ b/content/numerik_1.tex @@ -293,7 +293,7 @@ Für Hessenberg-Matrix $A$ ergibt sich $A=QR$ mit: $Q^T := G(n-1,n) \cdots G(1,2)$ und $R:=Q^T A$. -\vspace{2mm} +\spacing QR mit Householder ist ungefähr doppelt so schnell wie mit Givens. Diese sind daher nur bei strukturierten Matrizen wie Tridiagonal- oder Hessenberg-Matrizen sinnvoll einzusetzen. @@ -480,7 +480,7 @@ $$L_{n,k}(t) := \prod_{j=0,j\neq k}^n \frac{t-t_j}{t_k-t_j}$$ Es gilt also: $P(f|t_0,\cdots,t_n)=\sum_{k=0}^n f_k \cdot L_{n,k}$ -\vspace{2mm} +\spacing Ein Lagrange Polynom zu Stützstelle $t_k$ nimmt an dieser $1$, an allen anderen Stützstellen $0$ an. @@ -553,7 +553,7 @@ ist eine Basis von $S_{k,\Delta}$ mit $\dim(S_{k,\Delta}) = k + l$. Interpolation einer Funktion $f$ bzgl. eines Gitters $\Delta = \{t_0,\cdots,t_{l+1}$ durch Spline der Ordnung $k$. -\vspace{2mm} +\spacing Im linearen Fall mit $k=2$ stimmt die Anzahl der Knoten $l+2$ mit $\dim(S_{2,\Delta})=l+2$ überein. Es gibt also genau einen Spline der $(t_i,f(t_i))$ interpoliert. @@ -565,7 +565,7 @@ Für $B_i \in S_{2,\Delta}$ mit $B_i(t_k) = \delta_{i,k}$ Kubische Splines der Ordnung 4 eigenen sich für die Darstellung von Kurven, da das menschliche Auge diese als glatt empfindet. -\vspace{2mm} +\spacing Die Interpolationsbedingungen reichen zur eindeutigen Bestimmung eines interpolierenden Spline aus $S_{4,\Delta}$ nicht aus. |